圆形的特性推论可以帮你解决系列问题。

zerowing

呵呵，最近说到了基础。也有人发了一个简单的题。于是有了这个念头。其实，有些基础的东西可以一方治百病，只是看你能不能想起来用了。

原帖地址：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1
" c4 `( I' k/ z7 M" m) p

, o7 z6 i- a) Q3 f

这类题其实都可以用一个推论来解决。原自圆形的特征。

圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。
+ W5 G& z9 F5 I

证明：如图

! w: {: _* W+ E/ {- j; Q" w

假定一个圆转动一个足够小的角a，那么其滚过的痕迹为一线段（因为足够小）。

则有：弧AB长等于线段AB长。 根据几何关系，OA垂直于线段AB，OB垂直于线段AB，OA=OB，于是有OO线段长=AB线段长。
7 i' l2 Z/ A- W9 O" M: i" t

因此得到推论结果：圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。
# q, f  C# D7 M  I, F

而这一结果会使得上面提到的一系列题目得到最简单的解决办法。因为你可以不用去管它什么形状，你所需要的只是计算出圆心走过的距离。然后根据这一推论得出结果。

实例1：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1

* u7 H; D( ^* r       解答：

                                                                                       （别管里面的标注）
　　　圆心走过的距离为：（中心圆半径+小圆半径）*2*pi=m*（Z1+Z2)*pi  ——（1）
           则小圆围绕中心圆转一圈走过的弧长为： m*(Z1+Z2)*pi
3 c3 v/ `1 @, y           则小圆转过的圈数为： n=m*(Z1+Z2)*pi/( m*Z2*pi)=(Z1+Z2)/Z2
- H( h- q2 ^0 }5 C# u, \  M5 V           带入数据得到： n=3
6 B4 @! e1 y* c- `( I7 M" [! |/ M7 Y

实例2：

        

6 W0 F  H% O5 ^  D. h$ ]           这样一个图形中，小圆转过的圈数。
           同样。按上面的步骤：圆心走过的距离：6*b
3 ^$ D8 y% K# ?; D( v* X& o           小圆对应的弧长：6*b
           转过的圈数：6*b/(a*pi)
           b怎么得到。有c有a，不要告诉我你算不出b来。哈哈。相似三角形啊。

/ w$ }2 z- V6 n: |) A% p$ w) ~

同理，你可以很方便的计算出例如像实例2种圆在外面滚的结果。还有很多结构复杂，不好判断的图形。
1 L: M1 t( d. \- G

请注意：齿轮转动的本质是分度圆的纯滚动。因此这个方法对于所有行星轮问题同样有效。
" J2 k) L/ V- ]5 X- H" W

说这么多，希望对大家有所启发。

cosxuan

% S4 u9 J) }& ~$ T8 V" t我感觉你一直没有理解我表达的问题，或许是我的表达有问题，这些咱都不去讨论了，也不讨论数学问题，只看图。
- O7 g9 \8 [# }$ b8 I8 ?首先初始时刻如下左边图所示，经一段时间，小圆绕大圆公转了θ角，小圆自转了α角，如下右图（就像你说的，θ不等于α，一开始是我疏忽了，我在此澄清，θ不等于α，自转角不等于公转角），这没有问题吧？
. }; _9 c% F5 [1 |# R2 g$ e那么小圆的自转弧长就是DB段，圆心走过的弧长是O1O2段，按你的意思就是DB段等于O1O2段，自转的弧长等于圆心走过的路径对吧？
因为小圆在大圆上做的是纯滚动，所以弧AB=弧DB，这有没有问题？如果有请你证明出这两段弧长不等。如果没有问题，
, L& ~& O. d7 p! T那么弧AB=弧DB，又弧O1O2=弧DB，所以弧O1O2=弧AB，但是很明显弧O1O2不等于弧AB，所以在例一这种情况下，自转弧长并不等于圆心走过的路径。
这样推理有没有问题？如果你有问题可以指出来哪错了，并给出证明。
1 {) h( B4 ~4 _3 A

cosxuan

" ?7 g9 w* L& Z4 v' ?' @3 T
$ ^. F# Z. V+ S4 |7 n5 n2 u- O圆公转一角度时，小圆滚过的距离是不是AB段？小圆圆心移动的距离是不是CD段？AB=CD?别抓着所谓的定理不放，那都是有条件作为前提的，

圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。

你自己也写了，是沿某一平面，何为平面？小圆是沿平面滚动的吗？你自己都红色的标出这句话了，我估计你现在还没搞清楚平面跟面的定义吧！定理本生没错，错的是你用错地方了，忽略了使用条件。

jy297917

谢谢，受教了。

cosxuan

例一证明有问题，给出以下证明：

   首先按照楼主的结论圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。

那么，da=db。现反证，小圆转过一个非常小的角度dθ（弧度制），那么r1(小圆圆心绕大圆圆心公转半径)×dθ=da, r2（小圆跟大圆的接触点与大圆圆心的距离）×dθ=db，，假设da=db正确，所以r1×dθ=r2×dθ，得出r1=r2，但是r1=r2+r（小圆半径），故假设不正确。

幸会幸会

大侠高见啊，佩服

bigprawn

如果理解了理论力学中瞬心的概念，这个问题就好理解了

降台诗春

往往越是简单的方法越能发人深省，受教了楼主

夕阳书生

受教了楼主

上海工作＿2012

正解

咪嗪

楼主，这个原理是不是在摆线针减速机内常用。。。