我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法

逍遥处士

我研究数学分析（微积分）以来，有那么一点心得，一直想写出来，帮助初学者，以跨过那些难懂的书籍，以掌握微积分，以产生生产力。

* W6 l* ^! g5 r7 f让我们把概念抛弃，先把玩法弄会，把玩法弄熟，最后再学习基本理论。
6 Q1 R% t% z1 a% J5 d; H本方法能从代数式一步过渡到微分式，只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。
$ A3 F/ {3 y* ?( w& v$ {! S
先从最简单的一元一次方程式开始。
% M* X8 U9 B& Y+ m! r  c/ j) Sy = 2x                      （1）
我们将 y 替换成 y+dy ， 将 x 替换成 x+dx，于是上式变换成：
. d9 C5 S/ `" [+ y$ N& A8 V(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
- I: b7 Y  O/ V2 F（2）-（1）得：
" r3 V2 ~7 V7 W9 idy = 2dx                  （3）
' L$ s3 [( i  P上面这个（3）式就是（1）式的微分式。快吧？将dx从右边挪到左边就变成：
" d5 s7 z1 V# D$ q  W; \1 u: }9 Pdy/dx =  2 = y'           （4）
9 S$ M6 m5 x. J# ^0 h上面的（4）式就是（1）式的导数式，导数就是这么求来的。
+ M7 Z. L2 I. u' `% W' h1 v* _: ]3 U7 t
下面再来看一元二次方程：
y=x^2                      （5）
( L, Z* A: @& T" f/ U8 s2 u做替换，y→y+dy，x→x+dx，得：
(y+dy) = (x+dx)^2     
展开得：
2 e$ o, Y. x$ Z" z0 r# r(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
8 y' y9 U, E3 G2 r6 d（6）-（5）得：
dy = 2x*dx + dx^2     （7）
这里介绍一个关键，微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”，而dx^2属于二阶“无穷小”，二者相加，高阶者略去，所以：
dy = 2x*dx                （8）
, a9 j# l4 ?. b; {4 g7 s. Pdy/dx = 2x = y'          （9）
  |9 g3 S1 {$ L- w3 D; n; {8 R上面的第（9）式就是（5）式的导数式。
& \3 @+ z; k- p* X5 H
, Z/ `5 d, E, G+ x/ m+ v下面看二元一次方程：
z = xy                      （10）
做替换z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
: o3 u* M( T% }" E9 X展开得：
( q& R# o: }3 oz+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
/ X) N6 L  i  J0 J, ~（12）-（10）得：
dz = xdy + ydx + dxdy（13）
4 {$ g& _- G" T6 ?看上式，又出现了高阶“无穷小”，可以略去，所以：
4 X! V8 L+ I, s* W. o5 `+ O9 _dz = xdy + ydx          （14）
上式即为（10）式的微分式。
( y2 [9 t+ _, Q% y
最后再举一个例子，关于流体的连续性有一个式子：
* Q! V4 t$ G2 Z0 C& eρvA = C（常数）
书上说先两边取对数，然后再两边微分，得：
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
' ~% N2 [/ x6 U3 Y+ F用我的方法，不用无中生有去微分，一样得出这个式子，先做替换得：
9 x3 Q& r6 ^0 |3 \$ O; p$ C(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
展开得：
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
减去第一个式子，再略去二阶及三阶无穷小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
两边同除以ρvA，就跟上面一样了。
/ E. s" H  W5 C5 B
0 ]" ?/ o% O+ A# W) w总结一下，第一步替换，第二步相减，第三步“略去高阶无穷小”，成功！
任何方程式都可以这么干，不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。

风随意

初中毕业表示很难看懂~

逍遥处士

题目又被改了……声明一下，冒号前面的字是管理员加的。
鄙人可不敢说研究数学，会让教授们笑话的。
再次声明，冒号前面的字是管理员加的。

水水5

最近感觉到处都要用到数学呢
往高一点研究都是要用数学的   也在看微积分 复习一下

mfka

很有意思！
+ ?  M2 i- r" C2 y* H1 m谢谢把你研究结果与大家共享！
# P7 m9 P/ L! Y我提点我的看法，请不要介意！
( G' Z  s- D: R2 @! |  w+ m你用的是数学研究的枚举法，如果要普通适用就要证明的方法过程，你所谓的无穷小项不一定是真正的无穷小。

zhulongxin1986

不去教数学真是浪费啊。

逍遥处士

mfka 发表于 2013-5-22 22:59
很有意思！
5 n' D/ z' m/ t谢谢把你研究结果与大家共享！
我提点我的看法，请不要介意！
. q) t4 B0 j% q& f( }# S6 U

: G- A0 T5 ?: A5 m+ X2 S2 ~9 Y鄙人这是综合了标准分析、非标准分析以及我国阴阳学说才研究出的结果。
完全符合洋人的标准，所以不存在你说的那些问题。

4 H4 y+ c/ H; l- c- ^. X- P+ I补充内容 (2013-5-25 22:28):
这个真不是吹牛，其实我原本的想法，并不是这样。我原本的想法写出来，如果用阴阳学说来看，是很容易理解的，但现代人怎能接受？我只能写成这样，但这样更难理解。但是——无论你怎么说，这种方法的结果却是对的。
% f5 [5 q0 n' W# C# {
' X$ @& p$ X: |$ W8 ]补充内容 (2013-5-25 22:30):
我们不妨想一想，这种简单直接的方法，无论在什么情况下，它的结果都是对的，但它的解释学起来却无比艰难——大家想一想，问题出在哪里？就是出在对这种方法的解释上面！

补充内容 (2013-5-25 22:33):
8 e5 c6 I) j; Z* c2 h所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

3 S6 O4 v4 Q2 V" G! H$ e补充内容 (2013-5-25 22:34):
& q3 F9 ?# A9 X  p& }# |所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

请叫我小凯

满新颖的

大本Ben

嘻嘻。以后遇到这些就简单多了。

wwfs

这其实就是导数公式的推导过程，用极限的方法，数学分析教材至少我学的版本就是这么处理的，这么看来不清楚极限的可以用楼主的方法，知道的可能就觉得在绕圈子了，小小评论楼主莫在意啊