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楼主: 阿松
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球面渐开线方程的理解

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11#
发表于 2006-5-13 16:51:47 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

楼主我们并没有怀疑你的公式的正确与否,我们只是不知道你是如何如何推导出上面的公式,你能给我们上传点资料我们理解了,当然我们就知道怎么用了,问题是不知道如何推导出这个公式
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12#
 楼主| 发表于 2006-5-14 08:30:10 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

请怀疑我公式的正确性!
9 j" G9 u2 P! V, a小男孩,我在6楼已经答复过你在5楼提出的同样的问题。) v/ P1 s. o  p; ^' F# d; n- x
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13#
发表于 2006-5-17 16:36:36 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

原理我也知道但是不知道具体是怎么推导的,要是能有一本书详细介绍一下那就太好了
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14#
 楼主| 发表于 2006-5-17 19:30:04 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

那我给你一些提示:  m7 M6 `; }1 _/ M9 M
大圆就是球的最大直径,基圆是球上任一比大圆小的圆。$ o7 m& W6 h+ _) W' J
请想一下两圆相切:可以想象基圆水平,大圆倾斜并与基圆相切。- g# h0 d+ H" G; L- g% x
然后基圆不动,大圆滚动。有点象呼啦圈掉到地上时的样子。; P0 A% h% M& I  m, R
然后在某一个位子,大圆上滚过的弧长等于基圆上的弧长。; n. `- J" e4 v: N9 {
然后构建几何图形。
/ Y" _( c( q, I" O然后进行一步一步推导。
+ E5 U0 c* X- A$ s0 |$ u; S2 U% _2 L: G' Z+ z" l# x8 u
我就是这样推出来的。相信你也能推出来,可能公式比我还要简化。
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15#
发表于 2006-5-18 15:29:50 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

我正在验证松版的公式
0 O5 x: f' G7 K7 q! I有一个疑问& p- {1 b+ L2 g
按照这个极坐标系,当R趋向无限大时,也就是普通渐开线时
* v/ K/ L/ T* l" i1 J/ I1 f0 S( _方程将会变成什么样子?好像不能自然退化成普通渐开线的参数方程4 k- \6 k, B( R- X, Y
松版有没有其他坐标系的结果?
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16#
 楼主| 发表于 2006-5-18 19:40:23 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

当R为无穷大是,eta为pi/2,2 I9 [+ g, p& W
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
8 x  }% _9 H: k- e% F4 Mtan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均为0,运用罗比塔法则,分子和分母分别求导,得alpha=atan(theta)
6 ~* V' d1 p( |& ]4 n: ~! Y$ m% w: B. u. pomega得0,delta=theta-atan(theta),这是标准的平面渐开线函数。
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17#
发表于 2006-5-18 23:23:43 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

我主要是看见了你说
, H& c% b2 ^. Y# F( k9 B极坐标方程=R,delta,omega
$ l9 A4 R2 S: V; d% E5 V. o那么当R趋向无穷大,不论delta,omega变成什么
7 ~  p$ I/ I8 y% v矢径长度都会变成无穷大,也就是不能变成普通渐开线
  @" Z" Q% J  ]9 [你的极坐标矢径长度是R,说明你的极坐标原点是大圆圆心,所以会出现这个问题( [( Q; a6 C: u- s; ~0 i$ t0 R
是不是我的理解有误?4 ?6 f+ B9 l; _, E$ F9 i( z
5 d2 N6 Z3 C2 y7 u- z# x
我正在试着用矩阵推导,而且是直角坐标系,因为我将来要用程序来验证( \9 N+ ?* Z9 u  t' r, I, }9 z& u
直角坐标系方便些,出来结果我会贴出来
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18#
 楼主| 发表于 2006-5-19 16:56:14 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

直角坐标方程如下:(还没有化简,要变成平面渐开线方程的话,坐标原点要延z轴下移R)

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19#
发表于 2006-5-19 23:54:17 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

为了方便叙述,我先定义三个点,在初始状态小圆,大圆和一条直线相切于一点,该点在小圆,大圆和直线上分别对应A1,A2,A3三点,也就是说初始状态三点是重合的。然后大圆开始转动,小圆上的A1是固定的,A2的轨迹就是我们想要的球面渐开线,至于A3,是起着重要的联系作用。  D& @, x, q# s. ~: E
% r- x! c2 d  I
在1楼中6 J) V9 y+ q; y. ?. A3 K3 }# c
eta=acos(r/R)6 W7 {& S* j9 Q$ Z- @
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))& E* [0 g: y; Q1 e3 |9 C; l2 }' _
也就是+ b$ L8 t- `4 C6 o; P/ q/ q& ]
alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
. x4 V, ~( C% J0 o* T2 L. {* k. c2 X  a& y7 c% x/ _5 L
alpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)6 B3 s- h' u) m' h' K. e5 k( z
alpha是小圆平面内A3点的压力角,所以我想你是把tan(r/R*theta)*R当成那段切线段长了(法线长)才会有上面的式子。5 N# ?1 s$ Y7 J9 k9 p
考虑这段切线段在大圆平面上的情形,你是把r/R*theta当作大圆平面内A3的压力角了,才会有上面的式子。& F' j7 u: t( w, J7 Q" J' w5 Y
这里的theta是小圆平面上A3点的展开角,所以r/R*theta实际上是大圆平面内A3的展开角而不是压力角,这个地方错了。
9 ^$ B0 {5 T6 i( I不知道我对alpha,theta的定义理解是否有误。' h9 o; c) a: o/ g3 B2 d
我已经推导了直角坐标系的方程,是以小圆平面为xy平面,小圆圆心为坐标中心的右手系。还没有验证,不过可以自然退化到平面渐开线方程。因为与你18楼的形式差别比较大,还没有证明是不是等效的。下面我打算做个程序验证一下,然后再拿上来大家讨论。
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20#
 楼主| 发表于 2006-5-21 10:55:07 | 只看该作者

Re: 球面渐开线方程的理解

首先非常高兴你能够和我一起花时间来考虑这个问题。谢谢7 a) n6 u1 L% F" A; e, ^
我不明白A1,A2,A3如何相对运动,初始位置3点重合,然后是不是阿A3保持为切点?
& G: b/ b* M6 P8 X  W. U; x2 c2 S; h  Y: h
我来说说我的思路:theta是小园的展开角,然后通过它算大圆的展开角。(我的资料没在身边)alpha 可能是大园的展开角。然后通过它们算矢径与各平面的夹角。
5 R" ^' v: `- K6 n5 H* _  |" X) R0 T
如果你能通过CAD软件验证你的公式的话,我们的公式应该是相同的。至少可以转化成相同的。
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