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楼主: 阿松
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球面渐开线方程的理解

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11#
发表于 2006-5-13 16:51:47 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

楼主我们并没有怀疑你的公式的正确与否,我们只是不知道你是如何如何推导出上面的公式,你能给我们上传点资料我们理解了,当然我们就知道怎么用了,问题是不知道如何推导出这个公式
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12#
 楼主| 发表于 2006-5-14 08:30:10 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

请怀疑我公式的正确性!, Y  y& v7 M& b# z
小男孩,我在6楼已经答复过你在5楼提出的同样的问题。) x5 F- W8 R7 a6 s, {: w0 m
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13#
发表于 2006-5-17 16:36:36 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

原理我也知道但是不知道具体是怎么推导的,要是能有一本书详细介绍一下那就太好了
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14#
 楼主| 发表于 2006-5-17 19:30:04 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

那我给你一些提示:" _3 [% M( M" C
大圆就是球的最大直径,基圆是球上任一比大圆小的圆。
4 A" I* J1 y4 `. _& N, y9 t2 d请想一下两圆相切:可以想象基圆水平,大圆倾斜并与基圆相切。
4 |' r7 T: H8 ~3 d  J9 T; X然后基圆不动,大圆滚动。有点象呼啦圈掉到地上时的样子。
( P+ z" `! D$ ?7 p然后在某一个位子,大圆上滚过的弧长等于基圆上的弧长。0 U9 ?1 I: d: J* o) ~
然后构建几何图形。
8 Z3 m2 v6 x( i( g0 t" m6 l然后进行一步一步推导。# B3 L% K. J' K5 b4 R
3 q% u# k( A$ X5 Q- Y' ~
我就是这样推出来的。相信你也能推出来,可能公式比我还要简化。
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15#
发表于 2006-5-18 15:29:50 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

我正在验证松版的公式2 @, c8 B- }  S1 }9 [" b% t- R5 O
有一个疑问
+ t& \! p7 v, D' h. o% M- k按照这个极坐标系,当R趋向无限大时,也就是普通渐开线时$ A+ q5 g6 [$ ^0 e
方程将会变成什么样子?好像不能自然退化成普通渐开线的参数方程
1 C) A, Z8 p) @* x. O松版有没有其他坐标系的结果?
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16#
 楼主| 发表于 2006-5-18 19:40:23 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

当R为无穷大是,eta为pi/2,& m* p1 T0 k6 I, Y0 v! e. U% o0 m
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中0 Y& ?* s3 u; ~  K# ?' p6 b
tan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均为0,运用罗比塔法则,分子和分母分别求导,得alpha=atan(theta)" i4 \: Z% Q* t. {# e" J0 R+ y
omega得0,delta=theta-atan(theta),这是标准的平面渐开线函数。
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17#
发表于 2006-5-18 23:23:43 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

我主要是看见了你说1 O7 n7 L8 K% i; `, X8 n
极坐标方程=R,delta,omega
' p! C( }/ W# {6 G+ s: O3 C) ?那么当R趋向无穷大,不论delta,omega变成什么
6 h8 F, Z& ?8 |) M, a4 `% t矢径长度都会变成无穷大,也就是不能变成普通渐开线) l# {) V( F: C: r9 s/ {
你的极坐标矢径长度是R,说明你的极坐标原点是大圆圆心,所以会出现这个问题( S2 I5 E1 q$ S5 G$ M
是不是我的理解有误?
4 v! s& p0 I! C) x" D9 n0 W. ?5 w. g+ O# D8 p
我正在试着用矩阵推导,而且是直角坐标系,因为我将来要用程序来验证
* b! e" N4 G8 @0 @1 I& l- K直角坐标系方便些,出来结果我会贴出来
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18#
 楼主| 发表于 2006-5-19 16:56:14 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

直角坐标方程如下:(还没有化简,要变成平面渐开线方程的话,坐标原点要延z轴下移R)

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19#
发表于 2006-5-19 23:54:17 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

为了方便叙述,我先定义三个点,在初始状态小圆,大圆和一条直线相切于一点,该点在小圆,大圆和直线上分别对应A1,A2,A3三点,也就是说初始状态三点是重合的。然后大圆开始转动,小圆上的A1是固定的,A2的轨迹就是我们想要的球面渐开线,至于A3,是起着重要的联系作用。* u: J  K' ]( G7 a. e9 R) w
. k; _7 V, o) g5 {; `
在1楼中6 I% Q1 h5 ]: {" w- h! Q; W0 z; D' f
eta=acos(r/R)8 D+ b9 s2 T2 s/ U6 K
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
8 J. C8 n) B6 e* l, ]也就是  R: n& O+ w% x5 x
alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))) \8 p4 s1 n8 o& {6 |, G4 z
% _) P0 }3 r2 n
alpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
8 \* k8 v0 U/ \" `9 }2 }5 salpha是小圆平面内A3点的压力角,所以我想你是把tan(r/R*theta)*R当成那段切线段长了(法线长)才会有上面的式子。
9 f/ ^% q" u+ d考虑这段切线段在大圆平面上的情形,你是把r/R*theta当作大圆平面内A3的压力角了,才会有上面的式子。3 x% g( z/ y- x/ |
这里的theta是小圆平面上A3点的展开角,所以r/R*theta实际上是大圆平面内A3的展开角而不是压力角,这个地方错了。
$ ?6 g- Z3 O/ s' ~8 K不知道我对alpha,theta的定义理解是否有误。9 j4 t! Y  p5 ?& o
我已经推导了直角坐标系的方程,是以小圆平面为xy平面,小圆圆心为坐标中心的右手系。还没有验证,不过可以自然退化到平面渐开线方程。因为与你18楼的形式差别比较大,还没有证明是不是等效的。下面我打算做个程序验证一下,然后再拿上来大家讨论。
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20#
 楼主| 发表于 2006-5-21 10:55:07 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

首先非常高兴你能够和我一起花时间来考虑这个问题。谢谢
% ~& g& \0 u/ a) W8 H; X0 E# l我不明白A1,A2,A3如何相对运动,初始位置3点重合,然后是不是阿A3保持为切点?9 [$ u' s3 b, v% k0 f" t2 E
9 I% H1 ?8 i" p$ ?8 `
我来说说我的思路:theta是小园的展开角,然后通过它算大圆的展开角。(我的资料没在身边)alpha 可能是大园的展开角。然后通过它们算矢径与各平面的夹角。
+ ?! {$ j5 Z" |7 y0 U$ l
2 `" E/ D8 y3 N. X* g, y& G如果你能通过CAD软件验证你的公式的话,我们的公式应该是相同的。至少可以转化成相同的。
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