本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑
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这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。
2 [+ S3 l# A' v好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。
1 U6 A G7 [. m- q生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。# Z, P. M1 O' P3 P
3 T$ _ ~9 W( w首先，简单说下杠杆原理。如图。) L7 k) r! S+ P H6 u
: l3 Q1 `" T8 h9 G2 Q3 u# ?; h- F
杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。
$ q/ _+ r( y7 A# a S: g9 @0 U# n2 S那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。8 Z! ^8 Q' n3 z4 L2 w7 t
* `* {( n; z8 i9 Y, T% S3 _! b我们来说正题，杆秤。& G& }6 v1 ?1 y# @2 X* [
e- Q: E' m5 l! D
分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。: o' d; E+ b* s
1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。
; r( V3 H# w5 u) N6 w% H/ a
; x# g2 `8 ^6 t" `, d% Y* z
9 i% D, V/ T. C- \8 j
由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
% |) C7 z) W: Q5 n) ? 推论：G1*l1=G2*l2……(4); ; k% \! o4 t& P! W; k I8 ]
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。0 p3 A0 R# g' z
! O; R; `8 C# K1 m7 w
分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6);
, u( A0 K% O. S' U6 G+ ] M左=M右 ……(3)+ w; h1 ]& y# w9 W
推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7);
' w9 j# ]3 t: V- F9 o+ N+ h" E, t 联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2
9 L7 _$ Y2 Y/ L4 F$ j6 Y 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。7 w9 P/ v0 A$ E- ^7 r `) c6 {4 `3 e
如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。 n' S/ w3 m% C1 e
% R( E3 Q$ P' U" i$ O
2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
/ z5 b4 B6 z ]0 b' l* M( @同样，按照之前的方法分析。
1 o1 K1 y2 w2 k3 L0 e8 ]水平态：
# j' r/ [( i' F 2 m; I$ ~: C" S) O- v& u
M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3)
* `; |$ L6 J9 ` i U: i" f% Y4 e9 Z 推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10); * l3 ?! s% ^- h2 p& H
因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
! N/ K9 [; }; }7 t9 ` f% G6 ]" p( o
% S8 ]; W% s- {$ n5 Z6 z) B对于非水平态：
$ ]1 e3 {1 H2 I6 I * g8 S& `: P. d* c% l
M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12);
, u. B* ?& S. M$ n c M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3) . k/ |$ s, z) d2 Z" @' w2 K
联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G27 Y4 t8 Q6 F0 L0 H v+ p
结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2 o& `$ T5 ^8 w F/ [
即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！
# w2 q8 o% p1 Z$ k8 e
0 \! ^* K. `3 ]7 Y/ Q以上，希望大家喜欢。
% Z! u2 u( V& d6 g& P0 b( M7 ?2 E' g8 t4 c% Y' H4 t( ^
PS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
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