如果不是数学狂热分子，建议你别搞测度论

zerowing · 发表于 2014-7-8 23:36:42

crazypeanut 发表于 2014-7-8 15:05 " \/ ^+ L4 P9 d2 P E$ G0 T# J
“比如，［1,10]的线段，可以分为[1,5]和[5,10]两个线段子集吗？”
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可以，可测集的线性可加性质

呵呵，大侠，我希望你仔细看下这个问题。这个问题不是探讨是否可加，而是探讨所谓的定义。
你转的文章里有这样的一个性质：

若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。

请注意这个彼此不相交子集的概念。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能写成[1,5]和[5,10]两段，不是吗？因为子集相交了。这个不用再去看什么书去论证，因为我们只是在说集合问题。
同样的，当我们说[5,10]去掉一个端点5，于是变成了(5,10]。那么，无论他是否影响测度（其实俺不敢苟同不影响说，因为只从数学角度说没问题，但是延伸到一个整体世界角度就很难讲了，后面说），无论是否影响测度，都不代表说(5,10]可以表示一个线段。换句话说，（5，10] 和[5,10]的测度相同，但不应该是一样的东西。如果这么说没问题，那么问题就来了，按照这样的测度定义，那么一条线段就不该是若干条线段的叠加，虽然在测度上相等，但是组成新线段的各个部分并非都是线段。没错，这样说，数学上没有问题，只是无论是哲学家还是工程师都要头疼了。哈哈。
于是，再说说那个延伸到整体世界角度的问题。举个例子，大侠买了一量兰博停在门口。这是起始时间点，然后你开出去，转一圈又停回到和原先完全相同的位置，这是终止时间点。这个过程相当于这量车在四维空间中的一个变化。那么问题就来了，如果我拿掉最后一个时间点，会发生什么。其结果就是终态不可确定。那么也就是说这量兰博在最后那个时间点的变化可能是任意的，它既可能延续之前的状态（比如行使了1000米）成为一个终态（1000米），也可能跳跃回初态（0米）。这就是几乎所有幻想家所畅想的一个折叠现象。将路径折叠，初点和终点重叠而去掉终点，那么就能做到超时空旅行。但这可能吗？而如果存在这个终点，也就是有一个必然的结果，那么就一定存在初、终差异，就不可能实现所谓的超时空穿行。我们不讨论到底能不能超时空，能不能折叠，但至少通过这样的例子我们很清楚有没有这个点是完全不同的，而且其测度（或者应该换一种叫法，叫量度？）是不同的。

再回到所谓的维度上。
我们先不讨论说线段是不是由点组成，我们既不讨论其连续性，也不讨论其测度。我们换一种说法，如果存在一个线段，那么我一定能在这个线段上找到点，无论能找到多少个，但我一定能找到。因此说，点和线段之间至少构成一个必要条件关系，也就是说，存在一个线段，就一定存在线段上的点。至于是不是线段上的点的组合构成了这个线段，从测度上说不是，我也不认同它是。所以才要在那句“线段由低维度的点组成”后面加上一个限制“并不是说线段上该有多少个点”。
另外，大侠说到了可数集和连续统的区别，也因此说线段不能说成由点组成。那么存在这样一个问题又。（当然，俺数学一般，如果有错，大侠指出）因为高维度可以解释为低维度的笛卡尔积，而笛卡尔积是两个集合的积，确切的说是两个集合中的各个元素的积的集合。那么，如果这两个集合不是可数集，而是连续统，即不可数集，你该如何求积呢？之前在跟P大讨论无限小数的时候也讨论过这个问题，两个无限位的数能否四则运算。哈哈。那么这里的问题恐怕比那个还要复杂。换句话说，如果两个连续统没办法求积，那么该如何表达高维度的特征呢？当然，我们只是探讨，不能论证这种观点的正确性。
另外，也说一句，如果高维度都是一维勒式测度的笛卡尔积，那么从0维到1维的过程该如何解释？毕竟点是没有维度的。

房顶 · 发表于 2014-7-9 08:59:11

文笔生动有趣，但看得真心头大

crazypeanut · 发表于 2014-7-9 10:25:48

zerowing 发表于 2014-7-8 23:36
/ i* ~. ~7 A( y" g; v/ x# J, e呵呵，大侠，我希望你仔细看下这个问题。这个问题不是探讨是否可加，而是探讨所谓的定义。: m. T' c: p6 H9 `/ A, M3 x
你转的文章里 ...

首先回答第一个问题，可以在测度论的教科书上找到

数学上集合彼此不相交，可以允许两种情况，1是交集是空集，2是交集是可数集，测度为0，都属于彼此不相交；也就是说，2个集合求交集后得到的集合，只要测度为0，就是不相交，哪怕这个交集是可数无穷集合

然后第二问题

为了简化叙述，我假设自己开车，从0开到100，也就是形成一个闭集[0,100]；现在你的想法是把100这个点挖掉，构成一个开集[0,100)，因为最后100那个点不存在，所以你认为整个运动也不存在？？其实可以这么说，极限想必都学过，开集[0,100)，虽然在100那个点没有定义了，但是可以把他视作一个极限。

我们来构造一个函数，你就能想明白一个问题，我们构造函数f(x):，当x=2时，y不存在，当x不等于2之外的所有实数时，y=x；现在我们来考虑，当x从0不断趋近与2时，y=f(x)的最终趋势？？，虽然x=2时，y是不存在的，但是你画个图就明白了，x不断向2趋近时，y是不断向2趋近的，这和y在x=2这个点上没有定义没有任何关系。那么我们回过头来看，在开集[0,100)上开车，虽然100无法到达，但是可以无限趋近100，其最终趋势依然是100，我开车总距离也终有一天可以到达100（虽然其花费时间为无穷，因为100这点没有定义，不可到达），这就是为什么，一个闭集，挖掉端点上的单点，形成一个开集后，不影响集合测度。

最后是第三个问题

首先强调一点，数学上没有0维，所以没有1维是0维通过笛卡尔积升级过来的说法

然后，关于线段和点的关系，务必要抛弃“线段是由点构成”这个想法，线段和点是2个独立的元素，但是线段上可以找到无穷多个点，除此之外，再无任何关系，切记这个。

“因为高维度可以解释为低维度的笛卡尔积，而笛卡尔积是两个集合的积，确切的说是两个集合中的各个元素的积的集合。那么，如果这两个集合不是可数集，而是连续统，即不可数集，你该如何求积呢？”

要回答这个问题，首先给出测度的严格定义，看不懂没关系，我会用最通俗的语言来解释

设Γ是集合X上一σ代数，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函数，且ρ满足：
（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性）对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
则称ρ是定义在X上的一个测度，Γ中的集合是可测集，不在Γ中的集合是不可测集。

所以呢，测度其实就是一个函数，自变量是一个集合，因变量是一个实数，至于这个函数的运算法则，不同的运算法则对应着不同的测度；用我们常识所形成的法则，得到线段（集合）的一个度量的实数，我们称为勒贝格测度

我来详细解释，如何从1维勒贝格测度来形成2维勒贝格测度

定义集合A(0,1)，定义集合B(0,2)，（这里先取开集，其实换成闭集是一样的），也就是，A是0到1的线段，B是0到2的线段，记他们的勒贝格测度为L(A)=1，L(B)=2
好，现在我们作集合A和B的笛卡尔积AxB={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)}，有没有发现什么？？这是长方形的4个端点坐标，长为1，宽度为2
然后，关于勒贝格测度，有一个定理，证明略麻烦，想详细了解的话，请自行翻书吧，这里就不加证明的给出了：
L(AxB)=L(A)L(B)=1*2=2，这恰恰是通过AB两个集合作笛卡尔积获得的长方形的面积，所以，2维测度是面积，是通过1维测度升级而来的，依次可推算3维甚至抽象的更高维，都可以求得相应测度

zerowing · 发表于 2014-7-9 13:58:28

crazypeanut 发表于 2014-7-9 10:25 7 a0 F N( V" h$ M5 Z
首先回答第一个问题，可以在测度论的教科书上找到
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" c" o4 L* T5 D6 q! Q2 F8 U数学上集合彼此不相交，可以允许两种情况，1是交集是 ...

1。呵呵，大侠数学玩得挺好。如果测度的相交定义不同于一般集合的相交定义，那么俺就可以接受和理解这个定义。同样的，第二个问题也可能不是问题。
2。说说第三个问题。首先来说，数学和物理学中，是存在0维的。而0维对应的是点。这个不是俺乱说的。
在 "Curious About Astronomy". 一文中提到了数学上的一个定义，如下：
"The dimension of a manifold is the minimum integer number of co-ordinates necessary to identify each point in that manifold."
翻译过来就是：一个描述体的纬度就是用以描述该体的最小坐标数的整数值。
因此来说，描述一个点，我们需要的最小坐标数为0，所以，点是0维的。
当然，这也可以解释为什么点的测度为0。（笑）
关于线段和点的关系，俺认为俺已经解释的很清楚了，也并不与大侠存在分歧。所以，如果你一定要强调的话，俺有些不解。哈哈。
至于说到笛卡尔积的问题。我想大侠应该是误解我的问题了。
我在描述的时候，描述的是笛卡尔积的本质问题，也就是两个集合求积，实际上就是求两个集合中各元素的积，将得到的所有结果形成一个新的集合。这个描述是没有问题的。而这个描述并不否定你可以按照边界法计算。或者换句话说，对于任意一个可知的确切元素，你都可以求积。你也可以通过边界求积法得到一个新的范围。这都不是我要问的问题。我的问题是你如何确定这个计算可运算性。当然，这也涉及到我很P大争论范畴，无限小数的四则运算性。呵呵，至今无果。比如说，两个集合A,B。A=[a,b]，B=[c,d]。而a,b,c,d均为无限不循环小数，且不能用类似pi,e，等形式表示，那么你该如何计算这样的两个集合的积。这就是问题。当然，我不确定这样的无限小数是否存在，比如这样的一个小数,0.1121112111121111112......
至少来说，通过跟P大的讨论，对于有理数范畴的无限小数，无论是可直接四则也好，还是间接四则也好，其可运算。但对于无理数范畴，就扑朔迷离了。那么，对于这样的情况，其笛卡尔积是什么？
于是，再回到那个维度的问题上。
前面我已经给出了关于维度数的定义，说明了点是0维的。那么从点到线或者说从0维到1维的积又是什么？或者说，如何从0到1？或者说，如果不存在从0到1，那么离散论又该如何解释？最接近的一个例子就是粒子的散射范围问题。每一次经过原子核的粒子都会形成一个随机的新路径打到接收面上，换句话说，不存在连续性，但最终形成的是一个面。再有的例子就是概率。比如一个正态函数，其描述的也是一个离散的成型例子。

crazypeanut · 发表于 2014-7-9 16:12:23

打错，占楼编辑掉

crazypeanut · 发表于 2014-7-9 16:13:03

zerowing 发表于 2014-7-9 13:58
! @7 V" d7 ?9 ]7 O4 u1。呵呵，大侠数学玩得挺好。如果测度的相交定义不同于一般集合的相交定义，那么俺就可以接受和理解这个定 ...

0维，数学上是很麻烦的东西啦，在集合论上对应的是空集，而空集和空集自身求笛卡尔积，数学上是没意义的，所以一般都是避开讨论0维。（逃避主义，笑）

其实数学上有很多逃避主义（继续笑，真的很多），比如有个概念叫做几乎处处(almost everywhere)，他是说，若一个命题被称为几乎处处成立的，如果把这个命题不能成立的点全部抽出来，构成一个集合，而这个集合的测度是0。这个概念的想法是，测度为0的集合对一个命题整体没有任何贡献，所以我们可以把那些不能成立的点逐个挖出来去掉不考虑。（鸵鸟政策，当初我学到这个概念时候笑了老半天）

举个例子吧，黎曼积分（我们大学里学的最普通的定积分，就是黎曼积分），一个函数是黎曼积分可积的，则其充要条件为该函数在其定义域上是几乎处处连续的。再举个例子，级数有种收敛形式叫做几乎处处收敛，相比你知道这是怎么回事了。（几乎处处这个概念真的很好笑）

接着来谈谈笛卡尔积的可计算性

先说可数集，可数集的元素可以一个一个抽出来逐个排列，2个可数集求笛卡尔积容易理解，很直观，就不多说了
关键在于，2个不可数集，就是连续统，求笛卡尔积，老实说，这个运算，在数学上是有争议的。
之前说过，不可将连续统视为由单点构成，但是笛卡尔积，却要求逐个点抽出构成有序对，这不是矛盾嘛？？解决办法就是，选择公理，而选择公理，在数学上存在争议。于是乎，数学就是这么个麻烦的东西，最简单的笛卡尔积运算，都有争议，所以，不是狂热者，别取深究了。

关于无穷小数的问题，其实是这么回事，首先可以严格证明，无理数的存在性；其次，数学上有很多这样的情况，一个东西存在，却没有有效的表示手段，比如大量的特殊函数，都无法用我们熟知的式子写出其表达式，只能规定一个符号，告知这个符号就是这个函数；无理数是同样情况，因为无理数，要将其完完全全的表达出来，不存在这样的东西，所以，只能用小数去逼近，所以，无理数求积运算，我们也只能用小数来近似表示。

最后要纠正你两个错误
1是粒子散射问题，忽略粒子波粒二象性的话，最后得到的点集，他是有理数集，而有理数集是可数集，测度为0，其对整个平面的贡献可以忽略，不可将其视为一个平面。虽说你直观上认为点集布满了平面，但是从数学上讲，其实平面上有很多缝隙，这些缝隙构成了无理数集，而无理数集是不可数集，其集合中的点的“数目”要比有理数集的点多的多。
2就是正态分布，他是连续型随机分布，其样本空间是定义在一个不可数集，也就是连续统上的，数学上不研究其离散性质，因对连续统来说单点测度为0，故对于连续型随机分布，取单点的概率永远为0，没有研究的价值。

zerowing · 发表于 2014-7-9 23:59:56

呵呵，感谢大侠如此大量文字的回复。
其实说道逃避主义或者鸵鸟主义，只要是以数学为基出的学科都存在这样的问题。理论物理学中也遍地都是。对不能满足其归纳的，就干脆排出掉。也算是一种果断的手法吧。相比之下，哲学和试验物理学就是反面。所以，欧洲的那帮子疯子们才撞出了一大堆亚粒子，装出一个质量场论出来。
数学上的争议，说实话有时看着就像小孩吵架，穷折腾。但是吵吧，当乐子了解好了。真去叫真，就真的什么都干不了了。
关于粒子散射问题，只用这种空隙论怕是不能解释。换句话说，数学上可以说我去掉端点点，测度不变。换句话说边界点是有限可数的。（其实这里很想问，一个正方形的边界是连续统笛卡尔积得到的，道理上说，如果低维的端点如果可以做为了0测度拿掉，那么最后得到的高维的正方形边沿究竟是一个连续统还是可数集？如果说是可数集，但毕竟事实上他也是线段，这不就又矛盾了？如果是连续统，那么(1,2)*(2，3)得到的应该是(2,6)还是[2,6]？）我们先不说这个，还是先说粒子散射。如果我们认为粒子散射的边界是一个可数集，那么所有解释都可以说得通，因为边界以内和边界以外不连续，或者说不相交。但如果边界是不可数集，那就代表着粒子不能完全覆盖边界，间隙同外侧相连，就成了相交或连续。换句话说，边界就模糊了。。。。。
我得说，我头大了。

zdd5254 · 发表于 2014-7-10 10:02:30

楼主见解独特

Pascal · 发表于 2014-7-10 21:50:23

crazypeanut大侠，首先谢谢你专业的讲解。
我的问题---为什么不能认为线段是由点构成的呢？这样认为有什么不好么？
比如说拿一把刀去砍一个线段，姑且把这把刀叫做戴德金刀，刀每次都会砍中一点，也只能砍中一点。所以我认为线段是由点构成的。
你看看哪里不对？

crazypeanut · 发表于 2014-7-10 22:09:24

Pascal 发表于 2014-7-10 21:50
5 x9 x0 W4 z/ p. lcrazypeanut大侠，首先谢谢你专业的讲解。
/ Y4 v0 D/ |$ _& }8 R% G# \我的问题---为什么不能认为线段是由点构成的呢？这样认为有什么 ...

这样会形成静矢不动的悖论，将点和线段严格区分开来是数学上回避悖论的一种有效手段

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