1 问题的提出
插铣法又称Z轴铣削法，其工作方式类似于钻削，刀具沿主轴方向做进给运动，利用底部的切削刃进行钻、铣组合切削。插铣加工法的原理图如图1所示。
图1 插铣加工法原理图
插铣加工法是复杂曲面金属切削实现高切除率最有效的方法之一，被广泛应用在具有垂直侧壁的零件切削上。插铣法的加工效率远高于常规的铣削方法，可以快速切除大量金属材料。此外，插铣加工还具有以下优点：
①侧向力小，减小了零件变形；
②加工中作用于铣床的径向切削力较低，使主轴刚度不高的机床仍可使用而不影响工件的加工质量；
③刀具悬伸长度较大，适合对工件深槽的表面进行铣削加工并延长刀具使用寿命，也适用于对高温合金等难切削材料进行切槽加工。
虽然插铣加工拥有许多优势，但是过去和当前对铣削加工的研究主要集中在使用端铣刀加工雕塑曲面时的优化问题。很少见到对插铣加工刀具路径规划的研究。
Ocfill(over-lapped circles filling)算法生成插铣加工的刀具轨迹，较好地解决了二维区域内的插铣加工刀具路径的生成问题。但是该算法不能对刀轴进行控制(只能应用在三坐标机床加工中)，无法针对具有扭曲型腔的零件生成插铣加工路径。提出了一个插铣加工的机械和动力学时间域模型，但也只应用在三坐标铣削加工上。
在工业生产中，有一类零件必须用五坐标机床才能进行加工，叶轮类零件就是典型的代表。
传统的叶轮加工工艺规划方案一般包括开槽、扩槽和精加工，其中开槽、扩槽部分相当于一般的粗加工阶段。大部分采用锥形球头铣刀，先在流道的中间部分进行开槽，然后采用侧铣法从流道中心向两边逐步扩展，直到满足叶片粗加工的余量要求为止，最后再采用侧铣或点铣法完成叶片的精加工。有资料表明，开槽、扩槽阶段的材料去除量很大，约为60％～90％，因此粗加工的效率和工艺的优劣对缩短加工周期及降低加工成本具有重要的意义。
综合叶轮零件粗加工所面临的问题和插铣加工的特点，很自然地就能想到插铣法是叶轮类零件粗加工的首选方案。进行了开式整体叶盘的通道插铣粗加工技术的研究，利用直纹面逼近叶轮的叶型曲面，通过连接刀心和刀轴上的对应点，规划刀具轨迹。但是该方法没有考虑行距、步距的计算准则，无法保证插铣加工的材料去除率和加工效率(生成的刀具轨迹不一定最短)，而且该文献采用对UG软件的二次开发实现其算法，没有形成拥有自主产权的计算机辅助制造(Computer Aided Manufacturing，CAM)软件，对插铣加工深层次的研究不利。
现阶段一些典型的商用CAM软件如UG，MasterCAM等虽然提供了部分插铣功能，但通常这些功能只能在三坐标机床上完成插铣加工，对像叶轮这样的窄流道、叶片扭曲大和深型腔，需要用五坐标机床才能完成加工的工件无能为力。因此，本文在研究复杂型腔插铣算法的基础上，自主开发了叶轮零件数控加工专用计算机辅助设计(Computer Aided Design，CAD)／CAM软件，提供了五坐标插铣加工功能，对开发拥有自主知识产权的CAD／CAM系统有一定的借鉴意义。
综合上述问题和情况，本文着力解决叶轮类零件的五坐标插铣加工的若干关键技术，包括：
①插铣边界矢量的生成；
②边界矢量之间的插值算法；
③行距、步距的确定。另外，本文还给出了在VERICUT仿真软件中的仿真效果和实际的加工实验，以验证本算法的可行性。
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2 插铣加工算法
在工业生产中所用的叶轮类零件的流道(型腔)形状通常比较复杂(如图2)，因此在生成刀具轨迹时，要求CAM软件对刀轴的控制能力非常高，既要保证插铣路径均匀分布，又要保证刀具不同叶片表面发生干涉。下面对插铣加工算法进行详细介绍，这些算法构成了插铣加工的关键技术。
图2 被加工叶轮零件CAD模型
2.1 边界矢量的生成
对于叶片形状为自由曲面的叶轮，可以采用将自由曲面拟合成直纹面。因此，本文只讨论直纹面叶轮边界矢量的生成。
在本文提出的插铣加工算法中，边界矢量的生成具有十分重要的意义。边界矢量既可以保证刀具与叶片曲面不发生干涉和过切现象(在本算法中是应用叶片直纹面的偏置面生成的，不会干涉)，同时又是2.2节边界矢量的插值算法进行插值所依据的参照矢量，因此非常重要。边界矢量生成的基本原理如下：
在工程中，直纹面参数方程的表达方式为
式中：w(u)和Q(u)分别为直纹面叶片的叶顶线和叶根线，U和v分别为u向和v向的参数。根据上述定义，可以绘制如图3所示的边界矢量计算原理图。
图3 边界矢量计算原理图
参考图3，由三角形的几何关系，最终可以推出如下方程组：
式中：R为刀具半径，L为图3中P1P2的长度，γ为P1C1和P2C2的夹角，α为P1C1和C1C2的夹角，d为刀具相对叶片的偏移距离。该方程组是一个非线性二元方程组，其中a和d为未知数，关于该方程组的详细推导步骤。通过解方程组求得的a和d，就可以计算出偏离直纹面指定距离的矢量(即边界矢量)。
本文边界矢量的生成要依据吸力面和压力面通过偏移一个刀具半径来计算，同时为了给精加工留有余量，在偏移刀具半径的基础上，再偏移一个加工余量(本文余量为0.1mm)计算得到。依据上述算法计算得到的边界矢量如图4所示，接下来应用2.2节的算法对这些边界矢量进行插值。
图4 边界矢量计算结果图
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2.2 边界矢量的插值算法
本算法的关键部分是在边界矢量之间均匀地填充(插值)矢量作为插铣加工的刀轴方位，从而在2.1节已生成边界矢量的情况下，通过对边界矢量进行合理插值，最终完成对边界矢量所包围的型腔(对叶轮来说即为流道)的加工。这里最关键的是对边界矢量的插值要合理。
这是因为均匀的切除量对插铣加工很重要，插铣是靠刀具的边缘沿着Z轴的方向从上到下啃切，插值矢量之间均匀的分布可以保证插铣加工中的侧吃刀量恒定，如图1所示。
为生成均匀侧吃刀量，本文在对比了多种插值方法的基础上，将四元数插值法引入到插铣叶轮流道的刀具轨迹规划算法中，较好地解决了插铣过程中均匀切除量刀具路径生成的问题。下面将详细介绍四元数法生成均匀切除量的刀具轨迹算法。
在五坐标插铣加工刀具轨迹生成算法中，最重要的是控制刀轴矢量，而刀轴矢量代表了旋转方向，因此依据边界刀轴矢量的插值实际上是一种刚体旋转运动的插值算法。如前所述，旋转控制得越均匀，插铣过程中的吃刀量也就越均匀。
在理论界，旋转运动有多种表示方式，如欧拉角定义方式、旋转矩阵定义方式和四元数方式。
传统上通常使用正交矩阵代表欧拉角来描述旋转运动，这是由于刚体绕X，Y和Z轴的旋转矩阵形式简单且应用广泛，但使用欧拉角和旋转矩阵的方式来定义旋转运动存在如下缺陷：
①缺乏直观性，直观上欧拉角和旋转矩阵不能明确地看出物体的方位；
②欧拉角和旋转矩阵在有些情况下会丢失一个自由度，在这种情况下，一个方向对应多个旋转，从而产生万向锁问题；
③实现插值比较困难；
④对旋转的表达不明确，给定一个旋转矩阵，无法反求其所代表的旋转；
⑤表达形式存在冗余，如正交旋转矩阵的表达方式中存在冗余数据。
四元数恰恰弥补了欧拉角和旋转矩阵的不足：
①几何特征明显；
②独立于坐标系；
③插值算法简单；
④表达形式紧凑；
⑤不存在万向锁问题；
⑥组合旋转容易(只需将两个四元数相乘)。
因此，本文采用四元数来描述旋转运动。
四元数的定义包含一个标量分量和一个三维分量，通常将标量分量记为W，将向量分量记为单一的v或分开的x，y和z，表示为［w，x，y，z］或［w，v］。目前，四元数的加、减、乘、除的标准运算已有定义。本文中，对插铣加工生成插值的刀轴矢量最有用的运算是球坐标线性插值(Slerp)。Slerp可以在两个四元数(代表旋转，本文即刀轴矢量)之间进行平滑插值，这是普通的插值如线性插值(Lerp)所办不到的。为了比较Lerp和Slerp，下面给出其公式。普通的线性插值公式为
Slerp的插值公式为
式中：h为插值参数，q0和q1表示四元数，q0-1表示四元数的倒数，其计算公式为
式中：q0*表示四元数的共轭；‖q0‖表示四元数的模。
在平面内，利用式(3)和式(4)，针对Lerp插值和Slerp插值的结果如图5所示。可以看出，Slerp的插值结果分布得更均匀(均分了整个圆弧)，可以保证插铣过程中侧吃刀量一直保持均匀。
图5 Lerp和Slerp插值算法比较
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2.3 行距和步距的计算
即便确定了插值算法，可以想象，如果边界矢量的插值过于稀疏，则在插铣加工后，流道中的金属残留量会过大，甚至会在两个相邻插铣刀具路径之间出现高耸的残留金属的情况；但插值的刀轴矢量也不能过于稠密，过于稠密虽然能够得到较好的插铣加工表面，但由于走刀次数太多，使得插铣的优势丧失殆尽。因此，行距和步距的确定也是至关重要的。
在传统的三坐标插铣加工中(如图1)，行距和步距的确定相对比较容易，而在五坐标加工中，行距和步距的确定就变得困难了。这是由于相邻插铣刀具路径之间刀轴角度的变化导致切削范围为一个不规则的锥形区域，使计算比较繁琐和困难。多坐标插铣加工不规则锥形区域原理图如图6所示。图6中，令两个相邻插铣工步刀心点的坐标为Ol和O2，型腔上表面到刀心点的连线距离为L，两个相邻插铣工步的刀具边缘的交点为B，过B点做刀轴矢量的垂线并同刀轴矢量相交于P1，P2点，则
式中R为刀具半径。将BP1O1O2P2所包围形成的五边形提取出来，如图7所示。
图6 多坐标插铣加工不规则锥形区域原理图
图7 行距、步距计算原理图
在图7中，令C为O1O2连线的中点，│O1O2│=H，过C做BP1的垂线交于D点，过O1点做面的垂线交于E点，将相邻工步的刀轴矢量的夹角命名为倾角距，用β表示。由于BD+DP=R，在△CBD和△CO1E中，根据三角几何关系，可以得到等式
又根据插值原理(如图4)，令每一行边界矢量的夹角为A，边界矢量刀心点之间的距离为H0，因为插值算法要在边界矢量之间进行均匀插值，即步距要相同，倾角距也要相同，二者成比例，则可以得到等式
联立式(7)和式(8)，得到一个二元非线性方程组
式中：L，R，A，H0为已知数，β和H为未知数。由于这是一个二元非线性方程组，无法手工求得结果，只能采用数值分析中的拟牛顿法才能计算出结果。
求得β和H的值后，就得到了平均步距和倾角距，在行方向的插值结果就确定了。
在列方向的插值结果，即行距的计算原理同步距的计算方法相同，只是被插值的矢量不是每一行的边界矢量，而是叶片两端的边界矢量。H0的长度也应该是叶片轮毂面曲线的长度。
3 刀轴矢量和轮毂面的求交算法
在2.3节中解决了插铣加工的刀轴矢量的计算方法。虽然刀轴矢量的计算方法在五坐标插铣加工刀具轨迹规划算法中占有十分重要的地位，但是刀心点的计算也是非常重要的。如果没有刀心点的计算，就无法得到插铣加工的插铣深度，也是不能应用到工程实际中的。本章将介绍刀心点的计算方法。
刀心点计算的基本原理是求取刀轴矢量(空间直线)和轮毂面的偏移面(本例为圆弧截面轮毂面的偏移面)的交点。
在计算几何领域内，求交点的计算方法很多，由于本文叶轮的轮毂截面为圆弧截面，采用解析几何的方法来计算交点。
根据计算几何的基本原理，一圆弧截面绕Z轴旋转后的曲面方程可以表示为
刀轴矢量抽象成的空间直线的方程为
将方程(11)带入方程(10)中，可以得到如下一元二次非线性方程：
该方程形式虽然比较复杂，但是因为只是关于参数t的一元二次方程，所以简单地应用数值分析中的对分法就能够求得其结果t。将t带入式(11)，可求得轮毂面的偏移面与刀轴矢量的交点，即插铣加工该工步的刀心点坐标。
4 仿真和实际加工验证
应用上述刀轴矢量和刀心点的计算方法，本文开发了叶轮铣削加工专用CAD／CAM软件，软件包括插值曲线和曲面造型功能、拟合曲线和曲面造型功能、侧铣加工刀具轨迹规划算法、点铣加工刀具轨迹规划算法、插铣加工刀具轨迹规划算法、后置处理功能等。应用本软件，可以直接生成叶轮类零件的五坐标插铣加工刀具轨迹。图4所示为应用本CAM软件对叶轮的造型结果。
通常叶轮类零件具有几何对称性，只要生成一个流道的刀具轨迹，其余流道的刀具轨迹都可以通过旋转和复制生成。因此本文只依据一个流道生成刀具轨迹，其余通过复制就可以了。依据本文所提出的插铣刀具轨迹规划算法，计算出的刀具轨迹如图8所示。
图8 插铣加工生成的刀具路径
由于五坐标加工比较复杂，为防止在实际加工中造成过切和干涉问题，在机床上进行实际加工之前，通常借助计算机软件进行刀具轨迹的仿真验证，检查刀具轨迹和后置处理是否正确。本文采用VERICUT软件验证本CAM软件生成的刀具轨迹(如图9)，并分别仿真了插铣加工中的抬刀和插铣加工过程。
图9 仿真加工中抬刀和插铣加工
% G3 p9 x/ V, n9 }+ \" w3 T另外，由于插铣加工的特殊性，单纯利用VERICUT无法对刀具和被加工材料之间的切削作用和效果进行仿真，必须进行实际的切削实验，才能够验证本文的插铣加工算法是否可行。为此，本文在一台旋转轴为B，C的五坐标机床上进行了实际切削加工实验，如图10和图11所示，分别为流道加工和叶轮成品的图片。加工过程中采用的刀具为直径6mm的球头铣刀。
图10 最后一个流道加工图
圈11 插铣加工生成的刀具路径
图10为最后一个流道插铣加工中的一个工步，图11为插铣粗加工完成后的叶轮零件。不同于普通铣削方法，插铣加工完成后的叶轮轮毂面呈现鱼鳞状的刀痕，而不是呈放射线形状的轨迹。
该叶轮一个流道的加工时间为30min左右，再加上精加工的时间，不超过50min。而采用传统的方法，在本机床上，采用相同的刀具和相同的进给速度，至少需要1h，可见插铣加工方法在一定程度上提高了加工效率。
5 结束语
本文提出了叶轮类零件五坐标插铣加工的刀具轨迹生成算法，应用四元数球坐标插值方法计算了五坐标插铣加工中的插值刀轴矢量，重点解决了多坐标插铣加工中行距和步距的计算方法，并自主开发了叶轮类零件插铣加工专用CAD/CAM软件。利用该软件生成了某叶轮零件的插铣加工刀具轨迹，在VERICUT仿真加工软件中进行了仿真加工验证，并在B，C旋转轴的五坐标机床上进行了实际插铣加工实验。仿真和加工实验证明，本插铣加工算法兼顾了叶轮零件粗加工的材料去除率和加工效率，为叶轮零件的粗加工工艺提供了新的选择方案。
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发表于 2014-3-25 19:21:23
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