【流体力学】NO.5 伯努利微分方程推导

上峰

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在看沿流线的伯努利方程推导时，对其中的有些数学处理感到有些困惑，想了很久，试图说服自己，但也不知道对不对。

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问题 1 、书中介绍“为将方程沿流线积分，两边乘以 ds 并移项。”

我以前的想法是：因为是一维运动， Z 轴 z 、压强 p 、速度 v 是（ s ， t ）的函数， F=ma 中的 F （包括压强 p ）是某一个瞬时状态物体所受的合力，而 z 、 p 、 v 乘 ds 是只需考虑瞬时的状态，不用考虑 t 的影响。

这么一想按高数中微分的思想来理解 F=ma （假设 F 是变化的作用力 F=F(t) ），加速度 a 是为单位时间里力的变化，如果时间极短，那么 F 就是可以看成这段时间里不变化的力，继而可看成瞬间的力。同时加速度 a 也是该微元时间里的速度变化与时间变化的比值，局部看该微元时间加速度 a 不变，那么求得比值就是某一时刻的加速度。

接上我的问题，给个例子如：? p/ ? s 是压强沿流线的偏微分，不取微分，是因为还有时间的因素。现在乘 ds 是只考虑瞬时状态，不用考虑时间 t 的影响。

问题 2 、压强势能 P/ρ 怎么理解，重力势能是物体在位置改变时，重力所做的功转化为重力势能 mgh 。
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翔梦随风

楼主这是看的哪本书？
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上峰

翔梦随风 发表于 2014-5-21 22:53
楼主这是看的哪本书？

这是交大丁祖荣的流体力学，偏工程一点，手上还有一本国内经典吴望一的。

一口喵呜

压力做功（P1-P2）△V 重力做功△mg（h1-h2） 动能变化m（V1∧2-V2∧2）/2

一口喵呜

公式用手机打了好久，一点回复全没了，，，楼主你把最后一个公式分别都乘以质量m

上峰

一口喵呜 发表于 2014-5-21 23:50
公式用手机打了好久，一点回复全没了，，，楼主你把最后一个公式分别都乘以质量m

非常感谢你的解答，你的回答让我想起以前学的工程热力学！关于压力势能我看，能理解了。
压力做功（P1-P2）△V ，这个写法可以改为P1V1-P2V2，好比重力做功w=mg(h1-h2), 推动功PV是储存在物质内的能量如重力势能mgh。是物体固有的能量，如果X质量m，那么P/ρM=PV,代表质量m的流体（体积为V)具有的推动功，也就是压力势能。

龙九禅师

@逍遥处士

tonybrown

长见识，学习一下

yangquan1321

关于问题一，楼主是不理解(?p/?s)ds=dp吗？我个人理解这就是变量p一维空间分布的全微分，如果是三维的dp=(?p/?x)dx+(?p/?y)dy+(?p/?z)dz, 这是高数上常见的全微分形式，你把它变下，想成沿一个方向的变化量，不就是这种形式吗

关于问题二，把式4.3.3 方程变形下，两边同时除以g，可以得到方程v^2/2g+z+p/ρg=常数， 第一项是物体自由向上运动能达到的高度，叫速度高度，第二项叫位置高度，第三项叫压力高度（静水柱在压力P时的深度），三个高度加起来为常数。这样不知是否可以更好理解些能量守恒。
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