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楼主: 阿松
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球面渐开线方程的理解

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11#
发表于 2006-5-13 16:51:47 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

楼主我们并没有怀疑你的公式的正确与否,我们只是不知道你是如何如何推导出上面的公式,你能给我们上传点资料我们理解了,当然我们就知道怎么用了,问题是不知道如何推导出这个公式
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12#
 楼主| 发表于 2006-5-14 08:30:10 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

请怀疑我公式的正确性!
* r- k# n* v8 t1 ^- N小男孩,我在6楼已经答复过你在5楼提出的同样的问题。
- }0 i2 O9 M: W/ }! w
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13#
发表于 2006-5-17 16:36:36 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

原理我也知道但是不知道具体是怎么推导的,要是能有一本书详细介绍一下那就太好了
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14#
 楼主| 发表于 2006-5-17 19:30:04 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

那我给你一些提示:
0 _' B5 E3 d) a$ o2 o大圆就是球的最大直径,基圆是球上任一比大圆小的圆。+ j# F; l1 X1 Y" S( {1 ]: K
请想一下两圆相切:可以想象基圆水平,大圆倾斜并与基圆相切。
( }; J) E5 _9 F6 R# K5 O: B然后基圆不动,大圆滚动。有点象呼啦圈掉到地上时的样子。9 e# ]2 G5 h+ R3 g$ i2 `1 @8 B
然后在某一个位子,大圆上滚过的弧长等于基圆上的弧长。
3 B& u# V+ h' }然后构建几何图形。
  s, G. Y% V8 ]" b然后进行一步一步推导。2 Q; H( L+ b& \( B3 v) r) D  W/ |
5 B# C3 `+ A( g7 E0 o0 k7 D
我就是这样推出来的。相信你也能推出来,可能公式比我还要简化。
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15#
发表于 2006-5-18 15:29:50 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

我正在验证松版的公式
* ^9 e% P* B: v有一个疑问
3 \# \. K$ {) w' Y7 |按照这个极坐标系,当R趋向无限大时,也就是普通渐开线时5 c4 _7 {8 P0 Y) P9 }' `
方程将会变成什么样子?好像不能自然退化成普通渐开线的参数方程
$ ^) j4 e# u8 I- I6 t6 ]- g松版有没有其他坐标系的结果?
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16#
 楼主| 发表于 2006-5-18 19:40:23 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

当R为无穷大是,eta为pi/2,5 R1 t, M8 n! B, d, f8 T
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
1 r( ^# \4 j9 w4 v& R1 Ptan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均为0,运用罗比塔法则,分子和分母分别求导,得alpha=atan(theta)5 _+ A4 g0 f+ I- T/ ?) k/ B
omega得0,delta=theta-atan(theta),这是标准的平面渐开线函数。
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17#
发表于 2006-5-18 23:23:43 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

我主要是看见了你说" o0 H1 W! i4 |8 l
极坐标方程=R,delta,omega8 c( Z( v/ a! S9 P9 i" D' G. Y9 z  K
那么当R趋向无穷大,不论delta,omega变成什么
" K0 B4 {+ k0 y: g$ c矢径长度都会变成无穷大,也就是不能变成普通渐开线8 p+ S- t$ X, X4 y7 ^. h
你的极坐标矢径长度是R,说明你的极坐标原点是大圆圆心,所以会出现这个问题
! j( B9 a* M% u是不是我的理解有误?
: R8 F0 P+ K6 j, @. v) J4 Z3 Z
! e8 o9 Q/ `7 l5 P. K2 q我正在试着用矩阵推导,而且是直角坐标系,因为我将来要用程序来验证. i" W; a7 B7 M) X( b
直角坐标系方便些,出来结果我会贴出来
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18#
 楼主| 发表于 2006-5-19 16:56:14 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

直角坐标方程如下:(还没有化简,要变成平面渐开线方程的话,坐标原点要延z轴下移R)

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19#
发表于 2006-5-19 23:54:17 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

为了方便叙述,我先定义三个点,在初始状态小圆,大圆和一条直线相切于一点,该点在小圆,大圆和直线上分别对应A1,A2,A3三点,也就是说初始状态三点是重合的。然后大圆开始转动,小圆上的A1是固定的,A2的轨迹就是我们想要的球面渐开线,至于A3,是起着重要的联系作用。' K9 h) e2 y1 i8 |6 s' m! Q& {5 O
- k  h1 v, ~/ E& ~' M& l# x3 Y
在1楼中% @" T3 K2 _  z( G0 d8 W0 n
eta=acos(r/R): W! W: u  H, D# v
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))4 X, A/ O2 v' u. `6 `
也就是$ ^0 @$ \3 f5 @6 H' \
alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
6 V: S' w$ k0 ?! ]. `& `# k+ I
( A2 Q  X! w! [$ |9 calpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r); L5 Y: q- R7 Q+ p3 S3 s
alpha是小圆平面内A3点的压力角,所以我想你是把tan(r/R*theta)*R当成那段切线段长了(法线长)才会有上面的式子。
8 I" N' B3 N3 ]' ^3 e- b2 h% l考虑这段切线段在大圆平面上的情形,你是把r/R*theta当作大圆平面内A3的压力角了,才会有上面的式子。. D+ D' F( s$ V, s
这里的theta是小圆平面上A3点的展开角,所以r/R*theta实际上是大圆平面内A3的展开角而不是压力角,这个地方错了。
1 Q& r0 D3 l7 I1 n+ t1 B不知道我对alpha,theta的定义理解是否有误。
+ m  s* \7 d/ L! @/ r+ r- R; o我已经推导了直角坐标系的方程,是以小圆平面为xy平面,小圆圆心为坐标中心的右手系。还没有验证,不过可以自然退化到平面渐开线方程。因为与你18楼的形式差别比较大,还没有证明是不是等效的。下面我打算做个程序验证一下,然后再拿上来大家讨论。
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20#
 楼主| 发表于 2006-5-21 10:55:07 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

首先非常高兴你能够和我一起花时间来考虑这个问题。谢谢
$ J8 s5 G  A( ?0 b我不明白A1,A2,A3如何相对运动,初始位置3点重合,然后是不是阿A3保持为切点?. Z: t. m( X7 v- z

* ?4 P# o# O3 D6 r" I( V我来说说我的思路:theta是小园的展开角,然后通过它算大圆的展开角。(我的资料没在身边)alpha 可能是大园的展开角。然后通过它们算矢径与各平面的夹角。
3 u! `1 |& r& O  r9 `  m
0 e; z  |* B0 i, [$ U6 O如果你能通过CAD软件验证你的公式的话,我们的公式应该是相同的。至少可以转化成相同的。
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