关于极限和连续的两个数学问题

鬼魅道长

今天一哥们聊天时说起，很有趣，大家也来试试：

1.青蛙跳井：
* g5 F& |+ G+ f9 B+ Y   一个青蛙在井底，想要跳出去，假设永远不会向下滑，它每次跳高的距离都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒钟，那么青蛙能不能跳出井？

  A* \/ {; u' N2.阿基琉斯追不上乌龟：
- O" j' W4 ?: ^1 `  芝诺说，如果阿基琉斯落在乌龟后面，同时起动，那么会出现这样的情况：假设初始时，阿基琉斯在A点，乌龟在B1点，经过了t1的时间，阿基琉斯到达了B1，但同样的，乌龟用t1的时间到达了B2，而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时，乌龟又用t2的时间到达了B3，而阿基琉斯到达B3时，乌龟又到了B4，如此往复，那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。

' z& D  b% k& |9 u- s4 j  S
对第一个问题，所有的人都说“永远跳不出去”，而对第二个问题，则说“肯定追得上，因为事实就是这样”。

于是那哥们问，为什么两个类似的问题，答案不一样？数学依据是什么？

, C$ \3 ]: N$ s最后大家还是用数学模型把这个事了了，不过过程实在很有趣，社友们也来试试吧。

伯爵的等6

关于第一个问题，我有个想法。假如兔子第一下就跳的距离就大于井高，就没有以后了吗？

Pascal

无意中发现这个帖子。
谈谈第二个问题。

1 |8 J9 l" o# t芝诺在关键词“追”上偷换了概念。
所谓追不上应该是指任意时刻t，阿基里斯都在龟的后面；而芝诺却偷换为在无穷多时刻t，阿基里斯在龟的后面。这正是问题的症结。

猫王001

第一个问题是个截杖问题，在高数上好像有这个例子

hisun_cth

# X1 h2 I; a0 P8 {& [9 H. a1 ~回复 metalstorm 的帖子

5 Z: J0 v( g4 c2 x5 g  [( w你那个等比数列的和等于2，只要第一跳大于等于井深的一半，就能跳出！比如：井深4米！第一跳3米，第二跳1.5米！出来了！
+ K3 e/ ]9 I& }9 u3 Y  a& D

oscar30000

回复 长驱鬼魅 的帖子

2000年高考的时候我就是写的这个故事，居然得了50分（总分60），哈哈哈。

; n" C0 B  {6 e9 ~: p您所说的第一个问题是数学的局限之一，第二个问题，交代的不详细，如果间距无穷大呢，那肯定追不上，间距为有穷时，那追上肯定不是问题（物理的角度），这也是数学的局限之一。
( d3 G4 k  [( [" j; L3 x! R
事实上，没有人能够制定一个完美无缺的规律，如果我们在规律中找完美，那就是自找烦恼。
# X( P( w# j& K3 t# L# h4 w

oscar30000

回复 无能 的帖子
4 U- y7 i9 c- \
数学本来就是人类总结出来的规律而已，既然是规律那必然有局限性，就不能解决一切的问题。
0 W' d* B/ a% g& e
# M' n  H, u7 Q/ R: o2 \- ]& `6 o

鬼魅道长

春播 发表于 2011-4-22 09:25
那我在来补充一个问题：
“一尺之棰，日取其半，万世不绝”？

$ R+ z7 X6 F6 p8 S9 G, T; X8 N$ L这是必然的，因为日取其半的原因，如果一直不停地取，取完的时间就是速度问题了。
! {) N4 F& U6 e

春播

那我在来补充一个问题：
“一尺之棰，日取其半，万世不绝”？

鬼魅道长

长驱鬼魅 发表于 2011-4-21 09:52
这两个问题，必须计算“重心”，即没有实体的点，不然，就会出现楼上说的，前腿出井，后腿留在井里的事情。 ...

刚才打了一大段字，想不到网络出问题，一下变成未登录状态，辛苦白费了……555
4 b! }$ M" O5 \& H; m, D
  Y  V7 p: Q6 n* h! M3 H# p其实距离数列已经说明白了，是完全一样的，之所以答案不同，是因为缩短距离而花费的时间的关系。
* E  }! k: t% k7 I3 c7 S
! J! Y2 U' U7 |' R: S1.青蛙第一次跳，花费时间1/2s，由于中途会停歇1s，所以第二次花费1+1/4s，第n次则为1+1/2^n s，那么花费的时间数列为：
; o0 L. y% g1 n
1/2、1+1/4、……、1+1/2^n，n无穷大，则消耗时间的总数也是无穷大，青蛙永远也跳不出去。
3 x; [- M0 W% u  q' B. A! [, q0 b
3 D6 N0 d3 }' D$ q' `2.第一次缩短距离，花费时间1/2s，第二次花费时间1/4s，第n次花费时间1/2^n s，那么花费的时间数列为：
) ]5 Q2 m( O9 V/ n0 l
1/2、1/4、……、1/2^n，n无穷大，则消耗时间的总数是1s，根据前述假设，在速度为1s/m，相差距离为1m的情况下，在1s的花费时间终结之时，阿基琉斯与乌龟就站在同一位置了，而下一个t时间，无论有多么小，由于速度上的优势，他必然会超过乌龟。

' J' P& t! w! U3 W对比一下，就发现两个数列的差距就在“每次停歇1s”这个地方，换句话说，如果阿基琉斯每次都要休息，那么他也永远追不上乌龟。
) c" _. x$ Q, u7 b' [
1 T* \! p6 n' R
- A1 h; Y$ z+ V( R- G7 C; M+ a之所以想起来把这个问题发上来，就是想说一下昨天讨论的结果，那就是，追赶别人是不能停的，如果天朝每次追赶米国都要停歇，那么，即使发展速度比人家快一倍，也将永远追不上。