球面渐开线方程的理解

YPFENG

楼主我们并没有怀疑你的公式的正确与否,我们只是不知道你是如何如何推导出上面的公式,你能给我们上传点资料我们理解了,当然我们就知道怎么用了,问题是不知道如何推导出这个公式

阿松

请怀疑我公式的正确性！
小男孩，我在6楼已经答复过你在5楼提出的同样的问题。
: _0 r+ }5 D! h

YPFENG

原理我也知道但是不知道具体是怎么推导的,要是能有一本书详细介绍一下那就太好了

阿松

那我给你一些提示：
+ r0 n" O5 x6 o7 i+ F/ j大圆就是球的最大直径，基圆是球上任一比大圆小的圆。
3 W5 J; S: @% K( D% O$ k! P请想一下两圆相切：可以想象基圆水平，大圆倾斜并与基圆相切。
然后基圆不动，大圆滚动。有点象呼啦圈掉到地上时的样子。
" `( E8 A+ c5 O0 y  l8 s然后在某一个位子，大圆上滚过的弧长等于基圆上的弧长。
1 e% M" l; w6 m" Y然后构建几何图形。
然后进行一步一步推导。

我就是这样推出来的。相信你也能推出来，可能公式比我还要简化。

logxing

我正在验证松版的公式
+ ?& i- c. T- x/ a, [! `' v有一个疑问
9 {5 v0 x4 o1 y  P# L3 Q. I按照这个极坐标系，当R趋向无限大时，也就是普通渐开线时
方程将会变成什么样子？好像不能自然退化成普通渐开线的参数方程
松版有没有其他坐标系的结果？

阿松

当R为无穷大是，eta为pi/2，
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
# v5 s0 L$ [% J( etan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均为0,运用罗比塔法则，分子和分母分别求导，得alpha=atan(theta)
omega得0，delta=theta-atan(theta)，这是标准的平面渐开线函数。

logxing

我主要是看见了你说
  V. T* _. \# B: q# T; I$ M0 A极坐标方程＝R,delta,omega
那么当R趋向无穷大，不论delta,omega变成什么
矢径长度都会变成无穷大，也就是不能变成普通渐开线
你的极坐标矢径长度是R，说明你的极坐标原点是大圆圆心，所以会出现这个问题
$ {% W# S9 a; @& m5 F6 M7 `4 `0 N是不是我的理解有误？

我正在试着用矩阵推导，而且是直角坐标系，因为我将来要用程序来验证
8 y( D, W2 {0 H8 l+ `直角坐标系方便些，出来结果我会贴出来

阿松

直角坐标方程如下：（还没有化简，要变成平面渐开线方程的话，坐标原点要延z轴下移R)

logxing

为了方便叙述，我先定义三个点，在初始状态小圆，大圆和一条直线相切于一点，该点在小圆，大圆和直线上分别对应A1,A2,A3三点，也就是说初始状态三点是重合的。然后大圆开始转动，小圆上的A1是固定的，A2的轨迹就是我们想要的球面渐开线，至于A3，是起着重要的联系作用。

- }4 G! ~$ O& W4 f, s0 _5 X在1楼中
eta=acos(r/R)
% @. l( `0 {1 K8 s5 a+ P/ Palpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
/ E& v1 I1 C# @7 a也就是
alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
+ m8 H. w' t6 d5 F- Z; i9 G即
alpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
alpha是小圆平面内A3点的压力角，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R当成那段切线段长了（法线长）才会有上面的式子。
" `/ u7 ~" T4 r$ D9 ]8 `8 l: R考虑这段切线段在大圆平面上的情形，你是把r/R*theta当作大圆平面内A3的压力角了，才会有上面的式子。
这里的theta是小圆平面上A3点的展开角，所以r/R*theta实际上是大圆平面内A3的展开角而不是压力角，这个地方错了。
5 _2 w- L! a$ `9 v; D不知道我对alpha，theta的定义理解是否有误。
! a* P' e1 @. t# E0 _# h我已经推导了直角坐标系的方程，是以小圆平面为xy平面，小圆圆心为坐标中心的右手系。还没有验证，不过可以自然退化到平面渐开线方程。因为与你18楼的形式差别比较大，还没有证明是不是等效的。下面我打算做个程序验证一下，然后再拿上来大家讨论。

阿松

首先非常高兴你能够和我一起花时间来考虑这个问题。谢谢
6 ~! B1 _  b/ S: h. h我不明白A1,A2,A3如何相对运动，初始位置3点重合，然后是不是阿A3保持为切点？
  b! @5 P; c, J3 |4 N$ D% [
我来说说我的思路：theta是小园的展开角，然后通过它算大圆的展开角。（我的资料没在身边）alpha 可能是大园的展开角。然后通过它们算矢径与各平面的夹角。
3 i6 P1 ?# y2 V& c/ h8 r; R
如果你能通过CAD软件验证你的公式的话，我们的公式应该是相同的。至少可以转化成相同的。