本帖最后由 无能 于 2011-7-15 00:08 编辑 ) Q! a! `* G) L" m: K g: O& \# W- X% v
: F4 o5 v( @# B4 }设自变量n为自然数,则可构造函数M = M(n)如 M(n) = n,M(n) = 1, 2, 3, …, n。 (1) 满足以下条件: 1、单调递增。 2、M(1)=1。 3、当n→∞时,M(n)→∞。 又可构造以下函数: P(n) = 1 / M(n), 如P(n) = 1, 1/2, 1/3, …, 1/n。 (2) S(n) = 1 - P(n), 如 S(n) = 0, 1/2, 2/3, …, (n-1)/n。 (3) R(n) = S(n+1) - S(n), 如R(n) = 1/2, 1/6, 1/12, …。 (4) 则可推出此式: ∑R(n) = R(1) + R(2) + R(3) + ... + R(n)。1 = lim∑R(n), (n→∞)。 (5) 从(1)到(5),就是1的无穷级数形式的构造法。 可见1的无穷级数表达式有无数种。 将等式两边乘以任意实数X,就得到任意实数X的无穷级数表达式。
& `9 \% }9 _# r; `) P 例子: 0.5 + 0.1667 + 0.0833 + … = 1, M(n) = n。 0.5 + 0.25 + 0.125 + … = 1, M(n) = 2^(n-1)。(青蛙出井式) 0.75 + 0.1388 + 0.0486 + … = 1, M(n) = n^2。 0.8136 + 0.0634 + 0.0934 + … = 1, M(n) = 2n+3^n-4n^2+5sin(n-1)+6ln(n)。 ……
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