解一个阀门的数学模型

明月山河

  u' K5 x7 T) U  X. O. W设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。

- f* q! M* {3 @, h; B8 J* M7 z9 N如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
0 y) k8 J9 a; _8 ]: o' L' }1 k
# Z9 s. _8 H& O$ i# g其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
, }- H; K$ Z( O# ]4 lr1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
3 |1 C+ g1 P5 G5 @目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
7 Y4 Z* a) q! s+ J. w想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
0 F* e" v2 D9 \那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；
; J6 J2 }1 A# O1 L  G. g) w8 G9 q. L
! E6 b, n/ Y5 Z* A


补充内容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
' |! D+ r4 [/ V+ F' ]; Q>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')
2 }* ?( [- r% i. w. R
5 k. D+ N  [1 U  A4 uf =
$ A2 X- C/ T1 d* [2 f' g
(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
# v% R; R  a& e" y/ W >> finverse(f,r6)
: C! E+ ~1 l# A1 H
$ k* Z3 W! Z) Nans =
2 L! k! O* P! y+ M3 @; B6 J1 h
# E# N8 }$ a! Q! K4 [4 D1 ?, d(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a
  R, Y. d& d2 @6 {# c6 E
4 @2 a# q  ]7 F; Y2 `: T>> pretty(finverse(f,r6))
0 ?( `8 u! s1 K/ q; _                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
0 [( j  p9 P: Q7 P3 M                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
/ S( E% }+ a% n# U0 g7 Z. h- G( S>> syms  s r6 r7 a b
9 i0 V+ L; v; S# w& Y; Y) g>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
" n. E2 @# n: f" K3 Y" M: ~>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
* U" A- O" ]$ u
f =

a*x^2 + b*x + c
, s! O) _' L" {/ j+ B% k: q; ^2 H
>> finverse(f,x)
8 A* R. W- s; S: f. ?. @
  S. d% a6 e3 }: y  mans =

+ ^4 z0 p* D+ k$ y' C-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

6 k2 p; g& |% U. E' g) y我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
            
+ x: [# @9 B$ {# t7 R; X               2
5 V* y2 `0 G: Y6 z% _( X  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
& Y) K4 ~# ~/ l- ----------------------------
               2 a

8 \5 w/ _7 y$ T& {1 I2 v& W, t
这个也含有X  估计  可以删除


* w0 b5 H: m8 }/ O* G5 }( A) i; ^
- A5 [7 Q; w0 r3 V9 G
5 |9 M- v; |. @: i! E/ E! V. n! A7 H( g