求问一道数学题

阳光小院暖茶 · 发表于 2015-8-18 15:57:14

有个题目，想请教：
确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c, bc-a, ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶 · 发表于 2015-8-18 16:02:01

我已经知道了几组：2,2,2
2,2,3
3,5,7
2,6,11
但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut · 发表于 2015-8-18 16:03:10

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut · 发表于 2015-8-18 16:12:07

本帖最后由 crazypeanut 于 2015-8-18 16:13 编辑

我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

答案是只有唯一解，2，2，2

水水5 · 发表于 2015-8-18 16:13:57

首先推测abc都是2的正整数次方~
假设abc对2的幂分别为ABC
则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
那……
我解不下去了。

萧mj · 发表于 2015-8-18 16:16:06

不会解

阳光小院暖茶 · 发表于 2015-8-18 16:23:24

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12 & Y$ G. G$ j8 t: z
我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
m; D" e9 F) b6 } * K7 G2 L4 `: h/ W
答案是只有唯一解，2，2，2 # O& Y" b' n" B: o
...

大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件

crazypeanut · 发表于 2015-8-18 16:26:26

阳光小院暖茶发表于 2015-8-18 16:23 : r3 t' L; ?9 N$ @* ^2 g' ^
大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；

所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598 · 发表于 2015-8-18 16:38:16

数学玩死人

crazypeanut · 发表于 2015-8-18 16:40:53

看这个吧

我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋

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