0.999......到底应不应该等于1？

fanwort

今天跟大家探讨一个数学问题（别人提出的）：0.999...到底是否应该=1，如果你急着说：NO！请继续往下看！
2 p5 m7 R$ W) W大家都知道：0.3333.....=1/3
两边同事乘以3得到：0.999.....=1/3*3=1
) a9 Z- a( T/ ~9 |' D8 s4 R如果你仍然坚持自己的看法，那么请继续...
0.999.....乘以10:        10*（0.999....）=9.999.....
- A9 ]3 f+ \3 ?# o+ j两边同时减掉0.999：  10*（0.999....）-1*（0.999...）=9.99...-0.999...
5 Z! M; Q, p/ M, m得到了9*（0.999...）=9
什么数乘以9等于9，当然是1啦！

% Z, k8 M% o( I3 C+ a  ^/ [! [4 x3 ~
) P$ e- D2 ^& r0 Y

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-17 14:20
4 u& A0 m1 t& w+ @1。呵呵，你的例子很有意思。但是还是那句话，不能作为一个定理来应用于证明。不扯那么远的例子，就说1和 ...

zero大侠：
5 R, l/ r5 r& y7 G1 \7 L5 K* ~

1.  故事，而且还是虚拟的故事自然不能当定理用。可是我用的方法是可以当定理用的。

     因为我在2个集合的元素之间建立起了一一对应的关系。一一对应准则是康托尔集合论的基石，集合论与现代数学的关系我   
$ h* H/ ]; `$ f2 n9 M     就不说了。

2.  “ 0.000....001，在1的前面有n个，或者无限个零”，无限个零说法是不对的，具体见截图--最后一位。

3.  “你可以证明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒无限位的时候，”
      为什么要推到无限位呢？我只要证明│ 1-0.9...│ <任意给定正数就行了，只要你给定了一个数，这个数就固定下来了，我肯
8 G& S; U9 r5 J2 M$ p      定能证明│ 1-0.9...│<这个数，按照实数系的阿基米德性质，就能得到│ 1-0.9...│=0。

4.  “你既不能通过四则运算得到一个实际的差值，又不能通过所谓的观察法得到差值小于另一个差值的结论，”
      怎么不能得到差值小于另一个差值？见截图--实数的比较，来自张筑生的数学分析。

      由比较规则轻松可得0.9....>0.9或0.99或0.999。

5.   实际生活中，如果零侠有个几万兵马，我那个方法确实很难执行；如果零侠只有几十兵马，几分钟结果就出来了。不过从数
3 [2 f$ C- Q* k+ E      学上看，几十兵马可以用这种方法判别多少？那几万兵马同样可以用这种方法判别多少！

6.  “0.99...就不能写成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....这种形式。因为你后面的无限位数该如何相加呢？”
' E  @' R% Z% y% Q8 a5 n  u      为什么要硬加呢？无穷级数和难道是一项一项加出来的？

7.  “那个式子的关键在于逐位安置，然后逐位相加”

      逐位安置我承认，可为什么要逐位相加呢？理由同第6点。

8.  “如果你不用1/3的小数形势0.33...同Pi的有限小数形势比如3.14159进行四则运算，你有什么办法从1/3+Pi这个式子中得到一个
( L8 N4 q0 s( {+ F# z8 y7 ~      数值解吗？”

     有一个很用力的近似计算工具，叫逼近。数值解，可以呀，你要精确到几位小数？

     零侠可以回顾下人类认识π的历史，从周三径一开始，虽然人们不知道π具体数值，甚至不知道π是无理数，但已经把π控制在
" ^$ [# G2 P5 @& U0 B. T* ?     3~4了，到刘徽的割圆术，就可以把π控制在很精确的范围了；π可以逼近，π+1/3同样可以逼近。

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-17 10:09
1. 数值比较同样不需要具体差值。
3 Q$ e7 D8 j- g! O假设咱俩穿越下，来到一个古代，那时人们还没有具体数的概念，但有多少 ...

9 v) m6 O7 N9 j* M# X- k$ `9 X1。呵呵，你的例子很有意思。但是还是那句话，不能作为一个定理来应用于证明。不扯那么远的例子，就说1和0.99..的差值，这么说，我们不四则，也不知道差值究竟有多少，然后我给了一个小实数，0.000....001，在1的前面有n个，或者无限个零。那么你该如何比较这个差值和这个小实数的大小呢？你可以证明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒无限位的时候，你既不能通过四则运算得到一个实际的差值，又不能通过所谓的观察法得到差值小于另一个差值的结论，那么你该怎么办呢？如果我们把这个推广到那个人和马的例子上。比如人很多，马也很多。前面不断的有人在牵马，后面还有很长的队在等待牵马，而检查的人在检查到一半的时候就已经说不清究竟谁牵过马，谁没有了。那么这种情况，你还有办法比较吗？另外，这个例子其实是在一个参照系下进行的。当你换了参照系呢？比如那个著名的新龟兔赛跑的例子，乌龟和兔子两人从一点出发自东向西跑，裁判是太阳。最后的结果就是乌龟比兔子跑得快。哈哈。这也是为什么我说这样的所谓可比性不能作为证明的依据的原因。
2。呵呵，我希望你再看下我的话。0.99....可以通过级数展开，但是分数展开的本身实际上等价于小数逐位展开的本身。换句或说，220就等价于200+20+0, 等价于2*100+2*10+0*1。同样的，0.3165=0+3*（1/10）+1*(1/10)^2+6*(1/10)^3+5*(1/10)^4也等价于0+3*0.1+1*0.01+6*0.001+5*0.0001。这样的式子恒等价，因为这是实数构成的基本法则，即逐位安置。而逐位安置本身就是在应用四则运算。所以，如果说无限小数不能进行四则运算，那么同样的，0.99...就不能写成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....这种形势。因为你后面的无限位数该如何相加呢？是否会有进位呢？是否在某一位，9*（1/10）^n=0了呢？既然不能这样写，那么还是那个问题，你怎么比较呢？
; _  \' |& i) L, W  U3。这三个例子其实不是在说无限小数可以运算，而是在说任意实数的一个通性。这个通性本身跟四则运算没有什么关系。
4。那个式子的关键在于逐位安置，然后逐位相加。所以才有2*3*（1/10）的写法。就像我前面说的，逐位安置是实数构成的基本法则。如果你承认这种逐位相加，那么跟你在运算0.33...+0.33..的逐位相加有什么区别呢？只是因为一个是分数的逐位形势一个是小数的逐位形势吗？这才是这个长等式要表述的问题。跟级数也好，跟极限也好，都没有关系。本质是数字构成。
5。我在更早的回复里提到过，进位计算对于无限循环小数不是问题，对于无理数比较麻烦。而实际上，即便不使用小数形势进行计算，你依旧没有办法计算无理数。比如1/3+Pi，他究竟是多少呢？或者说他究竟等于一个什么像的无限不循环小数呢？同样的，如果你不用1/3的小数形势0.33...同Pi的有限小数形势比如3.14159进行四则运算，你有什么办法从1/3+Pi这个式子中得到一个数值解吗？没有！你不仅得不到一个无限右位的解，也得不到一个有限右位的解。不是吗？

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-17 00:06
P大。我感觉讨论越来越有意思了。
1。数量比较比一定需要差值，因为只要有参照物即可。但是数值比较不同 ...

$ l5 N7 u: ?8 \1 p. L1. 数值比较同样不需要具体差值。
假设咱俩穿越下，来到一个古代，那时人们还没有具体数的概念，但有多少的概念。零侠你是元帅，统领一大群兵，还有一大群马。我是你朋友，跑过来看你，你很高兴，请我喝酒。然后我问你一个问题，零帅，你到底是兵多呢，还是马多呢？你回答不了，因为那时不会数数，但咱们还是想到了一个办法，让每个兵去牵一匹马。最后有兵没牵到马，说明兵多；有马没兵牵，说明马多；以上两种情况都没有，说明兵和马一样多。
# v" z7 F+ {7 ^% h另外从历史上看，多少的概念比减法概念出现的要早很多。所以说数值比较不需要具体差值。至于“小差距不能辨识的情况呢”，放大呀，数学最擅长这个了。
2.” 0.99...=0.99吗？0.99...>0.99吗？0.99...<0.99吗？”
零侠后面有0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n，同样可以展开0.99.....啊，很容易就能证明0.99...>0.99。不存在鸡蛋问题。
; p% A2 k7 D7 P6 T3 |3. 下面3个算式只是想说明有些无限小数是可以运算的，只要有定义。
    0.1....-0.1.....=0
; m# L- K) b, G6 T0 F: e    1x0.1....=0.1.....
    0.1.....+0=0.1.....
  r0 I# A0 g! k9 d( M! _4. “我写的那个式子，希望大侠看全。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3”
  M- F. O* F4 M. Y- C3 r  上面运算的实质是极限，并没有定义/证明无限小数的运算规则。
/ K* o/ f, E  N! ]/ i- S2 v5. “其实进位并不是问题。”因为咱们讨论的1/3、1/9有点特殊，循环节只有1位。循环节不同的小数怎么加？1/3+π怎么加？

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-16 22:47
zero大侠：
1. 数量比较是不需要具体差值的，也就不存在假定最右一位的说法。比如咱俩来比身高，零侠身高 ...

( i6 k$ k' [# T( a. L! A- [P大。我感觉讨论越来越有意思了。
1。数量比较比一定需要差值，因为只要有参照物即可。但是数值比较不同。可以借用你这个例子。（我没有那么高啊）。A身高1米8，B身高1米7，这样两个人站一起就知道差别。但是如果我们讨论二者身高差量同另外一个参照物，比如一颗手雷的比较时，直接的做法是把他们放一起，再比较。而当你不能把两个比较对象直观的放在一起时呢？或者对比时看参照物的具体位置变动呢？这样就没有办法比较了。或者说，A身高1米71，B身高1米7。这种小差距不能辨识的情况呢？所以我才强调，不要说1-0.99...的差值一定比0.1小这样的话，因为这种直观上的比较不能作为数学论证的依据。同样的例子就是歌德巴赫猜想。比如1+2=3。如果就是直观的讲的话，那就不需要证明了，不是吗？
所以，当讨论数值比较，特别是差值比较时，你至少是要确定这个值的。
, W; e* T+ l" ?  |! Z3 ~2。关于这句“证明1-0.9...=0只需要证明│ 1-0.9...│ <任意给定正数就行了”。我感觉我们像是进入了一个鸡和蛋的哲学问题中。究竟是先有证明1-0.9...=0还是先有|1-0.9....|<任意给定正数。哈哈。这么说吧，
& s; j4 k( R1 }  S; c- T我们先讨论下|1-0.9....|<任意给定正数这句话。比如我给定一个正数0.1，你该如何证明1-0.9....小于0.1呢？你可以说，1-0.9=0.1。1-0.99=0.01<0.1。所以，1-0.99...<0.1。但是问题就出来了，你计算前两个式子的时候，是有限位计算，按找张先生的理论，是有意义的。而问题就出在第三步上。0.99...=0.99吗？0.99...>0.99吗？0.99...<0.99吗？所有的这三个比较式你都不能直接使用，你都必须先要证明一个确定的关系发生在0.99..同0.99之间。而如何确定，这就是需要四则运算的地方。比如0.99...同0.99在小数点后的前两位相同，但0.99..右侧还有数位。即0.99...=0.99+0.009...，而0.009..>0，所以0.99..<0.99。而这之中，实际上你已经在用一次四则运算了。所以，说这么多，其实就是一句话，如果抛弃四则运算本身，|1-0.9....|<任意给定正数 这个问题不可证。既然不可证，那么至少你不能用这个式子说明1=0.99...
* w- N* s$ O6 [) J( J: B接着就是1=0.99..的证明，其实你可以去看各种的证明的方法，有级数计算的，有错位相减的。但是最终都是在一个进行四则运算的基础上。比如说级数计算的。0.99...=9*(1/10)+9*(1/10)^2....9*(1/10)^n。然后通过等比数列和法求的
! A$ L/ z' l' T0 Q* h0.99..=1-lim(1/10)^n=1。而这其中，其实也是在四则运算。如果严格按照张先生的理论，那么同样，9*（1/10）^n是找不到的右位，那么最后的lim(1/10)^n原则上也不应该出现。说白了，就是不可证。
* j: S5 s. ]$ ^- {2 y总之，通过假设推论，如果因为找不到右位而否定四运算的可行性，那么现有的多数证明本身都是不成立的。1-0.99...同“任意给定正数”的比较就成了鸡蛋问题。哈哈。
* F; I, d+ Y+ t- a3。我不太明白大侠写这三个式子同证明1-0.99..的差值和任意正数的关系有什么联系。
, k, V9 k9 ^1 a5 x- j; t% w* Q1 e4。我写的那个式子，希望大侠看全。
6 M' T& L; `) G5 j8 \1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
; h$ `1 ]/ O2 N% {; a其关键是第二个等号的右侧。因为那一部分的计算是脱离小数但却符合小数各数位四则的部分。也就是说，讲0.33..级数话，然后各级数的分数表达做加法。换句话说，如果你承认这种级数分数的运算方法是对的，这跟直接去计算无限循环小数的各数位是一致的。因为，0.33...+0.33...四则运算的时候实际上是0.3+0.3+0.03+0.03+0.003+0.003+....。说白了，无论你是否能找到右位，级数计算和直接小数计算都是在这样进行的。唯一让人疑惑的就是进位，但我之前阐述过了，其实进位并不是问题。

少-侠

马克思教导我们 ：具体情况具体分析，我们要以辩证的目光来看问题
7 [- @1 z" P# s! n7 J其实0.9999…… 与1二者是相互渗透相互转化相互影响。
) S4 I: Q) C& _+ w4 ^在一定条件下，0.99999……可以看作1 ，在一定条件下，1又可以看作0.9999……
综上 ， 0.999999……就是1  得证

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 13:54
P大，可能说得有点绕。
$ K! n) [4 G1 O! z, u6 ~# ?8 Y1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也 ...

zero大侠：
1. 数量比较是不需要具体差值的，也就不存在假定最右一位的说法。比如咱俩来比身高，零侠身高1.8......，我身高1.7.....。咱俩只要站一起，社友们立马就知道谁高了，但是咱俩身高具体差值他们不知道。社友们做了数量比较不等于他们计算了1.8....-1.7.....的差值。计算差值只是比较的一个手段。
: @8 u* B  t- ~& j8 Y2. 证明1-0.9...=0只需要证明│ 1-0.9...│ <任意给定正数就行了，数量比较不一定非要具体差值的。
3. 数学的证明，一步步都是有来历的，没有定义的运算不能算，但下面几个运算是可以的，因为有定义。

0.1....-0.1.....=0
9 `: T  c/ o# g! A    1x0.1....=0.1.....
  C: A$ N/ n$ A    0.1.....+0=0.1.....

4. “如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。那么对于上述等式，其实质就是定理得充要推论，又缘何有无意义之说呢？”
1 A9 U% t& e% m# F   你这句话，我承认“如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。”
   可是2/3=1/3+1/3=0.333...+0.333...说明了什么？只能说明2个量相等，能说明无限小数直接加是可以的？
    比如：1+1/4+1/8+1/16+.....=(1+1/4)+(1/8+1/16)+.....，你能就此得出无穷项加法里结合律是可以用的么？
+ U9 ?" M! {  o

' ]& m2 q- m! M6 c5 W4 `

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 13:54
P大，可能说得有点绕。
* q3 g+ M0 D8 j& i" o2 I2 C1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也 ...

zero侠，这个帖子写得很明白，谢谢！
我还没想好怎么回复你，可否让我挂下免战牌？

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-16 10:49
zero 大侠，抱歉，你这个帖子我没怎么看懂。
" S1 k( n4 D4 d1. P进数，我没听说过，是实数理论之一么？
6 ?8 m$ [% r- m/ V2. “承认不等 ...

P大，可能说得有点绕。
1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也紧限于知道。呵呵。但据说这个数域在前沿学科内应用很广。
2. 关于差值问题。首先，只有当你能判断相比较的两个实数的大小时，你才能判断其差值。也就是所谓在一个数轴上，你要先能判断出二者的左右关系。其次，当你能判断出左右关系后，你必须通过一个减法处理，才能得到一个“差值”。如果存在两个实数ａ，ｂ。你既不能判断其大小，又不能进行减法，那么你该如何定义和比较ａ-b这个代数式呢？这就是我在说的矛盾。
同样的，对于1-0.99....这个算式，你既不能判断其大小，又不能进行加减法，你如何得到一个其差值小于0.1,0.01这样的结果的呢？你不要说因为他一定比0.1小这种话，因为这种说法在数学推理和证明里行不通的。你可以说，1<1.1。1-0.99..<1.1-0.99..
但却不能得到1-0.99..<1.1-1。对吗？对于这样一个不等式，0.99..和1的大小在你证明前，你是不能应用其大小概念的。
( G% l& c, o+ d# i! X- N然后说右位问题，这里还要提那句，对于阿基米德性质的完备数系，不存在非0无穷小。也就是说，lim(1/10)^n=0，而不是一个找不到右位的小数。所以，在这个前提下，魏先生的比较说法，其实在说1与0.99...的差值是一个无穷小，即0，而0是一定小于你能设定的任意小的实数的。
这里，我必须承认一点，在存在进位问题的无限小数运算中，这个所谓的右位其实是个麻烦。比如0.77...+0.33...。这种情况符合张先生所说的右位进位问题。但是实际上却不需要去找右位。因为这样的式子其实可以写成0.77...+0.22...+0.11...=1+0.11...=1.1...（先假设可以四则）。即实际上，这种无限小数的运算也在遵循基础的整数运算时的计算规律，比如7+4=7+3+1=10+1=11。为什么要强调这个，因为虽然我们常用的是10进制计数，但实际上存在12进制，8进制，2进制等多种记数法。所以，四则运算的进位本质上都是在分解和结合处一个个的可进位数，然后再逐位写出余数这个过程中进行的。而对于无限小数，其计算实质也是如此。虽然，对于无理数来说，这样的计算变得相当困难。比如pi。而对于这类无理数，实际运算中，多数时候都是按照有限位四则运算的。因为你不能最后只写一个4pi,5pi之类的代数。实际使用中，你是一定要有所取舍的。
! g; _) g% s4 Q9 P5 I

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 00:24
1.你这么写，本身要承认不等号两侧的可加减性的。你可以说我不用找到一个具体的“右位”去进位，但是却是 ...

* ~) y+ M; J1 k7 Szero 大侠，抱歉，你这个帖子我没怎么看懂。
1. P进数，我没听说过，是实数理论之一么？
2. “承认不等号两侧的可加减性”与“找到一个具体的“右位”去进位”怎么就矛盾了？
& L& s( _' j. [! o' |4 T; r3. 我不承认1与0.999..之间可以进行直接的四则，不代表我不能对差值的范围进行运算啊。