弹性力学中的一个问题

不懂的太多xx

这两天重温弹性力学，又把之前没解决的问题给想起来了，连着三四天自己没法给出解释，陷进黑洞自己出不来了，睡觉都不香了，现在求大侠抽醒。
极坐标下的应变问题，
图中的这个环向的应变，大侠们肯定都知道。现在就是前面"v/r”这部分应变问题。照本宣科，照书的方式理解没有问题。
但就我自己想，想出问题来了。位移函数v是r和θ的函数，a点的环向位移v（a）=v(r,θ)，d点的环向位移v（d）=v（r，θ+dθ），dv按第二个图。
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这建立在位移函数的r和θ的两个变量是没有变形前的坐标，在没有变形前a的坐标就是(r,θ)，d点的坐标就是（r，θ+dθ），两点的变化只有dθ的变化。
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: F: C: o' w  y6 H2 R难道是我认识出错误了，位移函数是变形后的坐标？既如此，dv应该是第三个图。
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也是没有v/r项。

照书中理解，这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）俩点引起的弧长差，这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标，一个是变形后的圆盘d点的坐标。
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矛盾点是，单从函数v(r,θ)上说，无论r和θ表示的是变形前圆盘定的坐标，还是变形后圆盘定的坐标，dv都没有v/r，除非一个是变形后的坐标一个是变形前的坐标。求大侠把我从牛角尖里拉出来。

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& k. j2 W# l, p- W补充内容 (2016-5-24 09:00):
发帖，错把u/r打成v/r。

补充内容 (2016-5-27 12:31):
9 U2 D1 H4 m, S- ^% N纠结已经解决

不懂的太多xx

云制造 发表于 2016-5-27 09:04
/ Y" G! v7 P' H/ t* Q1 e9 J0 |不是 4个点，我推导过程就是在（r，θ）点附件取一个点，这个点就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

与大侠讨论挺好，大侠还可以对两个问题说说自己得看法。
1、力学中，单元体的每个对称的正应力和切应力是相等的；在推倒静力平衡方程时，具有相同法线的两个面的正应力和切应力则不相等。两者都是取的某点处的微单元，大侠可否说说自己对这两者的看法以及这两者应该用在什么地方？
2、大侠看下面截图中，三角棱形体的体力可以忽略，而长方体的体力不可忽略，这又是为何？
6 A/ i6 a) f9 Q; E大侠发表一下自己的认识。
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不懂的太多xx

云制造 发表于 2016-5-27 09:04
' S7 G9 M0 W: X7 e% }! a( a不是 4个点，我推导过程就是在（r，θ）点附件取一个点，这个点就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

首先，应变都是针对单元体来的，单元体的某个方向的应变（比如y向），则是用线段的伸长量除以原始长度得来的，这是最初的应变定义。我一直说从应变的基础定义来证明计算。就是先切的微元体，然后求的微元体的某条边的伸长量。
8 @3 a2 E/ C8 b8 h5 ~) ?弹性力学，计算应力和应变都会说取一个微单元，之后计算该微单元的某向线段两点的位移，计算应变。大侠取的（r+dr，θ+dθ）和（r，θ）两点，数学角度的基本定义咱没必要说，大侠用的是全微分和斜率。就说从力学角度，这两个点表示的是哪个微单元中的哪个线段？我的意思是这个要弄清楚，先确定一个用来表示线段的数学模型。ε=δ/L，这是力学中的计算应变的最基本模型，大侠当中的δ是哪一个？L是哪一个？从这个模型配对来类推，大侠的δ是v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ），L是rdθ。
位移函数是原始坐标的函数，v（r+dr，θ+dθ）是（r+dr，θ+dθ）处的位移，v（r，θ）是（r，θ）处的位移。若想用ε=δ/L这个模型，对a点取的这个微单元来说，径向应变只能用ab线段，切向应变只能用ad线段。而大侠的v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ）表示的又是哪一个？
) w! u8 s, z, D/ N大侠用的全微分，表示的是在a点切向位移v对r和θ的全微分（也就是v的增量），而只是针对v这个二元函数，该点的微增量；这一步是单纯从v函数来求解的。而后面除以的rdθ又是从极坐标中的两点计算来的，先不管别的（这个别的我后面），顺着你的思路，两点之间的长度是多少？是(rdθ)2+(dr)2在开方。这个存在质疑。
现在说那个‘别的’，证明应该有两种：1、纯数学证明，完全用v函数来证明；2、在极坐标中，用线段的伸长量来证明。大侠这个证明，v的增量用的是v函数的全微分，前面的思路是用函数来求该点的增量，后面又转到两点之间线段的长度（极坐标）下，我觉得这样不严谨。大侠既然想用函数证明，就应该彻底的用该点的函数证明，先增量，后在一个三维坐标系中描述出该点的位置，计算微段斜率，利用斜率来计算应变。
再就是ab和bc的问题，微积分这门数学的基本思路，相信大家都知道，咱们暂时不讨论这个。力学取微单元的基本假设：单元内部的应力和应变都是均匀分布的，这个相信大家也都知道。就说在极坐标中的微单元，不管多微小，在计算过程中ad和bc就是不一样，因为自变量是θ角度。而两个长度不一样，在用两个线段算应变的时候就是不一样。
理论上应变是连续的，从推出来的应变公式表象上看，取ab边和取bc是不同的，但最终求的是a这个质点处的单元体的应变，所以最终应该是相同的。我提这个问题，只是想说应该从线段伸长量来证明（就是应变的基础定义）。

云制造

不懂的太多xx 发表于 2016-5-26 20:08
+ l' L; x! h; ?4 @8 y+ j我一直也说，理解这个借助物理模型和不借助都得一样，而我一直只想从应变的最基本定义来推倒，过程中我旋 ...

不是 4个点，我推导过程就是在（r，θ）点附件取一个点，这个点就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x），求它的导数就是x=x0附件取一个点，这个点的位置是x0+Δx，增量是Δy。所以我的那个式子表示，（r，θ）和（r+dr，θ+dθ）之间v的增量Δv，除以原始的两点之间的长度rdθ（忽略高阶小量）。

另外你问的，ad和bc，其实就是伪命题。你自己推导的过程切应变用的ad线段，而不是是取微元体，其实ad可以任意取，ad也可以取在bc的位置。另外要有这个概念，这个时候的ad和bc其实是非常近的，只不过画图作为说明，把距离划的很大，好像两处的应变不一样。应变是有连续性的，不会在一点的左侧和右侧有突变，bc是无限接近ad，（微元体到底有多微？要有极限的场景理解），其实既然是取微元体，就可以认为在微元体内的量是常量（或者可以认为取的微元体的平均量），如果还认为比如长方形微元体的正应变沿着斜边不是常量，就没必要。即使有细微的变化，也是高阶小量。所以你说的ad和bc的区别就是伪命题。

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不懂的太多xx

云制造 发表于 2016-5-26 19:28
' w1 I% d! e# i3 e* J9 J这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a'' ...

大侠用v（r+dr，sita+dsita）-v（r，sita）表示ad线段的伸长量有点突兀。从你的第一个公式来看，你是想求应变，分母是rdsita，但是分子确实c点环向位移减去a点环向位移，分子表示的还是ad线段的伸长量，两个点还不在微单元的任何一个边上，这个得需要证明。
大侠v对sita的偏导数求解没有任何问题。
6 c8 R0 n9 X8 L: K关于这个理解，我想问大侠一个问题，对于在笛卡尔坐标系下的长方体微单元和极坐标下的微单元，关于应变的算法和表示的意义。在笛卡尔下，左右两边线段的伸长都可以表示y向应变；在极坐标下用ad线段应变代表环向应变，有没有想过用bc线段应变代表环向应变，两者是否相同，有没有算过？为什么书中用ad线段表示，而不用bc线段表示？
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不懂的太多xx

云制造 发表于 2016-5-26 19:28
这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a'' ...

# ]0 j* C) j* t/ _1 J, N: J3 \我一直也说，理解这个借助物理模型和不借助都得一样，而我一直只想从应变的最基本定义来推倒，过程中我旋转只是借助一种数学方式来计算这个。
# |9 M+ [% X/ ^) @; v0 g$ S5 g大侠有一点错误，并不是（r，sita）和(r+dr, Sita+d Sita)的距离，而是和（r，sita+d sita），dr和dsita是定义这个微单元的微小量。
0 a# T+ P- p2 W5 L四个点，变形前坐标是（r，sita），（r，sita+dsita），（r+dr，sita），（r+dr，sita+dsita）
变形后（r+u，sita+a），（r+u+X，sita+a+b），（r+u+dr，sita+a），（r+u+dr+X，sita+a+b），其中X是u对sita的偏导数乘以dsita，a是点a转过的角度，b是变形后dsita的增加的角度，严格来说前后角度也是不一样的。而这也是建立在忽略ab边的剪切角，这个是因为v对r的偏导数乘以dr产生的，之所以忽略是因为这些都是高阶微量。其实同样的，满复杂的我也已经证明，只不过图太乱，不好看清。
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云制造

不懂的太多xx 发表于 2016-5-26 14:10
: A& u- X1 L; M3 ?关于我自己纠结的点，我已经解决，证明过程放出来了。首先感谢云侠和零侠的回帖。特别感谢一下零侠。

5 H. a; ]3 ]( p% Q* D$ e* K( s1 T: A这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a''，那d'就会到d''。所以绕了一圈，还是跟原来的物理过程是一样的。跟单独考虑径向位移和环向位移再综合是一样的。
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另外楼主要注意的是，严格意义上其实d'和d''不是在半径为(r+u)的同一个圆弧上，d''是距离这个圆弧有一个小的增量，因为是dr和dθ都是无穷小量，可以认为d'和d''在同一个圆弧上。

这也是我那个数学方程推导过程的分母直接是rdθ，实际上严格意义上是点（r，θ）和点（r+dr，θ+dθ）的距离，是省去了高阶小量。
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其实我那个就是纯数学推导，只是在最后求偏导数时用图作了说明，（针对仅径向位移）。

另外我为什么强调单个点的位移意义不大，是因为存在刚体位移或者其他位移情况下，即使有位移，也没有变形，（或者大位移，小变形），所以我强调两点变形前后位移差。（就像这个极坐标下，所有点绕着轴线旋转，有位移，无应变）。
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另外这些方程都是针对小变形，10的负几次方的量级。对于大变形，比如橡胶之类物质，就不是这样的方程。


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不懂的太多xx

关于我自己纠结的点，我已经解决，证明过程放出来了。首先感谢云侠和零侠的回帖。特别感谢一下零侠。

云制造

云制造 发表于 2016-5-25 09:00

( \! d1 g( c! K+ h; b! av(r,sita)是a点的环向位移，r dsita 是ad段的原始弧长，讨论的不是相等，二是两者之间的差相等，看来楼主还是没有明白。两个点变形后的位移差，就是等于两个点变形后的长度，减去变形前的长度，变形前dθ很小，a，d之间的环向距离就是rdθ，楼主应该清楚推导过程的dr和dθ都是无穷小量。甚至一些高阶小量都会省去，比如（r+dr）dθ，这个时候rdθ比drdθ高一阶，drdθ就可以忽略。这些楼主应该清楚，我也没有特意强调。
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我觉得我这个讲的很清楚了，包括前面的帖子也强调了。关键是两个点变形前后的位移差。单个点的v是没有意义的，二是两个点v的差，而两个点v的差。v（r，θ）是不等于rdθ，v（r+dr，θ）也不等于（r+u）dθ，而是v（r+dr，θ）和v（r，θ）的差，是等于（r+u）dθ与rdθ的差。推导偏导数的过程也是强调这个时候θ是常量，旁边也画了个图，做说明
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7 z. S) I5 E, y7 h
" U- |4 T+ [. o/ c楼主自己再多思考思考，脑子里要有物理场景，也要知道这个时候的dr和dθ都是非常小的。这个本来就是基本的公式，我觉得我已经讲的比较清楚了。书中是从仅径向和仅环向两者单独推导再综合的，这个是为了简单明了，而位移是可以分解的，可以认为变形是先径向移动，再环向移动。跟路径无关，但最终的变形是一样的。而将径向位移和环向位移同时考虑进来，画图出来就不直白。



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云制造

云制造 发表于 2016-5-25 08:56
数学推导过程