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标题: 计算绳子的长度，大家来做题目吧^^ [打印本页]
作者: fmdd    时间: 2013-9-21 23:17
标题: 计算绳子的长度，大家来做题目吧^^
本帖最后由 fmdd 于 2013-9-22 07:40 编辑 . H, ^4 G  |9 P, {# a

1 P+ ^; L3 _) c* X6 F: Q大家来做题目吧^^4 _/ a# w" ?* F2 U* S# D$ t+ _& K* B

- o* I1 ~# D, d8 n- h假设一颗铁球，拴了一根绳子。
( M+ H# @6 B. S/ ^
# ^1 {0 e' L3 ~( Z! o该铁球位于地球赤道上方，绳子垂直于地面向下，铁球相对于地面保持静止。. }" @% s4 b3 Q5 r1 e5 M

5 X  N9 S  B3 a( M0 L6 H该铁球相当于卫星，有点类似于地面上的一个棒棒糖。; @6 B$ q5 p8 D  e) i
" q( R: k) X5 ]# ~* v3 i
假设绳子密度是均匀的，而且足够结实不会被拉断，请问绳子需要有多长？
; V0 C4 a7 G7 |8 E3 U  p2 g, O
7 L4 u, e: q7 ]各物理量可以百度，比如重力加速度g、万有引力常数G、可以百度得到。- G. J0 c7 E2 |! h5 c  c

$ d. {- }6 i$ a- y" p) [计算过程中的未知量，比如铁球重量等等可以进行假设。  z  X3 Z- Y8 x# `. }

5 s, r" W! U3 i& n; |  h补充一个图：
. s2 L" I- F" e5 w$ L6 C4 Y- u0 D2 j. b4 M8 O/ h
[attach]297623[/attach]
( g5 E3 u$ H: i- v9 K* Z
9 i3 X- I- |- h# D谢谢"探索号QM"的答题，他的计算模型中，是假设绳子对铁球无任何影响。
& v6 O" R0 ], W0 R. x
3 s& h& p3 n' ?* E7 k现在增加点难度，需要考虑绳子的影响。
; Y3 t9 `) R  h$ E" K! |* N
1 h5 |) f$ B6 P3 P由于有绳子的拖累，铁球需要有更大的离心力，才能带着绳子相对于地面保持静止。
$ X2 K  K! X0 o* ^4 S; d, z. A
5 Y* g8 J* ?5 P6 j7 X" e& F7 y2 r不计空气阻力的影响，也不计绳子和铁球之间的万有引力。
/ e2 @' _4 R& ?' \
+ D8 J1 f: M4 a' v1 t7 s+ Z给定一些可能会用到的参数(只是可能)
1 [& F% S: N7 W! L铁球质量：1kg
" c: n( e4 \; |9 y2 `* g绳子直径：10mm
& i! y% e9 X! Z' A绳子线密度：0.1kg/m4 K) A/ Q, x1 l' ^% D9 j9 q' h
绳子的刚度：无穷大& V0 s( Y% B$ K7 e$ m
作者: zerowing    时间: 2013-9-22 01:10
...地球同步卫星？
作者: 好方案    时间: 2013-9-22 01:45
同步卫星的轨道半径有定数的，度娘。
作者: 探索号QM    时间: 2013-9-22 05:38
如果只考虑地球自转，那等式建立的概念是重力加速度等于离心加速度。
4 H6 p! [4 M  f1 M0 M  P% yG*M*r^-2=r*ω^27 w7 u9 O6 N) W) T
其中:
% w6 O" B3 H) p% yG --- 重力常数，6.67*10^-11(m^3/(kg*s^2));  M --- 地球质量，5.97*10^24kg;  ω --- 自转角速度，7.27*10^-5 rad/s ; r --- 该球离地心距离: O9 k' r* b4 E& P$ g* }
由等式得： r=(G*M*ω ^-2)^(1/3)=4.22*10^7m=4.22*10^4 Km
8 N- k( \4 z+ S5 o$ Q  ]绳子长度是r减去地球赤道半径，即：4.22*10^4-6378=35822 Km.
作者: fmdd    时间: 2013-9-22 07:02
探索号QM 发表于 2013-9-22 05:38
3 v: a" O8 k5 I& `  w! g如果只考虑地球自转，那等式建立的概念是重力加速度等于离心加速度。
) z# D5 g1 L. S/ M# ^G*M*r^-2=r*ω^2
  l9 N+ h- X) v  i  C其中:

" c6 i$ [( n: u. Z1 r2 T谢谢，绳子的自重也需要考虑3 w5 _4 ^2 x4 b$ T' j

4 `5 s: T: H- T6 k) e7 G, k% ^# B& P" y  S& ?. [, z* g; _- z
作者: 付明花    时间: 2013-9-22 07:35
有深度
作者: /_cast_王珂    时间: 2013-9-22 07:40
同步卫星的高度为H = 35,786公里。
( x9 S& G+ o; B铁球重量无关，是不是绳子重心在H上就可以了？那绳子就是2H
作者: qdtruck    时间: 2013-9-22 08:38
hehe,高科技！
作者: 听雨的小鸡    时间: 2013-9-22 08:39
实在是不明白楼主你在说什么。。。。。不明觉厉！
作者: 学武书生    时间: 2013-9-22 09:07
复杂
作者: 探索号QM    时间: 2013-9-22 10:21
fmdd 发表于 2013-9-22 07:02
# P+ [  B4 l" a2 b( @7 G4 }, Q谢谢，绳子的自重也需要考虑

% U8 O! M8 k+ R绳子与球的共同质心离地心和赤道表面的距离已经可以确定，不必重复，并利用其数值建立以下质心平衡方程：
! \+ l9 `9 F8 {(Ms+Mq)(r-rc)=0.5*L*Ms+L*Mq2 v4 ~9 c0 V; {  v3 |+ K. X
其中：Ms --- 绳子重量并等于0.1L(kg) ;   Mq --- 球的重量=1kg;  r-rc=35822 km;' m% M4 ^* c* A2 g* `8 T
将绳子重量等式代入上述质心平衡方程，可得到一个关于L的一元二次方程，可得到：$ k! F3 k5 r. @" a" T9 z
L=71634 km
( e9 _4 e4 Y( H' O6 D- P
: e# G! v& F: P9 a! E
作者: 逍遥处士    时间: 2013-9-22 19:07
本帖最后由 逍遥处士 于 2013-9-22 19:11 编辑
  Q' a9 ?6 |( K
/ A2 S: n9 u, _4 Y% m8 _" g[attach]297690[/attach]6 W" r6 Y, w- X$ M5 c+ A3 F
[attach]297694[/attach]6 \" [1 n% j6 w1 z8 J, ?
[attach]297692[/attach]! q: {0 ^9 w5 w& m  \( R( P# f
请楼主批评。
作者: 哎疯    时间: 2013-9-22 20:37
探索号QM 发表于 2013-9-22 05:38
/ z1 n& j* N7 a; D/ t' `2 l如果只考虑地球自转，那等式建立的概念是重力加速度等于离心加速度。2 ^: r5 x1 F5 {- k8 V
G*M*r^-2=r*ω^2
9 ~, ~. V* h4 q  g0 q其中:

- Q1 p# C- z! i' e, G只要绳子的长度和卫星的高度一样不就行了，也许要考虑空气的摩擦，但是如果绳子够细的话，也可以不用考虑，还是考虑会不会被其他的星球绊倒吧，综上所述，别用绳子了！3 R" o- N  Y  V* r
作者: fmdd    时间: 2013-9-22 20:50
探索号QM 发表于 2013-9-22 10:21 ) A0 f5 C! C5 c6 p$ S, x+ s$ x
绳子与球的共同质心离地心和赤道表面的距离已经可以确定，不必重复，并利用其数值建立以下质心平衡方程： ...

! ~5 Z$ ~1 n* G) q" a( `谢谢“探索号QM”的解答！7 a5 a. n! o8 p
, n  E0 r- T/ y8 O7 U( v: T9 s2 B6 u
由于绳子和地球之间的万有引力与距离的平方成反比，计算其万有引力的时候，不能用质点法("形心")来等效，质心法过于理想化，精确点的解法是沿着绳子长度方向积分来计算总万有引力，两种计算方法差异比较大。% o( ^7 \" _! U+ s; L1 V$ N

4 K3 ?' ]) J( @" T: P. k再次感谢！5 @5 Q+ i2 P3 w( |2 s
& H* @3 q: c# h! l, W* t1 Y
作者: fmdd    时间: 2013-9-22 20:53
逍遥处士 发表于 2013-9-22 19:07 1 H& V' ]1 f: N' b. M) W$ q) b
请楼主批评。
4 Y0 s: a8 W& u
谢谢逍遥兄的解答！' B2 K' M% P$ @& u" g

* s. c+ @! f& m- u3 i5 X* D% V: Q! }函数图象中没能看出纵横坐标所表示的含义，也没能看出图形交点的坐标值; A/ [$ g( {2 o8 r" [: V4 J
作者: 逍遥处士    时间: 2013-9-22 21:56
本帖最后由 逍遥处士 于 2013-9-22 22:18 编辑
1 x+ x( U2 Q5 B' g
fmdd 发表于 2013-9-22 20:50 ' l# t2 `) X$ W5 T; F+ p( W/ l4 I' e
谢谢“探索号QM”的解答！
0 C" D5 \4 N; K! N2 `8 h* h: n" Y6 n7 q8 t
由于绳子和地球之间的万有引力与距离的平方成反比，计算其万有引力的时候， ...

$ K# x. _8 d! a没错。
1 U( t( f" T8 L$ w4 C! f+ j- ^4 f[attach]297700[/attach]+ {" Y7 u* F  X2 f8 v: ^1 R+ ~
当L2远远大于b时，可视为limb=0，将b=0代入最后一式，可得find(L)→L2。也就是说，当两个质量体相隔距离非常远时，远大于物体本身的尺度时，质量体可近似视为质点。
0 d+ ]( L, [  R) e& {
* p0 h, ]: F: o' x4 a所以当绳子-铁球系统到地心的距离远大于其本身尺度时，用前面朋友的简化质心的方法，也是可行的，结果也应该是相当精确的。
作者: 逍遥处士    时间: 2013-9-22 22:05
本帖最后由 逍遥处士 于 2013-9-22 22:12 编辑 : V7 c9 C$ W& U5 q' f/ d$ Z
fmdd 发表于 2013-9-22 20:53 ( e" n2 i+ a* V# k3 m) z% Z# A3 Z
谢谢逍遥兄的解答！
5 i, n4 p( J% ^. Q5 c  o# C( [
3 }( o0 o1 u+ @# z( U% h函数图象中没能看出纵横坐标所表示的含义，也没能看出图形交点的坐标值

% k/ m" n2 K0 E如图，当绳子长度为 1000m 时，若想铁球-绳子处于平衡，则铁球到地心的理论距离在 42160360.0m 与 42160360.1m 之间。1 o5 W4 \6 l+ v+ O, o. o( C

2 n1 Y0 E5 e7 S5 d  i% p[attach]297702[/attach]+ A1 d; g4 R& P, A+ t: h+ x, u2 z

7 K+ U7 A4 W1 o& |1 g& a当绳子长度为 10000m时，铁球距离地心的理论值在 42164860.2m 与 42164860.3m 之间。5 @$ S. \( q2 O. c$ Z  P
- V7 |  c( B% L* c+ v8 w/ Q$ S
[attach]297703[/attach]
) ~8 F% M% V: }3 d* g4 p' m/ R  H# d" n% {8 k2 F8 N
不知与fmdd兄的计算结果是否符合。
作者: fmdd    时间: 2013-9-23 00:06
本帖最后由 fmdd 于 2013-9-23 00:19 编辑 ! c( Y" n$ s7 E: p( I0 p$ F* P
逍遥处士 发表于 2013-9-22 22:05 ' Z) y( ]& Y) o* o8 Z# u3 w
如图，当绳子长度为 1000m 时，若想铁球-绳子处于平衡，则铁球到地心的理论距离在 42160360.0m 与 421603 ...

, K+ u. J) {) l9 p, @* ]多谢逍遥兄和前面参与计算讨论的探索号QM，辛苦大家了！. K8 x/ b4 q- A7 h- p) V7 k9 x; n5 g0 Y
+ w* @$ ~# o# @, o0 s6 ^, B
我的计算如下：+ t, m5 \/ p) p+ g# U  B  N2 e
. \2 ^' V' M2 G9 l5 g6 @6 w

! I; q8 D& v7 `, ~
8 E6 Y) s/ e* F1 v" n
3 W: D! e- @2 c/ x. `6 s
作者: supperslz    时间: 2013-9-23 08:41
理论源于实践！
作者: 逍遥处士    时间: 2013-9-23 08:44
本帖最后由 逍遥处士 于 2013-9-23 09:07 编辑
2 s9 y$ `0 g1 h" w' S* d
fmdd 发表于 2013-9-23 00:06
8 H* b" |+ D8 m& |多谢逍遥兄和前面参与计算讨论的探索号QM，辛苦大家了！5 G1 z# y- E" G3 p5 ]0 E
6 ^& P3 Y) w  p7 G6 y: n+ f
我的计算如下：

/ o, j7 k: X. M8 _地球同步卫星的轨道高度为 35786 km，这个高度是铁球受到的离心力和地球对它的万有引力的平衡点。
% r& c$ [% a0 p; L" m7 |# }& x若绳子长度为 144400 km，且尾端接近地面，那么铁球高度将远远高于同步轨道高度，如果其旋转速度跟地球同步的话，其受到的离心力将远远大于万有引力，这时如果没有绳子牵拉，它将向太空飞去。% U3 O5 _, x. {, [+ z
所以我觉得在绳子的末端还要计入铁球对它的拉力，对铁球也要计算绳子对它的拉力，这样才能两相平衡。
3 }9 j3 {2 I3 E9 R/ ?
) ]3 ?# U; H0 I4 r% M写完上段，又琢磨了一会儿，觉得有点儿意思。铁球质量才1kg，而绳子长度数万公里，怪不得楼主直接将铁球给忽略了。。。
6 P  [) @' o. }8 b0 I9 ^1 E6 f! t  Y
[attach]297721[/attach]* W* _7 d8 ^6 W2 g0 x, \1 q
+ C  M7 f* n% W. w. ^( O5 \
所得结果跟楼主差不多。但这些大数计算，差一个数，就差好几万公里……
作者: M大虎    时间: 2013-10-16 10:13
无地自容
作者: luyupei    时间: 2014-2-25 13:59
逍遥处士 发表于 2013-9-22 19:07 ) a9 ~; X! o8 ^* W, B( ?
请楼主批评。

" B1 k" z% r$ Z7 w弱弱问一下，大侠用的什么工具做的文档？图形是用的什么工具？



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