你了解几何吗——稀奇古怪的三角形

扫街

在纸上画三角形，无论是怎样画，把三角形里面的3个角加起来，都会等于 180度 即使是画100个、1000个，也绝对不会有一个例外。有谁不信，不妨动手画上1万个，再用量角器去量一量。　　那么，能不能找到一种三角形，它的内角和不等于180度 呢？
4 M0 X% H& Z# Q( \8 k/ I　　在200年前，如果有谁提出了这样一个问题，准会有人对他嗤之以鼻："哼，这也用问，三角形的内角和等于180度，这是几何书中的一个定理！"
　　定理就是经过逻辑推理证明是正确的数学结论。如果有谁不信"邪"，仍要问一声："这个定理就一定那么可靠吗？"那么，人们就会搬来经典著作《几何原本》，翻开头几页，指着"第5公设"对他说："瞧，这个定理的正确性可以由它来保证。"
1 D/ n: a4 [: ]8 [: ^　　公设也就是公理，是一些最基本的数学结论，它们的正确性经过了实践的反复证明，是不证自明的。不朽名著《几何原本》中的全部定理，都建立在10个公理的基础上。有谁敢怀疑"三角形的内角和等于180度 "这个定理，也就等于是怀疑第5公设有问题。如果连公理也有问题，岂不是所有的几何定理都值得怀疑了吗？
3 n: o9 g# w% b0 o' g5 G　　第5公设也就是"平行公理"，它的意思是："在平面内，过已知直线外的一个点，可以作而且只能作一条直线与已知直线相平行。"试试看，过直线外的一个点，你能作出第2条平行线来吗？
$ o! X0 V3 K" V9 Z　　既然有第5公设作保证，三角形的内角和看来也就只好都等于180度 了。
　　不过，数学家们对这个"第5公设"是不大满意的。这倒不是怀疑它有什么错误，而是觉得它不像其他的公理那样一目了然，很像是一个定理，于是试图用其他的9个公理把它证明出来，进而将它从公理的行列中赶出去。
　　《几何原本》问世后的2000多年里，数学家倾注了无穷无尽的智慧，始终也未能证明出第5公设。虽然有不少人曾宣称解决了这个问题，但一检查就发现，他们不是证明过程有错误，就是用一个更不明显的公理代替了第5公设。无可奈何之下，大数学家达朗贝尔称它是"几何学中的家丑"。
$ L* E6 p. U% z$ A0 [- Q/ ~. p　　19世纪初，有个叫亚诺什·波里亚的匈牙利青年，决定献身于第5公设的研究。他父亲是个数学家，听到这个消息给吓坏了。尽管父子俩天天生活在一起，老波里亚为了郑重其事，竟用笔给儿子写了一封劝告信。
　　波里亚深知父亲的苦恼和失望，但他没有知难而退，义无反顾地闯进了这个"毫无希望的黑夜"。他很快就发现，只要改变第5公设，就可以创造出一种新的几何学来，于是提出了一个新的平行公理：
　　"在平面内，过已知直线外的一个点，至少可以作两条直线与已知直线相平行。
6 Q5 K2 B* S- k5 Z9 |　　这个新公理否定了平行线的唯一性。以它为基础，再加上原来的9个公理，就组成了一门新的几何学，叫双曲几何学。凡是与旧的平行公理有关的定理，在双曲几何学中统统变得面目全非，产生回许多闻所未闻的新结论。例如，在双曲几何学中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的内角和，而它们又都比180度 小！
4 }3 [% x' c) k. @& w8 M- |　　能够作出一种三角形，使它的内角和小于180度？对于习惯在传统几何的框框里生活的人来说，这不啻是个"荒诞无稽"的海外奇谈。连老波里亚也无法理解儿子的创造，断然拒绝了帮助发表的请求，直到1832年，由于儿子的再三请求，老波里亚才勉强同意将它作为一个附录，随同自己的著作一起出版。
　　老波里亚与"数学王子"高斯是大学时代的同窗好友，他把"附录"的清样寄给高斯，想听听这位数学权威的意见。1832年3月，高斯在回信中热情称赞小波里亚"有极高的天才"，但同时又说，他不便公开赞许，因为称赞波里亚就等于称赞他自己。
　　原来，在此之前16年，高斯就已作出了同样的发现。但他小心翼翼地隐藏了自己的研究，唯恐这种新几何学在直观上的"荒诞无稽"而遭到人耻笑。
: ?8 z: j# i, {+ |　　捍卫真理是需要勇气的。
3 B: H6 m: e) v　　早在波里亚著作发表之前6年，在遥远的俄罗斯大地上，已经有位叫罗巴切夫斯基的勇士，率先亮出了这门新几何学的旗帜。
; @, E  P# X+ W: y5 \' N: x4 }　　罗巴切夫斯基是一个伟大的俄国数学家。他独立地作出了同样的发现，并为捍卫新几何学战斗了一生。当时，数学家们不理解他，认为内角和小于180度的三角形是一个"笑话"，有人嘲笑他是"对有学问的数学家的讽刺"。而一些仇视革命思想的人，更是趁机对他进行恶毒的攻击和下流的谩骂。这一切都没有使罗巴切夫斯基退却，他接二连三地发表数学著作，甚至当他已成为一个瞎眼老人时，仍然念念不忘口授了一部《泛几何学》，为这门新几何学在数学王国里取得合理的地位而大声疾呼。由于罗巴切夫斯基最先昭示了新几何学的诞生，所以双曲几何学又叫罗氏几何学。
8 n0 I) P) h4 v6 n7 Y, r) P　　罗巴切夫斯基、波里亚和高斯，用他们创造性的工作，动摇了"只能有一种可能的几何"的传统观念，为创造不同体系的几何开辟了道路。1854年，就在人们仍在抱怨罗氏几何学"不可思议"时，高斯的学生黎曼，又给几何王国增添了一种新的几何学。
+ T: [: R( h' @7 X　　黎曼提出了另一种新的平行公理：
- ^% n4 s. c1 j& ^1 E, W) u　　"在平面上，过已知直线外的一个点，不能作直线与已知直线相平行。"
7 N7 ^5 t8 `# ?8 U2 |　　这个新公理干脆否定了平行线的存在性。以它为基础，再加上原来的9个公理，就组成了椭圆几何学，也叫黎曼几何学。
　　在这种新的几何学里，三角形的内角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180度 ，也不小于180度，而是大于180度 。
4 O1 E! ^4 x0 _9 \0 R" o+ W　　黎曼几何学中还有许多奇妙的结论，例如，"直线的长是有限的，但却无止境。"要弄懂这些理论非常困难。据说，当黎曼第一次宣读这方面的论文时，除了高斯以外，会场上竟找不出第二个能够听懂的人。
　　罗氏几何学与黎曼几何学都是"纯粹人造的"几何学，与人们的常识相悖，乍看起来都显得非常不可思议。实际上，它们比传统的几何学更加深刻地反映了现实世界的空间形式。举一个最著名的例子：爱因斯坦创立的广义相对论，就是以黎曼几何学的空间概念为基础的！根据相对论学说，现实空间会发生弯曲，到处是新几何学的用武之地。
  o' B3 g0 ~% @/ _. H5 l　　相传高斯做过一次有趣的实验，他把相距很远的3座山峰，看作是三角形的3个顶点，然后计算它的内角和，发现它竟大于180度 。这正是黎曼几何学的结论。也许有人会说："这不是一个三角形。因为它不在一个平面上，而是在地球这个曲面上！"那么，哪里去找平面呢？运动场是平面吗？池塘水面是平面吗？它们都是地球这个曲面的一部分。这样，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果没有三角形，怎么会有内角和等于180度呢？
　　罗氏几何学与黎曼几何学更精确地反映了现实空间，但是，在我们的日常生活里，传统几何学已经足够精确了。在我们的视野范围内，水平面是非常接近于平面的。实际上，我们也根本无法测出它的弯曲度。这样，测量水面上一个三角形的内角和，虽然它实际上并不等于180度，我们却无法测出它与真值之间的误差。所以，在我们身边这个不大不小的空间里，传统的几何学仍然是适用的。
　　因此，在纸上画三角形，无论是怎样画，把它的3个内角加起来，都会等于180度 。但我们也应当知道，在数学王国里，确实还有一些"稀奇古怪"的三角形，它的内角和是不等于180度 的。

老飘

{:soso_e140:}原来我们的几何是建立在一个不存在的基础上的啊？？？？
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东海fyh126

球面上的三角形就是如此。。。。。。。。。。

cncw252

数学补考两次的表示一多半没看懂

waiwai2008

很有意思....说的太对了...有些定理都没有被证明就被传统几何运用...但是实际上现实情况未必就适用于曲面空间。

zhangzhengxin

东海fyh126 发表于 2012-3-16 20:21
& p8 ~3 A9 {: G6 @; s3 w球面上的三角形就是如此。。。。。。。。。。

8 t$ s" }; m9 [$ z球面上的三角形，那就不是平面了啊，那构成这个三角形的三条线就不是直线了哦。

小花0324

生活中有很多有趣的数学问题，，，这个以前让我想半死也没想出所以然，，当时老师告诉我，其实很多定理都可以试着去推翻的。。可惜呀。。。

豪哥0825

学无止境啊，要努力了。虽然咱创造不出什么公理，但是知识是绝对有用的

把刀用好

唉，牛角尖也不是这样钻的啊。几何里的任何单独的点，线，形都是定义在同一个平面里的。这是根。拿弯曲的空间异形称三角形来攻击有关三角形的公式和定理是无理取闹！当然，传统几何是无法真正定义这个空间异形的，它不是什么形，也不是什么体。也许要靠一种新的延伸学科来定性和研究了。至于这么做有没有意义，那就另当别论了。

xiaoyetongxu

钱学森的数学，很厉害。久久发为什么没继续整空气，估计是他的数学能力，不合适。
+ L/ `. Q6 }. u! T然后，俺不懂曲线组成的角度是什么，