解一个阀门的数学模型

明月山河

7 Y# A7 _" \# b# e/ c
; Q4 \3 E  l6 f4 a. X7 K9 p4 K设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。
! I( ~- L$ p4 x: d- Y* H1 |
如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
1 m4 J  d+ ^; f* p* ~
+ A3 l( Z, @0 o# i8 J其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
# L! k& v/ F; o1 N6 t9 a- x+ P3 ~# [r1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
& y) J/ L# m" O) J# `! @' q4 S( g目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；



- R6 U6 k5 s- S
& E# w# b! n# N* {2 H补充内容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

3 B$ `- T8 ?  Y

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的
- ?, Y% x! c% r' V9 t- F; u$ I6 |

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
' a" ]4 H+ n* J7 ?5 k5 E/ b  ~>> syms  s r6 r7 a b
2 ?2 Y2 b6 R( ]$ K+ D>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')
+ X& X) O; I  q/ O( j
( x& s! Q2 ?; q0 A% ~. Tf =

# K% S  X& w3 A5 E(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
0 }8 Y. y7 J; ]3 q  x >> finverse(f,r6)
4 P. K, x" x! y$ ~  h
& K4 `+ N$ k4 ~3 P1 _, t+ H& P9 P7 g9 vans =
: b  b, |/ \$ Z5 n9 g4 L! V# `' P
$ r% s. A, f0 H/ ^1 q(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
5 k* c8 e, J6 C1 n8 G' Mb + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
5 h' g$ ^7 T% k- e  g                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

! X) L  U  W$ X>> syms a b c x
>> f=sym('a*x^2+b*x+c')

f =
' q8 u* F5 x4 @
" p9 e& B# I" K+ Va*x^2 + b*x + c

>> finverse(f,x)
9 w8 S+ a2 q, S& n! p! g
* Z2 U3 v9 T0 }! J0 [% \8 n. f' W2 Lans =
; Y# ^' Z+ h' b2 n  ?+ x5 \
( f9 e% w6 _4 k* p5 N-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)
& w9 P& ?) F2 I$ X0 M9 J! ^4 @
  n3 a2 R; m8 H9 V: D我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
+ }3 B& L. h4 r/ [            
8 @6 p6 P! N& {9 s% N               2
; v0 K& F5 c% C1 e  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
4 u' Z% v- W. n( e" k. `# D  C7 }+ @- ----------------------------
               2 a


2 d# G# Z  R- h( ^这个也含有X  估计  可以删除
# u# b( x- n& Y- S) i

5 `1 S9 W, S0 ?( u9 F5 E, T7 |
7 H0 n* u, g9 S3 D