本帖最后由 两岸猿声啼不住 于 2012-9-11 11:39 编辑) b; @: b9 }" O$ `
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说到这个话题，首先最好要明白，这是属于西方科学——数学范畴的问题，既然属于西方数学的范畴，那么你就得用它的思维方式和语言来谈论，而不能用日常生活的话语来谈论，大家说是不？研究唐诗宋词你就得用古汉语，研究俳句你就得融入日本文化，那么探讨这个0.9…与1的关系之类的问题，当然就得用规范的数学语言，也就是行话，大家说对吧？
就我所知，在西方数学中，是有数系的说法的。数系最简单的是自然数系，就是从1、2、3……等一直数下去，继而是“比例数”系，这个比例数一定要强调，就是两个自然数之比，现在的教材都翻译为有理数，把人弄糊涂了。其实好像数学天才陶哲轩也是主张翻译成“比例数”的，因为本来比例数的定义就是“自然数/自然数”，那么凡是不能用两个自然数之比来表达的数比如√2，就叫“非比例数”，这比什么有理数无理数清楚明白多了。当初我在学校学习这个有理数无理数的时候就纳闷了，既然都无理了，为什么还敢出来……搞不懂，不敢问老师，话说上学时有太多感觉不合常理的东西，都不敢问老师……
那么回过头来说，这个0.9…到底是指什么呢？是｛0.9, 0.99, 0.999, ...｝这个无穷序列，还是单纯指一个数？在这里我倾向于后者。实际上前者的形式只是为了让人好理解而已，其目的是为了让人明白无穷数列的极限并不包含在数列之中。
有朋友说，既然 0.1...＝1/9，那么 0.9... = 0.1... × 9 = 1/9 × 9 = 1，是再明显不过的了，于是 0.9... = 1 得证。如果仅仅看结果而不看过程的话，即使是再高明的大数学家，对这个结果也会无话可说。但是话说回来，如果我们是那种搞粗放种植的庄户人，我们就完全不必费那么多心思，琢磨这种细枝末节的东西，就一锄一个坑，然后把种子撒进去，敷上土拉倒。但是这个活却不像种庄稼那么粗糙，它就像制作机械表。我感觉，设计农用大马力拖拉机的工程师，如果不经学习，应该设计不了精密机械表，也就是说，研究精密的东西，你得思维也得要匹配，也得要精密细致起来。
我们知道实数系里面有两种数，一种是“比例数”，一种是“非比例数”。那么0.9...到底是比例数，还是非比例数？我反正是找不到它的比例数表达式，只好把它当作非比例数。但是0.1...=1/9，却是一个不折不扣的比例数，还有0.3...=1/3也是。这样一来，就能看出上面那个证明的错误所在了。0.1...是比例数，9也是比例数，两个比例数相乘，怎么就能得出非比例数0.9...呢？所以那个证明，从分析的角度来看，我觉得有点似是而非。因为数学运算除了六种基本代数运算加减乘除乘方开方外，还有一种极限运算即lim运算，而后者正是所谓高等数学的基础。说点题外话，高等数学这个名称本身就拒人于千里之外，好像是高等人才能学的一样……
要严格探讨0.9...与1的关系，就需要借助更深一层的数学思维。比方说，实数的戴德金分割，也就是数轴的分割。在一条一维数轴上，不知道有多少数，但可以肯定的是，每个数的两边都有数，且每两个数之间都有无穷多个数，更让粗思维的人困惑的是，“我们无法写出紧挨着一个数的另一个数”，这句话里面蕴含着“连续性”的意思。比方说，紧挨着1的自然数是2，但紧挨着1的实数是多少，是1.0...（无穷个0）1吗？在楼主看来，无穷这个词跟无知是等价的……当然这个问题在这里不做深入讨论。
我们把实数系即数轴做一个分割，也就是分成两部分，其中左边的数都小于右边的数，那么这个分割的界限，根据其理论，要么是比例数，要么是非比例数。那么我们把数轴比方说分成(-∞, 1)与[1, +∞)两部分，那么这个分割的界限就是比例数1，且这个界限属于右区间，而不是左区间。这个时候，不知道大家注意到没有，那就是在左区间，存在最大的数吗？这个最大的数是多少，你能写出来吗？右区间最小的数是1，可左区间最大的数是多少？你在网上搜索到的这些问题的答案，都很让人困惑，包括楼主。还有，就这个分割看来，应该是包含了全部的实数了，那么那个所谓的0.9...，肯定也是被包含在其中了。那么它是被包含在左边还是右边呢？显而易见是在左边。那么它跟1之间到底相差多少呢？从非标准分析的观点来看，相差一个无穷小。那么为什么大家都说0.9...=1呢？而又有人说不相等呢？因为从非标准分析的观点看来，相差一个无穷小的两个数可以认为是等价的。但对于普通人来讲，等价跟相等差别不大，所以也可以认为它们相等。就像y=x^2的导数或者说微分，或者说微商或差商的极限，严格来说，其表达式应该是△y/△x=2x+o(x)，但是大家都默认是y'=2x一样，二者只相差一个无穷小。所以有学者认为微积分的精髓就是“略去高阶无穷小”。明白了这其中的因由，你就能体会到那种从看山是山，到看山不是山，到最后看山又是山的感觉了。
说实话，我觉得对有志于补习一点微积分知识的初学者来说，上面说的这些简单的提纲，如果你能明白一些，不知能给你节省多少时间，而且还是彻底清楚明白的掌握微积分，而不是云里雾里，只会查手册套公式，套起来心里还没底。话说外行照抄答案都不一定能抄对。当然了，在机械必威APP精装版下载里谈这些东西，难免有卖弄的嫌疑，但我是知无不言，并且我把好多专业名词术语给白话化了，但也有好多话题没有展开。因为我认为思维无分贵贱，很多时候并不是作者所谈的东西人家不明白，而是作者没能说得人家能明白。当然了，如果真的一点儿基础也没有，也真让别人难为其说了。
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发表于 2012-9-11 11:36:45
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