本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑 + A; \& Z( ]# M7 }' g( G
& \. ?2 t: e" u* K这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。
9 k- w# S6 T% R& y) u0 j3 p6 {好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。
# d/ D6 r7 j! A) L生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。
J. R6 w8 v/ B
( v" g$ E9 ^% ?: i6 ]2 n8 S3 i5 b首先，简单说下杠杆原理。如图。
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杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。
a( p3 T. g* e, c& {- A5 i那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。
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' p) N" Y# n9 l' V! |; p5 F/ p! q我们来说正题，杆秤。
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分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。* @4 c/ ~) U6 v, J3 I) _
1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。
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7 h0 t( w' d+ b! _" L
由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
' x* k, d5 z3 J4 [. _" X ^ 推论：G1*l1=G2*l2……(4);
+ A* j* h6 k! M* ]; Z; S但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。
- P% j( u0 d/ a0 q2 r) e+ @ $ n2 g& q7 ]& e
分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6); 0 p* u* r- E, U3 J- C8 v7 g/ J
M左=M右 ……(3)& p9 v1 W4 n$ d4 w; [3 {' ]
推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7); 2 \$ a7 Y( [+ c: n" T
联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2; F U8 u0 j! T4 ]$ {
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。# h1 x6 P* c. [. F' m# S% B
如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。
4 k% Y" R& R* s2 j& a, a8 \9 f) r7 [4 n" g$ x7 L
2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
$ c; z4 @8 D% L& ], ^同样，按照之前的方法分析。0 z* [! z. b8 g- b/ C
水平态：
+ S/ Z6 D7 q3 C
" f" |5 a, X1 \% I& H9 |5 G M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3) ; T7 l s) T8 O# x
推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10); 7 c- [8 y; `- K6 e K4 O
因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)7 o# n' v1 k: v" u. u$ K, y
) c/ `5 C& X+ v- ~7 n对于非水平态：
1 i/ J8 e/ {% f* D 6 w3 G9 h% s$ O5 j t* j
M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12); ! }9 {1 u5 Y# r! }
M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3)
! o/ y+ p! {+ K% K l: l 联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2: w, d f3 o" T" Q- b
结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
# p. S, K9 p, I j- r4 I Q 即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！
, d' G2 y. l8 J, l7 M* n9 r 2 ?6 a6 H# Y& t4 F5 N
以上，希望大家喜欢。
6 ^3 C2 ?1 j8 J: s6 V; l
/ y. |3 x. W+ n IPS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
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