只有一个稳定平衡点的均质物体

动静之机

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数学背景

凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。 不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。 同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体 8 m" P o. \4 Y, S4 v0 [$ a * G( k7 \. \6 x1 v. j' v 凹面GOMBOC 平面图. 4 X/ C+ m2 b; [4 s- N/ V: N8 w% B 只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。 GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。 * k I9 e0 _. l; u2 {# s: p1 [ + X" n# a6 _) d6 L平面GOMBOC 0 h _! h/ T. d6 ] P/ ] 由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 7 t# @$ r5 G. q& Y; e6 Q # m9 J/ `. T* z. j. w+ Y在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。 # Y @4 S8 {) L: R2 J当dR/da= 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明： 3 O3 q* C( _! Q0 ]9 a0 } ! T" N$ L4 s Z h( L+ x/ l原理 1: 所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。 如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。 用直线R = R0 将物体分成两部分，函数R > R0 和R < R0 具有相等（(长度p)水平投影。 7 v, Z9 _# V. x g" p5 ]3 f 相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分， 8 ?6 _- W6 B8 c( E3 g( _7 n/ {! v支撑面沿着直线。 但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。 $ f6 I9 |/ ~/ U2 ^1 D h " @, V0 m$ M9 C6 V. ^% U: L- h 编号为 R( a )的函数图（右）以及相对应的物体（左） 2 U* f. U1 n/ R ?" e- S! ] 正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟： 9 m% Q- y2 @9 c" N2 l" }( G& K四顶点定理::一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值 " G5 Y# F8 d& W D( Y( d + U9 g" T% |% }! Y6 B% I3 C2 q! w有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。 如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。 有关GOMBOC的基本概念 9 a. m% t* f7 }+ @ ' f4 |7 W' C2 R" O& m9 p& X 2 Z7 u4 a) _) O+ q; _, j% s 类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q) - [ T. A" t& V- A9 A 4 H* V( Q# ?9 h 0 y6 ~9 |* f3 \/ C 三维体在球面坐标系中的定义 5 e W4 \0 V/ T+ @ 区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。 3 I, t, O6 n( q1 Z根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况： 1 P9 {/ P3 ^- g. B. D# Z / H' X% ^/ t4 T; p6 p/ K a)s> 1, b)u> 1, c)s + u> 2, , L" R/ T+ @4 @+ `$ Pa) 和 b)很容易被驳倒 s = t = 1, u = 2时，s > 1为否， ( v. o) H, x; r' J2 C' } & q, v, h! v2 L4 j) t# E/ y i > 1 时 u = t = 1, s = 2 , V' ]& K8 g( h( I3 g 0 k* q$ F" N* Z. J2 u * g3 X& L. k" s& v' K4 D. X # |1 j" O( H1 N 第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？ 2 K& A# s- A4 i7 |+ r% q我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。 : E j& H3 d k8 F% o假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。 平面物体用R=R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。 - F+ r# v" e& t如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。 如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。 物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。 由此得出平面理论并不适用于三维体。 4 }6 t. x) M6 y # X. F/ Y* H: _$ \8 ?- t : f6 v( U+ x& p, [ 分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。 7 v2 A0 ^8 F5 P- O / J- O2 J& h% S) C论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。 运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。 / o# i" ?3 f# \3 U. x3 r受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。 构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。 * ~+ A$ @: z u) I, i! B 应用于论证的双参数物体图形 , M& J" ^2 i g1 W, @ “真正的"GOMBOC 7 r. O' q7 E% S F; r1 b # z& g2 V1 G$ M2 [9 W* A: N9 K0 o# v通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？ 是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？ GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i= 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。 ; |/ s2 {2 P' v4 ~) o ( V1 x9 U3 ] b, Z" h; X( e% n * h/ u4 b; D7 V# W3 m2 h2 @1 i @ 简单的图块拼接到一起构成GOMBOC 3 U# ? V5 x: B6 Q G; w( e 9 g3 Q9 w" T) V/ y' q( x 在R=稳定的情况下，GOMBOC 的轮廓线能明显具有网球形状

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huangzyu2301

看不明白
3 `' s4 S+ N( h' |- Y- [

bluesky-lee

厲害，要計算好，加工的很精確，有創意

WANG888

太厉害了，精确度这么高，是用硬质合金刀片做的吧