公理——数学的基础

扫街

在传统逻辑中，公理是没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题。因此，其真实性被视为是理所当然的，且被当做演绎及推论其他（理论相关）事实的起点。当不断要求证明时，因果关系毕竟不能无限地追溯，而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单，且符合直觉，如“a+b=b+a”。
不同的系统，会预计不同的公理。例如非欧几何的公理，和欧氏几何的公理就有一点不同。比如说我们看欧式几何。在几个简单的公理假设下，我们可以得到一系列的结论，很多是深刻的，甚至是反直觉的。在建立这个模型之后，一个重要的问题就是我们需要几个公理来建立这个模型。比如欧式几何的每个公设是可以由其他公理得出的一个定理/结论？还是必须也是一个公理？
比如欧式几何里“过给定直线外一点，有且仅有一条直线与之平行”在很长时间内是不清楚它的位置的，后来发现对于欧式几何，你可以认为是这个体系的“公理”，只有认定它，才有后来的美妙结论。
没有它呢？那时你就进入了另一个模型，你会得到其他的美妙结论：）
/ O( c, k. ?# Q所以，在不同的公理假设下，我们得到了不同的数学体系，以此为基础，我们就可以得到对现实和对数学本身的各种模型。这种公理化的一个好处是，当你觉得现在的数学模型并不适合现实，或者并不满足理论发展需要时，有可能只是你假设了太多的公理前提，换一套公理，换一套前提，你就能得到很不一样的数学体系，原本的困难可能就很容易解决了。
不证自明性是公理的特点，这也是为什么数学家质疑欧几里得的第五公设——平行公理的原因，平行公理看起来并不象其他几条公理一样明白了当（比如第一条公设：任意两个点可以通过一条直线连接），而非欧几何的建立，也正说明了第五公设的不必要性。
/ y, K0 i4 `* H从一方面说，公理也可以看作是对于一些一般经验的总结，这些总结是无可争议的正确的，还用第一公设说，“任意两个点可以通过一条直线连接”不管这直线如何定义，总之两点之间可以连出一条线（天知道在哪一维空间里就是一条直线叻？），这既符合直觉，也是简单明确的事实。
( g% g- d6 z6 U! T8 K从数学逻辑的角度，要证明一个定理就要证明导出这个定理的定理，进而要证明导出导出这个定理的定理的定理.......这样一直往回走，我们需要证明一个定理串，如果这个过程无限回溯显然是不可接受的，必须要有一些“东西”作为这个定理串的源头，回溯的过程终止与这个源头，这个源头我们就说它是“公理”，当然如果这个源头与某条已知公理违背，则这一串就都是假命题了。
2 q& X* |  L3 E& n扯远了，回到公理上来，形式主义数学家如希尔伯特，就通过建立形式化公理体系，把数学带到了一个更加严密的世界中来了。每一套公理体系中的公理，必须互相独立，且相容，否则就有矛盾了。所以一个公理背后是一套公理体系，这样就构成了一套数学的基础。
6 K% Z9 j. \7 {  u8 c  h数学的图景也没有那么统一的，一套非偶的公理体系，就一个非偶几何空间（当然希尔伯特老先生的几何公理体系吧几何学统一了.....可不可以不要这么强大嘛~~）；一个连续统假设，分出两个数学的世界，
总之公理，公理体系，就是数学的的底桩。

点评：
那问题就来了，三角形的内角和为什么是180度
3 C, `+ v" F+ V/ a$ e
! q3 U8 B* R& M3 }4 G1 n, e% R

乐小白

Pascal 发表于 2014-10-19 12:36
加德纳的《无限过程——数学的分析的背景》P74~75, P143

' }3 f5 W4 {2 k; p6 F受教了，原来前人已经有了相关的研究，多谢大侠赐教！
1 E: F. Q: m2 T" v

Pascal

乐小白 发表于 2014-10-19 08:51
这个问题画个图出来看很明显就能证明，前提是认可平行线定理，当然也可以先求证平形线定理。
* B" s' x& d5 j看到楼主的问 ...

加德纳的《无限过程——数学的分析的背景》P74~75, P143
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Pascal

乐小白 发表于 2014-10-19 08:51
' T0 Q; J+ T/ K6 K/ w/ q这个问题画个图出来看很明显就能证明，前提是认可平行线定理，当然也可以先求证平形线定理。
" x5 K) I6 v3 O% A- o看到楼主的问 ...

' d  u$ D, l- {& T0 K0 p  截图来自张奠宙的《现代数学与中学数学》P109


( p3 s) j! L* G$ N  v# J

乐小白

这个问题画个图出来看很明显就能证明，前提是认可平行线定理，当然也可以先求证平形线定理。
看到楼主的问题让我想起来高中时候的一个问题：1/3=0.33333…………无限循环根据等式定理两边同乘以3得出的是3/3=0.99999999……无限循环，那么问题来了：1=0.99999……无限循环是怎么解释的？！

405452975

学习！！

三八大盖

我怎么记得上中学的时候老师给过证明

lglabc2008

学习了

Pascal

还有基本概念也是数学的基础。
2 q2 S$ c& O: x# H# |3 y4 ]就拿咱们熟悉的欧氏几何为例，在定义、公理的基础上，才能推出后面的命题。
2 I9 _* e$ i  Y- P0 I: N定义就是概念。

pain

三角形的内角和是180度 是定理而不是公理。
这个不用解释。