关于极限和连续的两个数学问题

鬼魅道长

今天一哥们聊天时说起，很有趣，大家也来试试：

) @5 m& [; E2 J7 @! u1.青蛙跳井：
( l. E' m' {. ^6 c: x/ t. D   一个青蛙在井底，想要跳出去，假设永远不会向下滑，它每次跳高的距离都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒钟，那么青蛙能不能跳出井？
9 s2 g3 q2 u$ R2 R# E! ?4 O0 k
2.阿基琉斯追不上乌龟：
  芝诺说，如果阿基琉斯落在乌龟后面，同时起动，那么会出现这样的情况：假设初始时，阿基琉斯在A点，乌龟在B1点，经过了t1的时间，阿基琉斯到达了B1，但同样的，乌龟用t1的时间到达了B2，而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时，乌龟又用t2的时间到达了B3，而阿基琉斯到达B3时，乌龟又到了B4，如此往复，那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。

7 U7 A2 A. S" ^/ T( Y4 T
! Z) {5 e: l6 E8 ]7 r& |对第一个问题，所有的人都说“永远跳不出去”，而对第二个问题，则说“肯定追得上，因为事实就是这样”。

" y& n+ o% u! z3 R* O于是那哥们问，为什么两个类似的问题，答案不一样？数学依据是什么？
# u, w. f6 T) [% O5 d5 ^& w/ V
/ C8 |- Y: k& J/ M% c3 u4 ~最后大家还是用数学模型把这个事了了，不过过程实在很有趣，社友们也来试试吧。
5 x5 t' \5 }5 H; u# t% P

闲人一个OO

第二个问题我上马克思时老师拿来当例子讲的，这个问题逻辑上很难搞定的

高进

这个问题我也想过，为什么呢追不上呢？我想是由于这个时间永远不能过度到下一秒，越来越小

无能

% p2 H# m! w8 Z1 B6 Z" ~/ B; z
回复 长驱鬼魅 的帖子
* s% T4 T2 m' i) J# z
第一条敝人看错了，答案请见下面有大侠给出。
第二个问题本身就没有描述清楚。一般来说，如果能把问题很清楚的描述出来，那么答案基本上就出来了。
我认为，芝诺悖论是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果换一种描述，就不会出现悖论，因为悖论首先就已经确定是错误的了，只是因为描述上弄了手法才让人看似正确。
; @1 i" Z1 U# n) A2 T  a9 x7 d没想到兄弟有雅兴钻研微积分的基础问题，佩服！
4 a6 d  A% Y; N9 v

jsj306

( O8 l4 N# ~9 b2 ^; T
3 n  ?* g) N' G第二种情况仅仅是计算上趋于无穷，实际上阿克琉斯不会按芝诺的算法来跑，一步两步就跨出去了，芝诺的算法仅仅是对这一步两步（或者这一步两步所用的时间）做细分，这就涉及到距离或时间是否无限可分的问题了

9 q5 [1 J5 K  ?7 n$ @第一种情况就是按芝诺的算法来跑了，他算一步，青蛙就跳一步，按他这个算法永远算不完，那青蛙也就永远跳不出去

螺旋线

那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？
  ^8 {% @7 j2 E! z

无能

回复 jsj306 的帖子

这是“潜无穷”论者与“实无穷”论者的争论。
) q/ q  D0 r9 @' o$ n( I* k潜无穷论者认为，世界上没有真正无穷的东西，所谓的无穷不过是描述一步接一步的动作，这个动作永远在进行中，永远没有终止。
& Z1 Z1 L1 `0 d但实无穷论者认为，无穷是存在的，存在着“一下子就完成”的无穷，而非像前者那样的永远无法完成。
  R6 K$ a5 N, C: e% X
能体现这两个无穷争论的例子是：你从点0到点1，无论如何你要经过它们的中点，就是0.5；而你要到达0.5，也必须先到达它们的中点即0.25……如此进行下去，由于这些中点是无穷的，所以你永远无法从0点到达1点。
实际这就是区间(0,1)的稠密性，也就是敝贴曾经提到过的，这个区间是连续统的精髓。

- ~& j, m' }. \) q/ F你永远无法从点0到达点1，是潜无穷论者的论点，但是我们明明可以一步就从0到1，所以实无穷是存在的，证毕。
集合论是承认“实无穷”的存在的。

根据我的研究发现，“实无穷”的论点直接就导致“不可知论”。

metalstorm

问题一：青蛙是跳不出井的，只能无限接近一个极限高度，这个极限高度等于第一跳的距离乘以如下等比数列的求和极限。
' S! c3 N1 G- x# {/ O7 K. Y- O: S
% p1 |( h# `# K  P6 w8 \问题二：阿基琉斯只能无限接近乌龟，但永远追不上，阿基琉斯的速度一直在变慢。请教楼主这个数学模型是什么？
  ^* U" ~6 m  E9 X9 X5 R! O, e

无能

回复 metalstorm 的帖子
  A- v( |" U7 i0 n. |
+ `5 P8 R% T" P6 u1 Q

( v4 I3 s0 E% Y5 g6 f; _第二题，我读题发现龟兔是各跑各的，并且并未说明B3一定在B4后面。不知道原题是不是想说兔子每次都要跑到二者距离的中点。
$ ?5 ]+ N  ]6 b* A8 ?% K) v& I& T

无能

回复 螺旋线 的帖子
# e6 f) X: A* p9 u# w( [+ n+ `( ]1 Z
看来以己昏昏，还是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
只能说 1 是无穷序列 0.9' 的极限，即 n->∞ 时 lim (1-1/10^n) = 1。
* @: t, B# P9 x, P0.9' 无限趋近于 1，但它不等于 1。
% m' z" |( }7 L0 V6 m# p- ?( E欢迎继续提出异议。
2 [  L3 E6 Y4 b1 N
- I0 g6 x) G6 Y5 V& v1 F