求问一道数学题

阳光小院暖茶

有个题目，想请教：
6 R# H# _0 r$ l1 Q# _确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c, bc-a, ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
* i$ E( D: s9 \7 [2 G1 A* c! U不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶

我已经知道了几组：2,2,2
; Y2 i( ?/ g% d( `9 _7 j/ M" Y2,2,3
3,5,7
Z9 O$ m; U1 N* ^& Z+ E; F# K2,6,11
: m/ Z) [, q0 ^但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut

' v- A* z1 a3 ]. K1 C2 J8 {" ]$ J我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

5 V7 \5 h! l$ Y ^0 Q x4 g' }; _答案是只有唯一解，2，2，2
) P5 C2 q. \) A7 X# z
5 h: b+ b# S( M) n& P

水水5

首先推测abc都是2的正整数次方~
假设abc对2的幂分别为ABC
则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
; `0 \% z0 ]: Y, S# a: t( n$ z那……
) E( l0 v# k5 w我解不下去了。

萧mj

不会解

阳光小院暖茶

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
8 V% S/ _# X7 K$ @. U$ o, z' L+ `8 \ l我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
$ k( M6 `3 f. t( O
$ u. z6 |: Z6 f. E x答案是只有唯一解，2，2，2
...

大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
1 ?2 x! v. K" d' f! |0 Q" K你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件
' Y+ s% k4 d5 \( }% ^6 j$ n
7 o! g, U2 I7 B% l

crazypeanut

阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
, {; s5 O, ~% c, p/ u3 I# S1 u大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；

所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598

数学玩 死人

crazypeanut

看这个吧
) M. G# }0 r8 J! e- l( L: `2 }
我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋

/ \7 |2 k p( C p' B" L, k

V: \1 }) `* t. m N) r8 _
+ V/ d$ U7 E: f' B( c) l