本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑5 Y% g# U) R1 }& |) M5 p
& ^$ z! z2 `0 u' o9 u) m' G& z( Q这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。5 L) ]" d- L. x. U
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。
# r* w% i- \. V7 t! e8 d生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢?我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。$ l# Z/ J1 z& @ }2 Q
' A/ _8 p) X' L) u0 ?3 i, `首先，简单说下杠杆原理。如图。! P" ^% c7 {$ m
+ f7 e) j9 u p9 Y# Q4 Q杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。) j9 T$ V- y- M% e' N
那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。( w9 i6 ^$ z- T) s1 B T
4 x! d. V! G. \7 X我们来说正题，杆秤。
7 s+ m. ]% U* f1 {/ ~% R0 y
+ L x" l8 m* }+ C/ r* w7 a分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。
4 g) M% T& ]# f$ M1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。* F$ I7 O8 j8 v1 b" [) p- C
8 b$ Y! o* W; m- W
* n; J$ K. v$ @) U
由分析图我们可以得到下面的结论：
M
左
=G1*l1……(1); M
右
=G2*l2……(2); M
左
=M
右
…… (3)
; t* [( | ^/ x
推论：
G1*l1=G2*l2……(4);/ G/ r1 r+ h' Z% x8 [
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。
; S/ ]0 h8 d$ f( D
, z& r1 A$ ~: F9 u3 O8 `9 e& f4 R# s- k
分析图我们可以得到下面的结论：
M
左
=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M
右
=G2*l2"*cos(a)……(6);
8 X! B/ H3 i! A3 ]' SM
左
=M
右
……(3)* H ~' C1 w( z* R0 x s4 B6 B
推论：
G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7);
. m2 }# c* N! F9 T) ^1 f( j V( D联立
4
，
8
得：
l2"=l2*(l1-l1')/l1 ;
即
:
l2"
2 z$ O9 `& S/ Y# s4 y% p
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。
$ B/ r( z6 d' l3 }! ^' ]5 i如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:
我们实际读出的数值大于被秤物体重量。& j$ Y: u$ e2 M2 x7 l
+ }5 o/ p1 [! J0 }4 }1 g
2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
* N2 N Z4 o& c$ z Y c' T! Q5 P/ v同样，按照之前的方法分析。
* n1 g- U. b' z. d/ K3 k! b水平态：
; `; [3 _5 j o9 @: b1 _
' P2 g, a7 u, X0 ]2 r6 {
M
左
=G1*l1+G3*l3……(8); M
右
=G2*l2+G4*l4……(9);
M
左
=M
右
…… (3)
& P9 u+ z& ~3 `0 ]+ y推论：
G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10);
. [' o9 k& I. t8 \9 C( }* q- O7 ` L4 P6 c5 I
因此有：(
G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
$ O& |" A- `. h
0 Y/ L: _; b% v* k r* o
对于非水平态：
9 s W0 w: }; m
h, y+ W% P" \. N( ?
M
左
=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12);
5 _" D$ @' }7 u7 QM
右
=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M
左
=M
右
……
(3)
" w5 Z$ z W8 d1 B8 F. o1 ~
联立(4)(12)(13)(3)得:
l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
y3 D0 Q7 B! ?& F( ]结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
9 w1 I" ^# q% S! P& L6 [% J, V
即
:l2"<
(14)
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！
3 C9 ]$ q/ \& o6 X- E
7 F# u- p" t$ L
以上，希望大家喜欢。% w; ^8 G/ D) e8 n) u
7 x7 S4 @# c P( c0 S) \5 gPS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。
|
发表于 2013-4-28 09:46:46
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伸手党/灌水/看不懂
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