本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑
- b# [7 B% E+ b" f3 k, ~7 v: a; w/ x" O) R/ t) ^$ x
这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。- l, X: b2 L _6 j5 K$ f9 S
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。% C# u# Q8 l' \, E/ Y
生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢?我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。
( T# a4 e0 h* m6 v
4 o* H0 j! o2 j j# L' P( h3 h
首先，简单说下杠杆原理。如图。* g9 j& i8 m- \* S9 g: y @( @
6 {5 n8 Z" [+ f* o e/ S
杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。5 _6 @5 v- P! n# M$ n& I
那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。9 ^+ x$ W% r5 B( }% W1 A0 K1 B
4 `$ \* e2 y6 j5 W我们来说正题，杆秤。
1 i* s3 H) x2 F) I. Z
8 }7 S, x4 g( s2 @$ c ?0 a分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。
$ W9 o* l( _) r" `3 |4 F1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。* I, i' C6 {3 @- g/ {
' K+ e- f, R9 Z' K' z
+ I+ H+ L; f$ z5 I1 z
由分析图我们可以得到下面的结论：
M
左
=G1*l1……(1); M
右
=G2*l2……(2); M
左
=M
右
…… (3)
! p7 t" e4 q+ P A5 ?7 e6 S9 t
推论：
G1*l1=G2*l2……(4);/ t2 E2 ?5 @0 N: }
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。
- H& X' J. y$ R5 p1 W6 L- z$ E2 W
$ R4 F) }' }' y% y
分析图我们可以得到下面的结论：
M
左
=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M
右
=G2*l2"*cos(a)……(6);
: }8 M% K5 |3 d: v$ ^$ @% vM
左
=M
右
……(3)6 W3 u) j6 ]# K) i
推论：
G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7);
6 J- q3 q" d. l! G. w联立
4
，
8
得：
l2"=l2*(l1-l1')/l1 ;
即
:
l2"
+ i# [. l2 O/ z5 }* e
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。
, |9 \5 a# Q' r) ?9 L8 o如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:
我们实际读出的数值大于被秤物体重量。
7 l7 N6 P) \- I0 H$ x
, E9 z( A! L6 C+ P, `* Z2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
* r8 m6 x* y9 U; e8 @同样，按照之前的方法分析。
& n8 u. h* \' }6 H3 d) m
水平态：
! e* p. Y# N! {+ W
$ m0 o$ V' `- n" Q) m
M
左
=G1*l1+G3*l3……(8); M
右
=G2*l2+G4*l4……(9);
M
左
=M
右
…… (3)
) N: h1 t4 w# m9 K2 [推论：
G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10);
9 `, Z8 G1 {& G. H
因此有：(
G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)9 V- J7 x% j( z7 U1 q& [( b
6 D h5 b' K1 ]1 A& ~5 s+ F8 L对于非水平态：
* j# ^# M- Q- l2 Q7 _+ A
6 w2 G" Y L. \
M
左
=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12);
3 d6 t. N) t& x& E
M
右
=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M
左
=M
右
……
(3)
7 ^) A. k& ]0 C# M( ^联立(4)(12)(13)(3)得:
l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
3 h5 Q0 f* M# t" v) H/ K: b% t1 l结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
7 g: v7 @0 H5 W% l3 b8 z
即
:l2"<
(14)
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！" g7 k2 o" D" G; { A) }6 j. A
3 ~7 e6 u% J; ^3 d0 E3 \7 {
以上，希望大家喜欢。+ R1 V) B" D# e) j+ t
0 b$ ?. t6 ?0 f: X# l4 ePS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。
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发表于 2013-4-28 09:46:46
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