我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法

逍遥处士 · 发表于 2013-5-22 21:56:29

我研究数学分析（微积分）以来，有那么一点心得，一直想写出来，帮助初学者，以跨过那些难懂的书籍，以掌握微积分，以产生生产力。

让我们把概念抛弃，先把玩法弄会，把玩法弄熟，最后再学习基本理论。
本方法能从代数式一步过渡到微分式，只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。

先从最简单的一元一次方程式开始。
y = 2x                   （1）
我们将 y 替换成 y+dy ，将 x 替换成 x+dx，于是上式变换成：
(y+dy) = 2(x+dx)    （2）
（2）-（1）得：
dy = 2dx                （3）
上面这个（3）式就是（1）式的微分式。快吧？将dx从右边挪到左边就变成：
dy/dx =  2 = y'          （4）
上面的（4）式就是（1）式的导数式，导数就是这么求来的。

下面再来看一元二次方程：
y=x^2                   （5）
做替换，y→y+dy，x→x+dx，得：
(y+dy) = (x+dx)^2
展开得：
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
（6）-（5）得：
dy = 2x*dx + dx^2    （7）
这里介绍一个关键，微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”，而dx^2属于二阶“无穷小”，二者相加，高阶者略去，所以：
dy = 2x*dx             （8）
dy/dx = 2x = y'       （9）
上面的第（9）式就是（5）式的导数式。

下面看二元一次方程：
z = xy                   （10）
做替换z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
展开得：
z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
（12）-（10）得：
dz = xdy + ydx + dxdy（13）
看上式，又出现了高阶“无穷小”，可以略去，所以：
dz = xdy + ydx       （14）
上式即为（10）式的微分式。

最后再举一个例子，关于流体的连续性有一个式子：
ρvA = C（常数）
书上说先两边取对数，然后再两边微分，得：
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
用我的方法，不用无中生有去微分，一样得出这个式子，先做替换得：
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
展开得：
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
减去第一个式子，再略去二阶及三阶无穷小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
两边同除以ρvA，就跟上面一样了。

总结一下，第一步替换，第二步相减，第三步“略去高阶无穷小”，成功！
任何方程式都可以这么干，不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。

张鸿铭 · 发表于 2014-6-1 19:52:14

死读书害死人,其实数学关键是应用,不是解题.

槟城6号 · 发表于 2014-5-27 14:51:44

好！！！还有吗？

小云来了 · 发表于 2014-5-27 13:08:51

挺好的推导。。。对刚学个同学应该会有帮助

stoplonely · 发表于 2014-5-27 08:19:58

好帖留名

星诚一 · 发表于 2014-5-27 00:04:41

很有意思啊

陆qq1 · 发表于 2014-5-15 08:06:20

阴阳学又是怎么解释的？

？？？！！！ · 发表于 2014-5-5 22:27:23

楼主好像更接近于高中的求某点处的极限与连续吧？将X看作常量，然后用增量减去原函数，求解.很久以前就有这种方法。不新鲜。并且楼主混淆了可微与可导的概念。
一元函数是同一概念，多元函数则可导必定可微，可微不一定可导。
偏导数是沿坐标轴方向趋进某一点，对一元导数，由于点在x轴上移动，所以只有左右接近一种方法。但多元函数则不同，如y=f(x,y),接近一点(x0,y0)有无穷多个途径。但偏导数只考虑沿横轴或纵轴两种方式接近(x0,y0),这不能保证沿其他方式接近导数也不变。
数学结论皆由最初公理递推出，机械行业亦然，基础很重要。速成易误人子弟

fuhuafeng72 · 发表于 2014-4-28 14:05:32

谢谢楼主分享

qzeng52 · 发表于 2014-4-27 18:46:02

如果涉及到偏微分呢

千门万户 · 发表于 2014-4-26 00:17:10

不知道理论上有没有问题

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