模的国：机械设计中的几何建模、力学建模和数学建模 - 试答frazil大侠齿轮中的数学
感谢frazil大侠的回复，我回复稍显冗长，索性开辟新帖，虽有喧宾夺主之嫌，也顾不了了。若有抄送功能，直接cc给frazil。http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=253979&page=4#pid1811939
【先说一下渐开线齿轮吧。现在渐开线齿轮是最常用的齿轮，教科书或者说标准中的计算基本也能满足一般设计要求。但是为什么要用渐开线，这个是关键。
我们想想齿轮的损坏有哪些原因，除去胶合等因素，是不是有接触和齿根应力？我们加强齿根强度应该怎么办？接触损伤怎么办？知道是怎么损坏的了，自然就知道使用渐开线的原因了。齿轮避免根切的原因又是什么？怎样减小滑差？怎样使得应力垂直表面？这是不是使用渐开线的原因之一？是不是还有运动的原因？这些要用数学手段来解决，需要建立模型。怎样避免齿根断裂？是不是应该考虑齿根圆角（不是齿根圆。国标没说）的影响？当然，还有很多影响，例如运动的影响。所以，明白了这些，你就会有自己的一些想法，才能开发新的产品。
- r# I1 B' \- u# N; mL我们再想想蜗轮，和齿轮的传动方式有什么不同？渐开线还是合适的吗？有多大程度上是合理的？为什么要这么问？蜗轮蜗杆传动的滑差是应该考虑的一个因素。还有，蜗轮的齿形和齿轮有何不同？用斜齿轮的公式合适吗？公式中系数为什么是1.53？怎么来的？仔细考虑之后，你也许会明白同样计算方法下的蜗轮的损坏方式为什么与齿轮不同了。
所以，玩数学，一定要学会建模。以齿轮为例可以看出。】
大侠，应该用朴实化的讨论最好，你说的有些都是教科书范畴的内容，希望有一些宽泛深入的讨论。你提的问题都很好，若有个人诠释就完美了，在下愿意聆听受教。比如，
1.为什么要用渐开线？
窃以为，最豪华的原因应该是传动比。
2.齿轮根切，这个和制造方式有关，塑料开模的齿轮不需要考虑。当然，用范成法加工标准齿轮，是要考虑17齿的，斜齿轮另算。
3..接触应力应该都是垂直表面的，大侠指的应该是受力方向和基圆相切。
4.知道是怎么损坏的了，自然就知道使用渐开线的原因了。这话我还没理解，望指教。
5.拿经典的齿轮来说，无论直，斜，伞，涡轮，都是可以精确建模的，包括齿形，齿顶，齿根，变位，修行，数学三维模型很可建立。问题是力学模型如何建立？你指的建模是几何模型，还是力学模型，还是已知条件下求解齿根弯曲强度的数学方法问题。
6.齿根圆角，图纸上的齿根圆角都是明确标示的，关键是如何确定的，数学模型、力学模型和计算结果对其的指导作用。
4.蜗轮那段有好多问号，最好都谈一下。虽然大家都有自己的工作，平时很忙，没关系，若有心，讨论一年都没关系，呵呵，互相学习补差。
a。因为相对滑动，所以齿面胶合和磨损更甚。这是蜗轮蜗杆传动显著的特性。
b。系数为什么是1.53，因为2*360*0.667/(pi*100)=1.53，问题是涡轮齿宽角是取100度的，重合度系数去2/3。这些都可以研究讨论。
b。除了把涡轮近似当作斜齿轮来考虑之外，有没有更符合实际的力学模型。
d。“建模”这两字，可能大家都有不同的认识，机械设计中的建模，我认为是，几何建模（二维、三维，单体，多体之间的关系），力学建模，数学方法建模（通过已知，求未知或想知）。
以上，是本人今早还没有吃早饭，想到的，望大家海涵，引得砖声一片，也是莫大慰藉。
果断的沙发，向高手学习 学习了，，都是高手啊，呵呵。但是具体工作中，对这种纯理论的东西 应用的不多，了解就可以了 学习了，工作中多年没有接触到了，前些日子一位老师傅问到齿轮传动如何设计，一时真没回答出来！惭愧！ 学数学要学习建模这个我觉得很扯了,数学系的那个会画图?拿齿轮来说话有点不厚道,齿轮感觉就像一个时代的标志,任何一个东西的大兴其道都有它的前生今世,如果不了解就不要断章取义. 嗯。好好儿学习学习。呵呵。 本帖最后由 frazil 于 2012-3-30 10:58 编辑
我来说说吧，就不逐条回答了，比较忙，可能有遗漏，还有，有一些也是我一直在
思考的问题，现在无法回答出来。
1.关于渐开线，我看过的教科书上面都是从传动平稳上面来考虑的。实际上，也有
力学的原因。我说的力垂直于表面，确实少说了一句，这个力线通过圆切线。对于
齿面来说，力学状态很重要，比如HZ应力的大小，均匀性，齿面滑差也是造成齿面
点蚀的一个重要因素。可以从断裂力学的裂纹类型来考虑。不过单纯从接触上来说
，渐开线属于凸面接触，力学性能并不是很好，但是平稳性，从动力学来考虑（影
响疲劳，细节就不分析了），还是很有好处的。
2.齿根圆角，我的重点不是说加工制造方法，而是它对齿根强度的影响，要知道应
力集中的因素，才能从一定高度把握这个概念，也才能从设计上对细节进行修改。
买刀的时候就需要注意。例如可以想象为裂纹的尺寸。
3.我说这么多问号，主要是说要从哪些方面进行考虑，不代表我考虑的都正确，也
不代表我在这方面做的都很好。根据中国现在拿来主义盛行的现状，我一般不会直
接说出具体的做法，因为这样并不利于大家的提高，并不会激发思维，只不过把山
寨的层次提高一些罢了。
4.蜗轮和齿轮的差别这一块。蜗轮还有一个性质，就是螺旋传动，是齿轮与螺旋传
动的综合（个人观点）。螺旋传动主要考虑摩擦，对于很多蜗轮损坏的方式（我自
己根据实际统计的）而言，在很多场合，磨损是失效的主要方式。此时的接触应该
采用凹面比较好。蜗轮传动的平稳性可以有螺旋保证，我对采用渐开线的原因也一
直疑惑，这对于磨损来说很没有好处。
5.还有所谓的1.53系数，不是很多人都知道的。虽然简单，但是我说的目的就是要
思考。还有，这个系数并不是对于所有蜗轮都是一样的（个人观点），是可以计算
的一个值。
6.关于数学模型，就是说，你通过简化，怎样把实体转化为力学模型的形式，并且
较为精确实用。例如蜗轮蜗杆传动，再使用简支梁的力学模型，我觉得就不合适了
，拱形梁有很大程度上的抗弯作用，应该多考虑剪切作用，这样可能会接近实际一
些。
我说这些，也仅仅是自己的想法，大家多多讨论，才有可能提高，而不是仅仅被动地学习。
本帖最后由 haroldgrant 于 2012-3-30 12:48 编辑
在这样的讨论中学习挺有意思的，总会形成一种正方或反方的立场。刚通过百度了解了下有限元这个概念，套用在frazil 的看法上，感觉也是很合适的。不过前几天关于设计的一些讨论是不是对软件了解不充分的情况下得出的，貌似通过设计软件可以对零部件进行综合分析。 哇塞 高手过招啊 ，实在是厉害，学习学习 两位大侠对齿轮的深入研究令人佩服！
两位都提到渐开线，趁这个机会，我也想向两位请教两个私人问题：
1.众所周知，渐开线齿轮的传动具有可分性，这个可分性会影响齿轮传动的平稳性吗？是否会增大噪音？除此外对其他方面有影响吗？
2.大侠对齿轮中心距的非标准安装怎么看，有哪些应用场合？
谢谢！