结构的动力特性及稳定性读书笔记

幸会幸会

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8 S3 K+ Z+ `! X- K" c# c o5 g8 T最近终于完整看完了一遍结构力学，回头想想好像啥也没学会，拍拍脑袋更迷糊了，干脆照着教材抄一遍做个总结，权当自己看过了，哈哈。后面计划学些计算结构力学，然后集中精力啃弹性力学了，希望必威体育网址的大侠们能点拨一下，不胜感激！
下面附笔记全文（内容摘自《结构力学》下册，朱慈勉主编）
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结构动力学

结构动力学是研究结构在动力作用下的振动问题，当结构上作用有变化力而引起较明显的结构质量加速度时，其相应的惯性力便不容忽视。结构因动力作用而产生的位移和内力称为动位移和动内力，动位移，动内力和结构的速度，加速度等统称为结构的动力响应。机构的动力响应除与外部作用相关外，还与结构本身的动力特性密切相关，包括自振频率，振型和阻尼。

实际结构都是由变形体组成的，而且质量是连续分布的，是属于无限自由度的振动体系，若将所有动力计算问题都按无限自由度考虑，则不仅计算复杂，有时甚至是不可能的。将无限自由度振动问题近似转换为有限自由度的方法有集中质量法和广义坐标法。

所谓集中质量法，是将连续分布的质量集中到结构的某个或某些位置上，使其余位置不再存在质量的近似方法（一般忽略集中质量的转动惯量的影响）。所谓广义坐标法，是通过对质体运动的位移形态从数学的角度施加一定的内在约束，这种约束的数学表达式称为位移函数。

（一） 单自由度体系运动

方法有动静法（达朗贝尔原理）和哈密顿原理（通过对表示能量关系泛函的变分建立体系的运动方程？）

方程的建立，可通过柔度法，刚度法和虚功法，得到一个二阶常系数线性微分方程，my’’+cy’+ky=Fp(t) （这个方程貌似很重要，RLC电路也是这个）。列方程时需注意两点：

1，动力平衡中涉及的所有里均是作用在质量上，并且是沿质量运动自由度的方向；

2，质量的位移y是由静平衡位置起算的动位移。

单自由度体系无阻尼振动时的圆频率称为自振频率，ω=sqrt(k/m)，这个频率很重要，取决于体系本身的刚度和质量，我们常说的‘共振’就是因为强迫振动频率太接近自振频率造成的。再一个就是自振周期。

有阻尼时，引入了一个概念阻尼比ξ=c/(2*m*ω)，根据阻尼比的值将有阻尼的单自由度体系分成三种情况：低阻尼<1，临界阻尼=1，过阻尼>1。一般建筑结构阻尼比很小，约在0.01-0.1之间。阻尼的存在将使结构受到的干扰逐渐消退，阻尼比的大小决定了系统干扰消减的方式，对二阶微分方程来说，它进入到e的指数上，带着初始状态走向消亡。

体系在动力作用下产生的运动称为强迫振动，也称为受迫振动。

无阻尼的强迫振动，

一、 简谐荷载

运动方程全解分成三部分，前两项由位移，速度初始条件引起的，第三项与初始条件无关，是伴随激振力的作用而产生的，称为伴生自由振动，第四项则是由激振力引起的并与其频率相同的振动，称为纯强迫振动。当有阻尼存在时，前三项所代表的自由振动都将迅速衰减（方程的瞬态解），第四项由于他的振幅和频率都是稳定的，因而称为稳态强迫振动。

动位移幅值与静位移幅值之比，称为动力系数，它反映了惯性力的影响。

θ，强迫振动频率，ω，自振频率

简谐荷载作用下无阻尼稳态振动的主要特点：

1，稳态强迫振动的频率和荷载的变化频率相同，动位移，惯性力以及体系的动内力均与干扰力同时达到幅值。θ<ω时，动力系数>0，动位移和干扰力方向相同；θ>ω时，动力系数<0，动位移和干扰力方向相反。

2，θ<<ω，动力系数趋近于1，这种情况相当于静力作用，通常（θ/ω）<1/5时，即可按静力方法计算幅值；θ>>ω，动力系数趋近于0，表明当干扰力频率远大于自振频率时，动位移将趋向于零；θ趋向于ω时，振幅趋于无穷大。实际结构由于阻尼的存在，振幅不可能趋于无穷大，但它仍将远大于静位移的值，这种现象称为共振。一般应控制θ/ω的值避开（0.75，1.25）的共振区段。

3，在（θ/ω）<1的共振前区，为使振幅减小可设法增大结构的自振频率，这种方法称为刚性方案；在（θ/ω）>1的共振后区，则应设法减小结构的自振频率以减小振幅，这种方案称为柔性方案。

共振现象的形成有一个能量积聚过程，所引起的振幅是由小逐渐变大的。因此，在电动机起动转速骤增迅速通过共振区时，一般不会引起结构过大的内力和变形。

对一般周期荷载，总可以按傅立叶级数进行展开成简谐荷载，然后叠加各荷载响应之和即可得体系的动力响应。

二、 一般动力荷载

由于运动微分方程是线性的，可运用叠加原理，任意变化的动力荷载，可视作一系列独立瞬时冲量连续作用下响应的总和。应用杜哈梅积分，代入初始条件，可得方程全解。

突加荷载，动力系数为2，短时突加和瞬时冲击（三角形荷载）视作用时间与自振周期的比值，最大为2

三、 支撑的动力作用

结构物受地震作用，车辆在不平的道路上行驶，或是机械设备基础受临近设备的影响均属这一类问题，其动力作用相当于在质量上施加一动力荷载。

特点：只要体系充分的柔，动力系数的绝对值将远小于1，这样可使质量的振幅远小于支座运动的振幅。但结构内力取决于相对位移，其动力系数不同于质量总位移的动力系数，质量的相对位移可能与支座的运动位移相反

有阻尼的强迫振动，

方程越来越复杂，但是道理是差不多的，方程解依然可分为瞬态部分和稳态部分，工程上主要关心稳态部分，以下是简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：

1，阻尼对简谐荷载下的动力系数影响较大，特别是θ/ω趋近于1时，动力系数峰值下降最为明显；

2，θ/ω=1时，动力系数=1/(2*ξ)，动力系数最大值发生在θ/ω稍小于1的位置，最大为1/(2*ξ*sqrt(1-ξ^2))

3，有阻尼时质量的动位移比荷载滞后一个相位角。θ/ω趋于零，位移荷载趋于同向，此时体系因振动速度慢，惯性力和阻尼力均不明显，动力荷载主要由恢复力平衡，与静力作用时相似；θ/ω趋于无穷，位移和荷载趋于反向，动力系数趋于零，即体系的动位移趋向于零，动力荷载主要由惯性力平衡，体系的动内力趋向与零；θ/ω趋向与1，相位差pi/2，在共振区时惯性力和恢复力平衡，而动力荷载和阻尼力平衡。

（二） 多自由度体系

自由振动

方程建立的方法和单自由度时类似，可以用柔度法和刚度法，这时的变为线性方程组，求其位移非零解，类似特征方程和特征值问题，自振频率类似特征值，相对应的振型类似特征值对应的特征向量，而且一组正交解。

体系中质体位移模态保持不变的振动形式称之为主振型，简称振型。体系的自振频率中最小的频率称为第一频率或基本频率，其对应的振型称为第一振型或基本振型。自振频率及其主振型均为体系固有的动力特性，与外界因素无关。根据工程中较低自振频率的振型对于体系的动力响应作用较大的特点，全部自振频率按照从小到大顺序排列，称为频率谱或频率向量。

一般静定结构宜使用柔度法，超静定结构宜用刚度法。刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵，一般其对应元素并非简单的倒数关系。

弹性耦合，作用在某一方向上的力会引起其他方向上的位移，或作用在某一方向上的位移会引起其他方向上的力。惯性耦合，某一自由度方向上的速度会引起其他自由度方向上的惯性力。

主振型的正交性，多自由度体系任意两个主振型之间存在以质量为权的正交性，称为第一正交性。任意两个主振型以刚度为权的正交性，称为第二正交性。在多自由度自由振动时，相应于某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功，相应于某一主振型的弹性力也不会在其他主振型上做功，这样相应于某一主振型振动的能量就不会转移到其他振型上去。

简谐荷载作用下的无阻尼强迫振动的稳态振动特点：

1，当荷载频率与体系的任一自振频率相同时，振幅的系数行列式等于零，此时动位移振幅为无穷大，即出现共振现象。

2，质量的动位移和惯性力，干扰力同时达到幅值，因此可以将惯性力和干扰力幅值同时作用于体系上，按照静力法计算体系的内力幅值。

振型分解法

振型分解法，是以体系自由振动是的主振型为基底来描述质量的动位移，利用主振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，所得的运动方程将变成n个独立的微分方程。这种可以使微分方程解除偶联关系的坐标称为正则坐标，它是一种广义坐标。振型分解法也可以称为振型叠加法或正则坐标法。

为了运动方程解耦的需要，在实际计算中通常假定粘滞阻尼矩阵C为体系的质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合，称为瑞利阻尼，C=aM+Bk，a,b是两个待定的常数，一般可根据实测资料确定。

解耦后可得到第i个振型的振动分量有正则坐标表示的运动方程，共计n个。其是由广义质量，广义刚度，广义粘滞阻尼系数和广义动力荷载组成的常系数2阶微分方程，回到了单自由度时的解法，只不过未知量变成了第i振型的正则坐标值。可用杜哈梅积分来求正则坐标ηi(t)的响应。粘滞阻尼系数的两个待定常数a, b，通常可根据实验测得的第一振型和第二振型的阻尼比列方程求得，ξ=1/2(a/ω+b*ω)

以上振型分解法实质是将质量动位移分解为以正则坐标为权的各主振型的叠加，由于这一方法是基于叠加原理的，因而不适用与求解非线性振动体系。

特点：从正则坐标的角度分析，较低频率相应的振型对体系动力响应的贡献远大于较高频率相应振型的贡献。而且，在有阻尼存在时，高振型响应的衰减速度又要比低振型的响应迅速的多。因此，在用振型分解法分析时，通常只需考虑前几个振型对动力响应的贡献，就可以满足对实际工程问题的精度要求。

（三） 无限自由度体系

严格的说，实际结构都是质量连续分布的变形体，都属于无限自由度体系。

以等截面杆弯曲振型为例，列出关于y（x,t）的4次偏微分方程，用变量分离法可解出通解表达式，代入初始条件，根据方程行列式为零的非零解条件，可解得自振频率，对无限自由度体系，特征方程有无限多解，因而可求得无限多个自振频率，对应无限多个主振型

近似法求自振频率

一，瑞利法，瑞利法是建立在能量守恒定律基础上的，略去阻尼的影响，弹性体在振动过程中的总能量，即应变能和动能之和应保持不变。

若Y(x）取为体系的某一振型，则可求得该振型对对应的自振频率的精确值。但一般振型函数Y(x）是未知的，因此需先假设一个接近于振型函数的位移函数来代替它，这样求得的自振频率通常是近似的。所假设的位移函数必须满足位移边界条件，并尽可能接近振型的实际情况。通常第一振型所对应的形态较易估计，也较易用简单的函数表达，因此瑞利法主要用于求解第一频率的近似值。

二，瑞利-里兹法，是对上述方法的改进，可求体系前若干个自振频率的近似值。其基本原理由哈密顿原理导出，哈密顿原理可表述为：在一切可能的运动中，真实的运动轨迹使（U-T）的时间积分取驻值。就是说，真实的运动轨迹使应变能和动能之差U-T的一阶变分的时间积分等于零。里兹假设一组满足位移边界条件的函数，称为里兹基函数，ai为待定参数，或称广义坐标。推得（U-T）对任意ai的偏微分等于零，得到一组以广义刚度和广义质量为系数关于待定参数的线性方程组。然后，根据系数行列式等于零的条件，可求得体系前n个自振频率。一般来说，求体系前n个自由度时，应取n+1个自由度来计算。

有限单元法求自振频率

对于比较复杂的结构，要准确的假设其整体位移函数是难以做到的。此时，可以将结构分割成有限单元，在单元内部可采用统一的，相对比较简单的位移函数，而将结构作为这些单元的集合来分析，这种分析方法称为有限单元法。

假设单元轴线上任意点的轴向位移u是x的线性函数，而横向位移v是x的三次函数，根据单元两端结点位移有位移函数w=[u;v]T=NΔ ，用形函数矩阵和端点位移的乘积来表示任意点的位移，由此可得应变和应力表达式（应变为拉伸线应变和弯曲线应变，应力对应为拉压和弯曲引起的截面正应力）。由虚功原理单元杆端力虚功等于单元中应力在虚应变中所作虚功，最后可推出单元刚度矩阵的表达式，与直接利用静力学方法导得的公式完全相同。（后面求稳定性时贴了一个几何刚度矩阵的补丁，说是考虑轴向力对刚度的影响，不解）

如果将钢架单元在振动过程中受到的分布惯性力作为一种随时间变化的分布荷载看待，则可得到有分布质量的惯性力所引起的等效结点力，根据结点平衡条件，惯性力所引起的杆端力应是上述等效结点力的负值，从而可得一致质量矩阵。单元一致质量矩阵式对称矩阵，它的某一列元素代表了某结点位移加速度等于1时所引起的各单元杆端力。

根据单元刚度矩阵和单元一致质量矩阵，可得到结果刚度矩阵K和质量矩阵M，然后根据频率方程｜K-ω2M｜=0，求得体系的自振频率。

一般地，有限单元法求得的自振频率比精确值偏高，而用集中质量法近似计算时得到的频率有降低的趋向。在板壳振动问题中，上述趋向常能与因采用有限单元位移法使结构钢化以至计算频率增高的趋向起相互抵消的作用。

结构的弹性稳定

结构的承载力除了取决于它的强度之外，还取决于他的稳定性。当结构中的某些构件受到较大压应力作用时，结构可能在材料抗力为得到充分发挥之前就因变形的迅速发展而丧失承载能力，这种现象即称为失稳破坏，其相应的荷载称为结构的临界荷载。

结构的失稳主要有两种类型。第一类失稳的基本特征是结构的平衡路径发生分支，所以也称为分支点失稳。第二类失稳的基本特征是结构因荷载的作用而引起的变形的增长使得结构内、外力增量之间的平衡失去可能。在极值点处，结构由稳定平衡转变为不稳定平衡，因此第二类失稳也称为极值点失稳。比如具有初弯曲或横向荷载的压杆，特点是：从加载到失稳的过程中结构变形的性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。对于扁平的拱式结构，还可能发生跳跃失稳现象。除了上述整体失稳之外，对于薄壁构件还可能发生局部失稳。比如工形钢梁，在一定的荷载作用下翼缘和腹板均可能发生局部鼓曲，称为局部失稳或局部屈曲。当薄壁板件受到的边界约束较强时，也可能出现板件局部屈曲之后仍可继续承受更大荷载的情况，称为超屈曲强度或屈曲后强度。实际结构严格地说都属于第二类失稳，第二类失稳属于几何非线性问题，而且当结构的变形增加到一定程度时通常还伴有材料非线性的出现，计算比较复杂，一般只能利用计算机通过数值分析的方法确定临界荷载。

在作稳定性分析时，将确定体系失稳时的位移形态所需的独立几何参数的数目称为体系失稳的自由度。一般弹性压杆或结构的失稳都属于无限自由度的，因为受压失稳杆件的形状通常不能像一般受弯杆件那样用若干个独立几何参数加以表达。若受压失稳杆件的弯曲刚度被视作无穷大，则无限自由度的稳定问题便转化为有限自由度。

静力法，就是在原始平衡状态附近的新的位移形态上建立静力平衡方程，并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。

特点，1， 具有n个自由度的体系失稳时共有n个特征值，其对应有n个特征向量，即有n个可能发生的失稳位移形态。2，对称结构在对称荷载作用下的失稳位移形态是对称或反对称的。3， 真实的临界荷载对应n个特征值中的最小者。

能量法，按照势能驻值原理，体系取得平衡的充要条件是，任意可能的位移和变形均使势能Ep取得驻值，δEp=0 即势能的一阶变分等于零。对于具有n个自由度的体系，若总势能可以表达为广义坐标a1,…an的函数，则势能的驻值条件，要求对任意δai，Ep对ai的偏导等于零，这样就得到一组其次线性代数方程，其取得非零解的充要条件是系数行列式等于零，称为体系的稳定方程或特征方程。由稳定方程n个根中的最小者即可确定临界荷载。

（一） 用能量法确定弹性压杆的临界荷载

用静力法确定弹性压杆的临界荷载时，若杆件的截面或轴向荷载的变化情况比较复杂，则可能导致挠曲微分方程称为变系数的，常很难积分为有限形式；若是稳定方程的阶数过高，不易展开求解。此时应用能量法常能取得很好的效果。

假设压杆失稳是的位移函数，列出势能表达式，根据势能驻值条件可得一组齐次线性代数方程，此法也称里兹法。由于压杆失稳时的位移曲线一般很难精确预计和表达，用能量法通常只能求得临界荷载的近似值，而其近视程度完全取决于所假设的位移曲线与真实的失稳位移曲线的符合程度。当位移函数为较简单的近似曲线时，其二阶导数的误差一般远大与位移本身的误差，此时若能将杆件截面弯矩M用y表达后直接计算弯曲应变能，则所求临界荷载的精度通常会明显提高。由于同样的原因，在连续体有限单元位移法中，位移的计算精度一般要高于有位移求导后得到的应力的计算精度。

（二） 组合压杆的稳定

所谓组合压杆是由作为承受荷载的主要部件的肢杆和维系肢杆形成整体，以保证肢杆共同工作的缀合杆所构成的。通常有缀条式和缀板式，组合压杆稳定性分析关键在于确定整体剪切变形对其失稳临界荷载的影响。根据静力法依前所述建立失稳平衡微分方程，代入边界条件求得稳定方程最小正根，即可求得Fpcr=Fpe/(1+Fpe*k/(G*A))，其中Fpe=pi^2*E*I/l*2为简支实腹压杆的欧拉临界荷载，k/(G*A)为单位剪力所引起杆轴的平均剪切角γ0（k剪应力截面分布不均系数，矩形1.2，圆10/9，工字A/A1腹板面积）

缀条式和缀板式组合压杆的计算依据上述可分别推得，经过适当的简化和近似，在钢结构设计规范中有相关介绍。

（三） 钢架的稳定

钢架在竖向荷载作用下的失稳通常属于丧失第二类稳定性的问题。钢架的侧移随荷载的增加而增大，而且因柱中的轴力会在侧移上引起附加弯矩，侧移增大的速度会不断的加快。当荷载达到临界值时，平衡路径将出现极大值点，钢架的平衡随即丧失稳定性。由于第二类稳定性的问题比较复杂，因此常把问题近似地转化为丧失第一类稳定性的问题。

在作钢架的内力分析时，若杆件所受的轴向力很大（与临界荷载相比），则轴向力对杆件刚度的影响就往往不能忽略。这种考虑轴向力对刚度影响（即二阶效应）的结构分析称为二阶分析。例如，对于超高层建筑和构筑物来说，这种二阶效应常不容忽略。

钢架稳定性分析的位移法

根据平衡条件列微分方程，考虑轴力对弯矩的影响，求得通解根据边界条件解出杆端弯矩和剪力，与位移法方程不同的是各项系数加入了计及轴力影响的刚度修正系数。杆件的内力并不是轴向力的线性函数，而且因轴向力会产生附加弯矩，杆件的弯矩图形不再是直线。但杆端力仍然是杆端位移的线性函数，因此对于杆端位移来说仍然可适用叠加原理。在用位移法分析钢架第一类稳定性时，作用于结点上的荷载不会使基本结构中的附加刚臂和附加链杆产生约束反力（忽略轴向变形？），因此位移法典型方程中的各自由项（载常数）都等于零。当钢架失稳时，位移法方程的系数行列式等于零，由此解得临界荷载。

钢架稳定性分析的有限单元法

在作钢架稳定性分析时，为计及轴向力对单元刚度的影响，把刚度矩阵增加一项称为单元几何刚度矩阵，或称单元初应力矩阵，它与单元轴向力的水平有关。

由位移法所得的稳定方程行列式的阶数较高，并且属于超越方程，一般很难手算求解，也不易对其求解过程编制通用的计算机程序。而所谓的有限单元法就是利用统一而又比较简单的近似位移函数来描述各单元的变形，然后利用虚功原理或能量原理导出单元杆端力与杆端位移之间的关系。对于杆件单元，一般可采用三次抛物线方程作为挠曲位移函数，当杆件不受轴向力作用时是精确的，但是在考虑轴向力作用时，采用上述位移函数却是近似的，由此导得的单元几何刚度矩阵也将是近似的。若需改善计算精度，可以将钢架中的受压杆划分为若干个单元。

分析单元轴向力在由于横向虚位移引起的虚变形上所作的虚功，可推得单元几何刚度矩阵，其是对称矩阵各项元素的值与单元轴向力成正比，其可用于钢架内力的二阶分析，以及与单元大位移矩阵相结合用于钢架的大位移分析；忽略轴向变形时的梁式单元的几何刚度矩阵，适用于分支稳定性问题的分析；

最后值得指出的是，用有限单元法求得的钢架失稳的临界荷载将高于临界荷载的精确值。因为假定了单元的位移函数相当于增加了无形的约束，从而增加了结构的刚度。

（四） 拱和窄梁的稳定

对圆环，其临界荷载qcr=3EI/R^3 ，说明圆环失稳的临界荷载与其半径的立方成反比，可见其稳定性随半径的增大而迅速降低。

对拱根据不同的边界条件有不同的临界荷载，详见教材P195。

窄梁的稳定

为了增大梁在平面内的抗弯能力，经常把梁的截面设计成高而窄的形式。当横向荷载达到一定数值时，这种这种窄梁在原平面内的弯曲状态可能称为不稳定的，而发生平面外的斜弯曲和扭转变形，称为弯扭失稳。

临界荷载Mcr=πEIy/l*sqrt(GIp/EIy)，可看出，当梁的轴向位移可以忽略时，临界荷载与梁的侧向弯曲刚度以及扭转刚度的平方根成正比，而与梁在自身平面内的弯曲刚度无关。

结构的塑性分析和极限荷载

材料的理想弹塑性假设，假设材料的受拉和受压性能相同，在弹性阶段应力与应变为线性关系。应力一旦到达屈服极限，材料便进入塑性流动的状态，此时即使应力不再增加，应变也可以无限增加。卸载过程中，应变的弹性部分随应力减至零而消失，而塑性部分却不随卸载而消失，称为残余应变。即使说材料在加载时为理想弹塑性的，而卸载时却是线弹性的。弹塑性问题的分析结果与加载路径有关，计算时需要追踪结构的全部受力变形过程。

对矩形截面α=Mu/Ms ，α截面形状系数。（矩形1.5，圆形16/(3*pi）=1.7，工字型1.10-1.17，圆环1.27-1.40）

塑性铰与普通铰的相同之处是较两侧的截面可以产生有限的相对转角。区别：1， 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩作用；2，普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰，只能沿着弯矩增大的方向自由产生相对转角，若发生反向的转角，则塑性铰处将恢复刚性联结的特性

在弹塑性阶段中性轴的位置随弯矩而变化，可根据平衡关系确定中性轴位置和弹性核的高度。

在塑性流动阶段，中性轴变成面积等分轴，Mu=Wu*σs ，Wu=S1+S2，塑性弯曲截面模量，S1和S2分别为面积A1和A2对中性轴的静矩。

超静定结构在整个受力直至破坏的过程中内力的分布图形经历了变化过程，这个过程称为超静定结构内力的塑性重分布。

超静定结构极限荷载计算的特点：

1，只需预先判定超静定结构的破坏结构，就可根据该破坏机构在极限状态的平衡条件确定极限荷载，而无需考虑弹塑性变形的发展过程、塑性铰形成的顺序和变形协调条件。

2，温度变化、支座移动等因素对超静定结构的极限荷载没有影响，以为超静定结构的最后一个塑性铰形成之前，已经变为静定结构，所以温度变化、支座移动等因素对最后的内力状态没有影响。

结构的极限荷载实际上只与最后的破坏形式有关，只要能找出真实的破坏机构，便可据此直接求得极限荷载。所谓比例加载是指所有荷载都保持固定的比例，整个荷载可用一个荷载参数Fp来表示，即所有荷载组成一个广义力，而且荷载参数只单调增加，不出现卸载现象。

结构处于极限状态时必须同时满足以下三个条件：

1， 平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡；

2，内力局限条件：在极限状态下，结构任一截面的内力都不超过其极限值；

3，单向机构条件：在极限状态下，结构已有足够数量的截面的内力达到极限值而使结构转化为机构，能够沿着荷载作正功的方向作单向运动。

为便于讨论，将满足1，3的荷载称为可破坏荷载FP+，而满足1，2的荷载称为可接受荷载FP-。则可知极限荷载即是可破坏荷载又是可接受荷载。

基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载，FP+≥FP-

1，极小定理（上限定理），可破坏荷载中的最小值极为极限荷载

2，极大定理（下限定理），可接受荷载中的最大值即为极限荷载

3，唯一性定理（单值定理），极限荷载值是唯一确定的。

应当指出，结构在同一广义力作用下，其极限状态可能不止一种，但每一种极限状态相应的极限荷载彼此相等，换而言之，极限荷载值是唯一的，而极限状态则不一定是唯一的。

上限定理和下限定理可以用于给出极限荷载的上下限，也可以用于求极限荷载的精确解。根据上限定理来确定极限荷载的方法可称为群举法。如果能完备地列出结构所有可能的破坏机构，从相应的各可破坏荷载中取出最小值即为极限荷载。

平面钢架的极限荷载

以矩形截面为例，截面屈服时，轴力和弯矩的关系是一条二次抛物线，称为屈服轨线。轴力较小时，其对截面极限弯矩的影响不很明显，因此在计算时一般可以忽略轴力对于极限弯矩的影响。

对于比较复杂的钢架，由于破坏机构的可能形式很多，采用传统方法确定极限荷载变得十分困难，于是出现了用计算机求解极限荷载的增量变刚度法。增量变刚度法的基本思路是将结构的塑性分析的非线性问题转化为阶段化的线性问题求解。基本假设：

1，结构的材料是理想弹塑性的，而且结构在到达极限状态之前变形是微小的。

2，在截面成为塑性铰之前，其行为特征保持为弹性；出现塑性铰之后，将塑性区退化为塑性铰所在截面，杆件其余部分仍为弹性区。

3，为简化计算，假设荷载按比例增加，且为结点荷载，因而塑性铰只出现在结点处，塑性铰处的弯矩不发生卸载现象；每一杆件的极限弯矩为常数，但各杆的极限弯矩可以不相同，忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。

增量变刚度法的应用时建立在矩阵位移法的基础之上的，主要特点是采用分级加载，在每一级加载段内均按弹性分析，而以新塑性铰的出现作为分界标志。每当出现新的塑性铰，就需要修改相关单元的刚度矩阵，并需要调整结构刚度矩阵，这也就是增量变刚度法名称的由来。以上过程一直进行到出现下列情况之一则结构将形成破坏结构：

1，结构刚度矩阵变为奇异；

2，结构刚度矩阵的主对角元素中出现零元素。

此时，结构就到达了极限状态，将结构到达极限状态之前的各级荷载增量相加，即得结构的极限荷载，相应的内力和位移也同样可由累加的方法求得。实际计算中，当结构刚度矩阵系数行列式或其主对角元素的值充分小，或者相应的结点位移超出正常范围时即可停止计算。

以上主要内容摘自《结构力学》下册，朱慈勉主编

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愤斗YX

楼主简直是神！！！

降台诗春

佩服楼主
" f( B) h/ m6 B1 H0 w4 m* P% O+ @( i楼主能否用虚功原理解算个工程问题让大家饱饱眼福呢

风惜烟雨

楼上还虚功，要不再来个达朗贝尔

laotounihao

本来以为是资料可以下载哈