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楼主: 阿松
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球面渐开线方程的理解

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11#
发表于 2006-5-13 16:51:47 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

楼主我们并没有怀疑你的公式的正确与否,我们只是不知道你是如何如何推导出上面的公式,你能给我们上传点资料我们理解了,当然我们就知道怎么用了,问题是不知道如何推导出这个公式
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12#
 楼主| 发表于 2006-5-14 08:30:10 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

请怀疑我公式的正确性!/ c6 _. |3 h8 O: r# F5 A
小男孩,我在6楼已经答复过你在5楼提出的同样的问题。
( b$ G1 [! w& H2 g
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13#
发表于 2006-5-17 16:36:36 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

原理我也知道但是不知道具体是怎么推导的,要是能有一本书详细介绍一下那就太好了
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14#
 楼主| 发表于 2006-5-17 19:30:04 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

那我给你一些提示:
5 D" Y8 Y' g& k8 n" ~7 N  o: f大圆就是球的最大直径,基圆是球上任一比大圆小的圆。
" n0 X, c, m6 m- v4 g  D% x+ ^* U请想一下两圆相切:可以想象基圆水平,大圆倾斜并与基圆相切。
; Y! J. o. m* K7 v$ D然后基圆不动,大圆滚动。有点象呼啦圈掉到地上时的样子。0 A3 D7 x$ {  `% s
然后在某一个位子,大圆上滚过的弧长等于基圆上的弧长。# w/ j4 `2 {7 E8 g" X. C( i- z
然后构建几何图形。) y- V& k+ Z8 p/ g: O# m
然后进行一步一步推导。6 J" l3 N+ s+ m- K+ C

& X1 {$ ^! ^6 {' j( k# a我就是这样推出来的。相信你也能推出来,可能公式比我还要简化。
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15#
发表于 2006-5-18 15:29:50 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

我正在验证松版的公式, t/ y0 T3 p6 l$ a
有一个疑问
2 ], i" t: w9 k& R: l6 Z按照这个极坐标系,当R趋向无限大时,也就是普通渐开线时& Y1 q+ [: `8 j  z+ Y( S/ ?
方程将会变成什么样子?好像不能自然退化成普通渐开线的参数方程
8 {2 J2 [2 U! X松版有没有其他坐标系的结果?
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16#
 楼主| 发表于 2006-5-18 19:40:23 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

当R为无穷大是,eta为pi/2,, f$ P, F$ @* c  W$ D
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中0 t. _; I0 B+ J. }" ?- o* d- G
tan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均为0,运用罗比塔法则,分子和分母分别求导,得alpha=atan(theta)
! ~8 l% u2 D5 _$ \omega得0,delta=theta-atan(theta),这是标准的平面渐开线函数。
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17#
发表于 2006-5-18 23:23:43 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

我主要是看见了你说
  c/ \1 r( C/ a( U极坐标方程=R,delta,omega: \4 d7 O: o3 A/ g9 G
那么当R趋向无穷大,不论delta,omega变成什么
# v5 m* p. }8 F6 m矢径长度都会变成无穷大,也就是不能变成普通渐开线% T: h- F$ Q, ]
你的极坐标矢径长度是R,说明你的极坐标原点是大圆圆心,所以会出现这个问题
3 b# R$ v' D, a& g1 Y是不是我的理解有误?
6 e6 ]7 X' G% ]5 @( o2 M9 ]% S
8 p( s2 ^9 t' |我正在试着用矩阵推导,而且是直角坐标系,因为我将来要用程序来验证1 T, X- m% `, v: q4 l& e, u
直角坐标系方便些,出来结果我会贴出来
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18#
 楼主| 发表于 2006-5-19 16:56:14 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

直角坐标方程如下:(还没有化简,要变成平面渐开线方程的话,坐标原点要延z轴下移R)

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19#
发表于 2006-5-19 23:54:17 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

为了方便叙述,我先定义三个点,在初始状态小圆,大圆和一条直线相切于一点,该点在小圆,大圆和直线上分别对应A1,A2,A3三点,也就是说初始状态三点是重合的。然后大圆开始转动,小圆上的A1是固定的,A2的轨迹就是我们想要的球面渐开线,至于A3,是起着重要的联系作用。
. f. ~- U# ^1 |4 \: Q
$ J- O$ h6 Z! L0 H4 \+ ?2 X& H在1楼中1 g/ G3 j7 P( S6 F4 e
eta=acos(r/R)9 C( _8 I5 {8 p; ]* l8 U* {/ `
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
& T$ h2 s$ i# o' k( s' r, Z& ]也就是
5 E: C9 j: r) b" h# nalpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))1 m5 M5 T% g. }; A

) m9 @! }5 Q. Q) t; E2 X- g% dalpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
  ]; f% {8 \0 B+ Walpha是小圆平面内A3点的压力角,所以我想你是把tan(r/R*theta)*R当成那段切线段长了(法线长)才会有上面的式子。/ Y8 E8 E0 U2 \& z/ E9 _
考虑这段切线段在大圆平面上的情形,你是把r/R*theta当作大圆平面内A3的压力角了,才会有上面的式子。, ~" x- a! `; _- d. X1 ~% y; D
这里的theta是小圆平面上A3点的展开角,所以r/R*theta实际上是大圆平面内A3的展开角而不是压力角,这个地方错了。9 w0 F, ~; G, C5 ?' o3 b- H
不知道我对alpha,theta的定义理解是否有误。  \5 Y, u2 n* k' a  L3 @: v1 L' D
我已经推导了直角坐标系的方程,是以小圆平面为xy平面,小圆圆心为坐标中心的右手系。还没有验证,不过可以自然退化到平面渐开线方程。因为与你18楼的形式差别比较大,还没有证明是不是等效的。下面我打算做个程序验证一下,然后再拿上来大家讨论。
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20#
 楼主| 发表于 2006-5-21 10:55:07 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

首先非常高兴你能够和我一起花时间来考虑这个问题。谢谢
5 U/ t9 M0 T0 Y4 g& m5 B" S我不明白A1,A2,A3如何相对运动,初始位置3点重合,然后是不是阿A3保持为切点?
" R5 i* ]+ F" B% r. F  w( w$ N1 w2 N' u6 @- n
我来说说我的思路:theta是小园的展开角,然后通过它算大圆的展开角。(我的资料没在身边)alpha 可能是大园的展开角。然后通过它们算矢径与各平面的夹角。
1 G$ u" e0 j9 Y3 M. _3 k" m2 j. G; Y- n# f8 T  Z4 l- C
如果你能通过CAD软件验证你的公式的话,我们的公式应该是相同的。至少可以转化成相同的。
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