本帖最后由 动静之机 于 2013-7-27 11:27 编辑
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! C5 n D! h# z, a' X! r原问在此,回复不多:
8 V- \# h$ q/ z( m3 D3 k求传动比
% d: x) f/ R. X6 s1 Xhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3314581 N- O" b) K7 e- g- t7 |- ^
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9 W8 S, _4 N+ R% @) E, Q" z4 T4 Y单开一贴进行回复,原因: 首先,出于自私。呵呵,自己的娃儿,咋看咋好看,到理论探讨板块秀一个。 再者,没收到玉,惹到砖头,砸出点灵感,也不错。 最后,预防健忘。开个独立的帖子,将来好找 (本文末那动态gif图的旧帖就找了好久)。 * |2 Q- p' x1 F) }( a5 u5 b
原问题可以简化(变形)成这样: 4 @$ f/ s4 f. S& y9 F' l9 E7 Z; K
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AB为齿轮1偏心量,长度为r BC为连杆1,长度为b,等于齿轮1分度圆半径R1+齿轮2分度圆半径R2 CO为连杆2,长度为a,等于齿轮2分度圆半径R2+齿轮3分度圆半径R3 OA为输入输出轴间距,长度为s * h! e; d3 E) U8 o
齿轮1偏心转角记为α1 b& W6 o, l% j/ |& O
两个连杆夹角记为β 作辅助线OB,其与水平方向夹角为φ,与CO即连杆2夹角为θ) ~' Z, L0 Y5 \; t$ S( W% ^& r9 d
过C点作水平作辅助线,与BC即连杆1之夹角记为δ
- Q) o5 w$ Z3 D# u" k$ ]$ }5 b S X这个图是随便画的,和原问题不太一致,反而藉此发现了个尺寸链问题: a+b>s+r (偏心轮转角α为零度时,两连杆足够长,不然为无法连续运转) s>r+R1+R3+2m (m为模数,偏心轮转角α为180度时,齿轮1、3不得相撞)
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继续: 设齿轮3的圆心O为坐标原点,齿轮1的圆心B的坐标为(x,y),则: x=s + r Cosα ------- 1 y=r Sinα ------- 2
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! _8 J a0 Q+ E6 o$ [ N7 t7 D6 c齿轮1动作可分解为绕自身圆心的转动(作为输入转速)+自身圆心沿着 偏心作平动(引起了连杆1、2角速度的变化)。 齿轮1绝对角速度为转 角的导数,记为α'
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连杆1的绝对角速度为转角的导数,记为-δ’。为嘛是负的?呵呵。 连杆2的绝对角速度为转角和θ的φ导数之和,记为θ’+φ’
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现在,大家都站到连杆1上面来看: 齿轮1相对连杆1的相对角速度为 α'-(-δ’) =α'+δ’ 则齿轮2相对连杆1的角速度为 -u(α'+δ’)这个u是连杆1上的传动反比(z1/z2) 则齿轮2对地的绝对角速度为 -u(α'+δ’)+(-δ’) ,简记为T 3 H4 f0 A+ [7 D+ q8 s$ t) k8 q
3 Q8 \* e# ]' k: A 然后,大家都站到连杆2上面来看: 齿轮2相对连杆2的相对角速度为 T- (θ’+φ’) 则齿轮3相对连杆2的角速度为 -v[ T- (θ’+φ’)]这个v是连杆2上的传动反比(z2/z3) 则齿轮3对地的绝对角速度为-v[ T- (θ’+φ’)]+θ’+φ’ ' p- m# E2 x8 a3 H1 w( u/ [/ c0 v
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由于原例子中u=33/30,v=30/33。如果马虎一些,可以认为u≈v≈1 于是,齿轮3对地绝对角速度可以简化为 -1[T-(θ’+ φ’)] +θ’+φ’ =-T+2θ’+2φ’ =-[-(α'+ δ’)+ (-δ’)] +2θ’+2φ’ =α'+2δ’+2θ’+2φ’ = α'+2(- β'- φ'- θ')+2θ’+2φ’ = α'-2β’ p0 s' P& {. N/ K6 l* g: g) A5 a0 b
一句话概括:输出轴的转速约等于输入轴的转速减去连杆夹角变化率的两倍。 6 u3 v6 {$ j. s: ~
好吧,如果两级的传动反比u≠v≠1,那精确结果将是:
1 I% k* {% u7 n$ d+ R* o9 N% w( ]4 b7 f-v[-u(α'+δ’)+ (-δ’)- (θ’+φ’)] +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1)δ’ +vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1) (- β'- φ'- θ') +vθ’+vφ’+θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'- (vu+1)φ'- (vu+1)θ'+vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'+ (v-vu) θ’+(v-vu)φ’ = vuα'- (0.5vu+1+0.5v) β'+(v-vu)φ’ 注:θ’= -β'/2 汗! F4 `8 e3 `- s) D& p
2 ]( |6 Z' K4 K0 O不可信? 这就是俺发这个练习贴的原因,是对这个问题的简化: 一个简单的考题考倒一大片! ---- 续IV % W7 |: p3 M$ F/ A+ @
心算即可解决这个简化问题,分四步操作:
9 h3 K$ B: b6 E* ^' ~( ~1. 把摩擦轮1用绳子绑定在连杆上。无视板砖,直接把右部连杆1从水平态 顺时针折120度,直到轮1轮3接触。那么轮2跟着转了120度,因此轮3逆时针转了120度。 2. 绕轮3中心整体逆时针转60度,达到终点的位置。此时由于轮1还被绳子捆牢,因此轮3继续逆时针转60度。 3. 由于轮1 被绑住,被迫先顺时针转了120度逆回60度,因此现在解开轮1 的绳子,必须先将轮1继续逆时针转60度,才能恢复到起始位置的角度。 由于摩擦轮之间的纯滚,轮3继续逆时针前进60度。当然轮1得轻微脱离轮3,不然转不动。 4. 然后轮1继续转动(2r/2πr)360≈ 115度,以模拟滚过来的过程,那么轮3还得逆时针转115度。 因此轮3逆时针转过了120+60+60+115=355度。
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若用前面推导的结论直接计算(因为此例干脆没有偏心的疑虑): 轮3转过的角度等于轮1转过的角度115度减去连杆角度变化量的2倍(前面不是说转速的吗?两种转速同时积分,就变成转角啦),但因为变化率是负的(夹角减小),所以最终又变成加喽。 即轮3转过了115-(- 2x120)=355度
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% G! T" o1 g; \& Q5 \4 p9 O 前面的证明中设了那么多参数,最后都没啥体现,有点那个小遗憾。 这和盖楼差不多,大厦建成后,脚手架就可以拆除了。。 禁止联想:帮忙打下江山了,也就该滚蛋了。。。
1 Q% o' ^4 I0 }附:输出即时转速精确表达式里 Β和φ的导数求解过程:
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' S2 v1 N! F& O2 u3 t, @8 ]5 v大汗淋漓:L:L:L:L:L:L# E4 e, [- M8 E, b) h7 R5 @' I$ J- w
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最高转速和最低转速及其位置? 转速式子继续求导(即角加速度),令结果为零,找到极值点时的α值,代回。。。。。。 . {) ]. ]5 \* q, O% V0 R
位置、速度、加速度图像?综合使用上述系列数据,用N多种软件绘图。
. ]: ^ R6 R# A, z感兴趣的同学继续啊~~~俺就要支持不住了。
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, Y. e. f) D$ z, Z' A这是上回用这个搞笑图的帖子:$ P6 J5 R1 Y6 l& W
这个六杆机构滑块的位移能不能用函数表示出来
4 f4 n. ~+ |' F% xhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=267205# h, W+ G. [. j/ f/ G, x+ t2 x; A& l
* W" ^) G3 G( R% B9 R! W觉得有启发的,给点支持哈~7 e( y+ h8 ` }) d1 \0 L; l% b
: `5 N2 I; n3 C/ Q. P9 y后记: 桂花暗香同学给了Proe模拟视频,转成GIF如下:
; j- N8 g2 d# n, x ~& Z(请注意,动画只是循环播放主动轮第一圈的情况。)) v L6 J) U8 k) N& W
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