请教：关于凸轮无因次方程的问题

luxiang821

) R& p9 v+ D5 E# l1 e

看了坛子里大侠都在高谈凸轮，小菜鸟也想附庸风雅一下，找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化，就理解不了了。下面是无因次参数定义

1 x/ O4 j- Z- }* `* B9 U对于等速运动用运动学基本公式，可以推出
/ ~- n; X: Q! Y- Q* }% @
0 o; J3 x& w# Y3 B! j' L6 f
7 Q8 p+ l' h, i( {但是对于等加速度运动的描述
% |% D9 h" p% f8 I" d# t6 A
* S% D5 Q2 O& U6 U; ^6 X却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事，请大婶不吝指教。
这还只是基本曲线都搞不定，后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
) R3 q/ K, Z5 H/ t无因次化，也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

大侠，你在必威APP精装版下载上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
% ?: b- n& ^; d/ Q% g* H大侠能否指点一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
由S函数对T求导，得出V、A、J，很好理解，问题是S函数怎么来的呢，拿我举例，等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢？
还请大侠帮忙解惑？

米fans

luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
* W" f9 F1 ]  U大侠，你在必威APP精装版下载上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
, L+ S' C2 _( j大 ...

我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。看完数学，再来理解这些公式，你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会，看老师写得满满的公式，天书一样。后来陪同学一起考研，把数学又研究了一下，再看这些曲线方程，一下子就明白了。
0 f5 w: x3 [. b

luxiang821

按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
2 }% i) j! A, b那还请教hoot6335 大侠，A=4又是怎么来的呢？而且是最小，为什么不能有A=2或者A=3
或许我的问题太小白了，刚开始自学凸轮理论知识，还请大侠指教！@hoot6335   

hoot6335

luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大 ...

( t$ I, W. H1 N8 U大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到底“采用何种运动规律才更合适？”这是设计人员最终要解决的问题。
2.现有的几大系列的运动规律主要是：多项式、三角函数以及拼接函数（其他曲线比较特殊不在讨论之列）。
& K; M2 V& b- F" @3.要解决以上三大系列的运动规律，都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
( a0 {  q3 T6 j7 S, R( `4.明白了以上3点，那么现在就可以理解我讲的“先有V\A，再有S”的目的——对于某一设计实例，要先分析该设备对凸轮有哪些要求：除了基本的A连续外，需要对V有控制吗？此外，有没必要J也需要连续？等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后，画出加速度A的草图，并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后，根据“A的数学表达式”，对时间T求积分，推导出S曲线。
5.关于”理解顺序“的问题，可能并不是大侠关心的主要问题，俺说这么多就够了。
) P4 ?& L' f, S4 w
回到本贴，大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下：
3 @; Y- b2 B7 g2 m' G1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式，而不再需要根据A来倒推。
: G1 [) u8 Y7 J9 j1 L2.”2次多项式“的通用表达式为：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
3.对s(t)分别求一次导数，二次导数，可以推出:
6 K5 b' Y5 Q2 I; ?% c+ P% u, i                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
% e( ^- F7 {; w/ W                                           a=2*C2*w^2
0 ^' F) N  H- ~- n( ?# Q4.已知边界条件(前提假设：加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。)：
                       加速段边界条件：
; e7 r% w6 U& r& r! ~                            在起始点     δ=0，s=0,v=0
6 X9 n5 j, g5 V9 q( U) C                            在终点        δ=δ0/2，s=h/2
                        减速段边界条件：
7 U6 g. \; c# |: k                             在起始点     δ=δ0/2，s=h/2
4 K9 Z7 }2 H, y0 n                             在终点        δ=δ0，s=h，v=0

2 o; W% N% U' i2 Y& ]/ w5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
/ M& n$ ]9 h! V6 L' u* I6.所以，”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数：
7 k7 R8 \& \) T0 B! G8 @                        加速段：
                             s=2*h*(δ/δ0)^2
                             v=4*h*w*δ/δ0^2
" l3 |) f$ f3 h                             a=4*h*(w/δ0)^2
                        减速段：
+ i, s7 K3 p1 ~- v                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
* i& N7 y- {6 E' H                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
7.注意，以上都是有量纲的公式，下面开始无量纲化。
8.定义无量纲 ，注：大写字母为无量纲，小写字母为有量纲。th：整个位移S升程h所用的时间，
5 x8 k# i* ]( S& {                        T=t/th   
$ \7 m6 s. s$ H3 Z9 m5 f8 U                        S=s/h   
/ T2 ]5 N1 F9 t* B0 L6 k) l9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ，我们发现，”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
6 k# x2 L! {: W2 u   另已方面，在8的无量纲公式中， ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
5 c# `9 u0 E) V7 q  ]* S9 B$ N   而这两者是等价的，所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中，取代”δ/δ0“，进行对S的无量纲化。
0 c5 R2 e8 Y& H0 p: @5 [5 R10.根据9的思路，同时把8中的无量纲S转化为s=S*h，代入6的有量纲公式S的表达式中，可以得到S的无量纲方程为：
                     加速度段：
' \# U' c- l6 \* H  D                              S*h=2*h*T^2
      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
% s# {7 v& @' \" r11.对S(T)分别求一次、二次导数，即可得：
3 g$ l9 ]4 V! [+ o- p% d6 {                             无量纲 V=4*T
$ x" N& M( i& v                             无量纲 A=4
12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程，即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
: W1 c- J) d6 o     全手打，写公式累， 至于在0.5≤T≤1区间段，LZ可按如上思路自推导。
13.注：需要说明的是，本贴”等加速等减速“的假设前提是：加/减速段各占1/2，即所谓的对称。
     若不对称呢？当0≤T≤2/3，2/3≤T≤1时，该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证，就当练手好了。
14.LZ大侠的另一个问题，”为什么不能A=2或3？“。要讲请这个问题，就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
6 l6 o- s& n; r     以上纯属个人理解，若有不对之处，望海涵。
' ^0 y" O6 `. [/ X                           
, u1 Q3 e1 z8 s1 `3 }) S/ B1 b                           
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$ g0 H1 [$ A. u3 ^: g; P/ @            
% I, J# M1 V1 K* k- w

luxiang821

hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
* l( L/ W3 {. U8 k0 l& Z1 A大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
. J4 g5 A7 L; O) E1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到 ...

非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字！
; I( |% x' S' _' _9 |6 U: F经大侠细致解答我总算明白了，无因次方程的内在关系。
  A  t+ O8 h1 f4 ?8 _* v9 _: E米fans大侠说的对，用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
, y9 c- y# {6 h, @; |看来我真得恶补一下相关数学知识，尤其我看书喜欢刨根问底，到了强迫的程度，不懂得不求甚解
遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里，关于凸轮运动规律的推导也是用
" e9 k! H$ E( o8 b角度，没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢！

米fans

米fans 发表于 2014-11-17 20:53
我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。 ...

; }+ Q3 ^, U4 p/ M5 @- t相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍，个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中，如何减小冲击（函数的连续光滑可导性等若干问题），惯量以及的问题。还有就是力学分析（比如尖端从动件受力分析时，会用到瞬心定理（这个你得明白吧，最基础的东西）。还有高速六次七次曲线、组合曲线，让你来设计，你会怎么做？怎样去优化，才能让运动更稳定，寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧，真的很有必要，磨刀不误砍柴工。