弹性力学中的一个问题

不懂的太多xx

这两天重温弹性力学，又把之前没解决的问题给想起来了，连着三四天自己没法给出解释，陷进黑洞自己出不来了，睡觉都不香了，现在求大侠抽醒。
& N6 t: c. R8 L) y极坐标下的应变问题，
图中的这个环向的应变，大侠们肯定都知道。现在就是前面"v/r”这部分应变问题。照本宣科，照书的方式理解没有问题。
) i1 \; k7 y* Q, d但就我自己想，想出问题来了。位移函数v是r和θ的函数，a点的环向位移v（a）=v(r,θ)，d点的环向位移v（d）=v（r，θ+dθ），dv按第二个图。
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这建立在位移函数的r和θ的两个变量是没有变形前的坐标，在没有变形前a的坐标就是(r,θ)，d点的坐标就是（r，θ+dθ），两点的变化只有dθ的变化。
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' l+ E1 V' I/ R. X2 O" C难道是我认识出错误了，位移函数是变形后的坐标？既如此，dv应该是第三个图。

也是没有v/r项。
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+ E( J; ~2 Y9 Q$ g9 G# a- [  y; r照书中理解，这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）俩点引起的弧长差，这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标，一个是变形后的圆盘d点的坐标。

矛盾点是，单从函数v(r,θ)上说，无论r和θ表示的是变形前圆盘定的坐标，还是变形后圆盘定的坐标，dv都没有v/r，除非一个是变形后的坐标一个是变形前的坐标。求大侠把我从牛角尖里拉出来。


补充内容 (2016-5-24 09:00):
& Z0 B& y' `& o1 v6 X$ a* b' Z发帖，错把u/r打成v/r。

补充内容 (2016-5-27 12:31):
纠结已经解决

云制造

照书中理解，这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）俩点引起的弧长差，这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标，一个是变形后的圆盘d点的坐标。
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- q5 J- b0 s7 _9 P) L% z: w, g% C你这个就理解错误了，没弄懂书中意思。环向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)两点变形后的弧长差。
- [$ v3 Y& i3 H" i) `) a
3 ?4 c$ F1 A& @8 U位移函数是变形后的坐标？这个你也理解错了，位移函数描述的是变形的大小，跟变形后的坐标没有关系，要有关系也是一个点变形后的坐标是原始坐标加上位移函数的值

云制造

两点的长度变化是dv，原始长度是rdθ，所以只有环向位移引起的应变为dv/rdθ，不知道楼主纠结的v/r，在哪里出现？

云制造

如果是图上的v/r，这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

云制造

v/r只是表示每一个点的角度位移，就是说，每个点移动了多少度。v=2πr，说明一个点旋转了一周，楼主说过的 v/r”这部分应变问题，理解就错了，这不是应变。跟径向应变一样，要求的是两点变形前后的长度差，而不是一个点的位移，如果两个点同时位移为du，应变就是0。不要将位移和应变混为一谈。比如刚体位移，就没有应变。

云制造

云制造 发表于 2016-5-24 08:46
! z2 X& x9 B& {) G  t+ t如果是图上的v/r，这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

u/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点之间的弧长，不就是（r+u）dθ，而原来两点之间的弧长是rdθ，所以应变是两者之间的差值再除以rdθ，就是u/r

云制造

楼主要用物理场景来理解，有物理场景，能更好的理解数学推导过程。这个极坐标应变应该是很好理解的。你说的u/r。就想象是一个固定顶角（dθ）的三角形，而三角形的底边在向外移动的过程（就是u增大），是不是底边会不断拉长，应变不断增大

云制造

底边不断拉长，应变不断增大。就是切向应变不断增大。三角形的底边长就是切向的长

不懂的太多xx

云制造 发表于 2016-5-24 09:03
* a( u* ?5 z3 d; [3 B( }2 Xu/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点 ...

我知道按书理解可以理解，帖子中我也说明了，书中的理解方式清楚。
1 z0 j. f: N5 \# \6 g咱们换一个方式，环向位移V是关于r和θ的函数，r和θ是原始坐标（没有加载荷的时候）。经过平衡条件、边界条件、相容条件，我们可以把应力函数和位移函数都推导出来，关于r和θ的函数（注意，r和θ是原始坐标）。
6 L4 r  A  B6 S0 `. M, ^1 ]: _假设环向位移函数V=v（r，θ），分别带入d点和a点的坐标，那么d点处的环向位移Vd=v（r，θ+dθ），a点处的环向位移Va=v（r，θ）。那么弧长ad的增长量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），应变ε=δ/rdθ
6 t+ ^0 u& e* a4 O7 L2 d- xδ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v对θ的偏导数）*dθ（帖子中打不出来偏导数符号，我就暂时用Χ表示该偏导数）=Χdθ
3 J; Q: ?5 @4 v" d* W那么总应变ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
, `8 u) F$ R1 B3 G这是建立在r和θ原始坐标，假设位移函数V情况下，从偏导数定义推出来的。
! O; V7 @3 ^) h. K7 B3 h因此，这个时候我就假设的把V看成是r和θ变形后的函数，这样推出来也不对。（帖子中的第二步）
若想包括u/r这一项，单独的从环向位移函数V的偏导数中我找不出来，我就试一下全微分，因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）两点的弧长差的想法，但是这个一个是变形前的坐标参照，一个是变形后的，肯定不对。这就是我现在的矛盾点，脑子绕在这里出不来了。
: z- B: }& T; W9 ^) @( W; [: C$ B% c2 X不知道大侠看懂我的矛盾点了没？
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不懂的太多xx

云制造 发表于 2016-5-24 09:03
u/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点 ...

8 N. [. V5 x) k! \/ i1 ]: C再补充一下，我们知道一个函数V=v（r，θ），这个函数表示的是位移，现在求a点（r，θ）和d点（r，θ+dθ）两点的位移，怎么求？带进去，分别是v（r，θ）和v（r，θ+dθ）
那这两点的函数之差（位移之差）怎么求？v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=Χdθ。。。。。Χ表示v对θ的偏导数
5 [7 Q$ X4 v% j4 c  L这个位移之差是什么？变形量δ。
应变ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r项。

+ }# H) l2 A8 s4 ?( I- _6 Z这是在已知函数V的情况下
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