我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法

逍遥处士

我研究数学分析（微积分）以来，有那么一点心得，一直想写出来，帮助初学者，以跨过那些难懂的书籍，以掌握微积分，以产生生产力。

让我们把概念抛弃，先把玩法弄会，把玩法弄熟，最后再学习基本理论。
本方法能从代数式一步过渡到微分式，只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。

8 L5 k, Y5 q# h; d先从最简单的一元一次方程式开始。
' |9 m, ]3 i6 d5 V3 m8 A' h+ u: j; py = 2x （1）
我们将 y 替换成 y+dy ， 将 x 替换成 x+dx，于是上式变换成：
$ i6 P8 }/ l' q1 V) n(y+dy) = 2(x+dx) （2）
（2）-（1）得：
# ]% q4 B# `+ Rdy = 2dx （3）
上面这个（3）式就是（1）式的微分式。快吧？将dx从右边挪到左边就变成：
2 y8 ~9 h! @' j9 L& s d! x4 Kdy/dx = 2 = y' （4）
2 ?5 h2 T) J4 k9 | I% m上面的（4）式就是（1）式的导数式，导数就是这么求来的。

( X: ~! K" O, B8 c下面再来看一元二次方程：
y=x^2 （5）
做替换，y→y+dy，x→x+dx，得：
: {% E6 ~; V1 @' J* h8 f- v, l(y+dy) = (x+dx)^2
展开得：
* v7 n6 d9 I& x9 Z1 p' r5 L(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2 （6）
（6）-（5）得：
" C1 o: ~, Z5 t$ C5 E- [dy = 2x*dx + dx^2 （7）
这里介绍一个关键，微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”，而dx^2属于二阶“无穷小”，二者相加，高阶者略去，所以：
$ h& [ W$ `1 X5 o: W' r, ldy = 2x*dx （8）
dy/dx = 2x = y' （9）
1 J3 `# D/ g6 x8 L$ N6 H9 j" I上面的第（9）式就是（5）式的导数式。
8 w3 e) k$ K# g H; l; F- e; b7 o' L0 e
下面看二元一次方程：
" c& p$ u$ j* M% Y( bz = xy （10）
做替换z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
展开得：
( k) Q" e# _- ]! |/ n9 ~z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
' @! X9 \5 v% }（12）-（10）得：
dz = xdy + ydx + dxdy（13）
\. X0 x f4 w) C7 p看上式，又出现了高阶“无穷小”，可以略去，所以：
+ z3 P1 S) N( pdz = xdy + ydx （14）
上式即为（10）式的微分式。
$ U3 V% f! C' e5 ?7 E9 P2 f: Z) s
6 w* @: V! V3 x0 ?; y& U最后再举一个例子，关于流体的连续性有一个式子：
ρvA = C（常数）
7 F& \: {' t* u: f书上说先两边取对数，然后再两边微分，得：
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
用我的方法，不用无中生有去微分，一样得出这个式子，先做替换得：
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
展开得：
9 Q1 U5 b( |8 s) h" d0 W; gρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
减去第一个式子，再略去二阶及三阶无穷小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
两边同除以ρvA，就跟上面一样了。

总结一下，第一步替换，第二步相减，第三步“略去高阶无穷小”，成功！
4 ? t' T! U" M1 q" ?任何方程式都可以这么干，不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。

风随意

初中毕业表示很难看懂~

逍遥处士

题目又被改了……声明一下，冒号前面的字是管理员加的。
鄙人可不敢说研究数学，会让教授们笑话的。
再次声明，冒号前面的字是管理员加的。

水水5

最近感觉到处都要用到数学呢
9 F" @5 Y4 l9 K0 @) i往高一点研究都是要用数学的 也在看微积分 复习一下

mfka

很有意思！
3 K/ W6 t M9 _ c4 ], o% J) z5 v谢谢把你研究结果与大家共享！
5 ^6 g+ E; q- l0 R* }4 t' K' o我提点我的看法，请不要介意！
你用的是数学研究的枚举法，如果要普通适用就要证明的方法过程，你所谓的无穷小项不一定是真正的无穷小。

zhulongxin1986

不去教数学真是浪费啊。

逍遥处士

mfka 发表于 2013-5-22 22:59
9 `, I/ W' B" A' U9 ]7 m 很有意思！
* q. X5 o9 t, b" O) p% T9 P, j5 H, k2 t谢谢把你研究结果与大家共享！
% {, Q- d8 i* n+ H' K8 f/ x我提点我的看法，请不要介意！
: D# }8 S3 `( s4 t( U) }- x

鄙人这是综合了标准分析、非标准分析以及我国阴阳学说才研究出的结果。
完全符合洋人的标准，所以不存在你说的那些问题。

补充内容 (2013-5-25 22:28):
2 Q; D7 v/ w: G+ V% a4 G这个真不是吹牛，其实我原本的想法，并不是这样。我原本的想法写出来，如果用阴阳学说来看，是很容易理解的，但现代人怎能接受？我只能写成这样，但这样更难理解。但是——无论你怎么说，这种方法的结果却是对的。
' Z, q9 ^) O, a7 r: P: D
补充内容 (2013-5-25 22:30):
2 ?' g: ~0 H, t我们不妨想一想，这种简单直接的方法，无论在什么情况下，它的结果都是对的，但它的解释学起来却无比艰难——大家想一想，问题出在哪里？就是出在对这种方法的解释上面！

补充内容 (2013-5-25 22:33):
* D3 F/ h+ o( X6 X( S7 e所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

. t& U [6 l8 B" }2 ^补充内容 (2013-5-25 22:34):
所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

请叫我小凯

满新颖的

大本Ben

嘻嘻。以后遇到这些就简单多了。

wwfs

这其实就是导数公式的推导过程，用极限的方法，数学分析教材至少我学的版本就是这么处理的，这么看来不清楚极限的可以用楼主的方法，知道的可能就觉得在绕圈子了，小小评论楼主莫在意啊