关于极限和连续的两个数学问题

鬼魅道长

今天一哥们聊天时说起，很有趣，大家也来试试：

1.青蛙跳井：
   一个青蛙在井底，想要跳出去，假设永远不会向下滑，它每次跳高的距离都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒钟，那么青蛙能不能跳出井？
. I9 Z4 [; H2 }- b; ?, \
# C0 P8 L7 \( v1 P, \2.阿基琉斯追不上乌龟：
  芝诺说，如果阿基琉斯落在乌龟后面，同时起动，那么会出现这样的情况：假设初始时，阿基琉斯在A点，乌龟在B1点，经过了t1的时间，阿基琉斯到达了B1，但同样的，乌龟用t1的时间到达了B2，而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时，乌龟又用t2的时间到达了B3，而阿基琉斯到达B3时，乌龟又到了B4，如此往复，那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。


; ?# x/ A6 x* ?5 n7 v2 M对第一个问题，所有的人都说“永远跳不出去”，而对第二个问题，则说“肯定追得上，因为事实就是这样”。

于是那哥们问，为什么两个类似的问题，答案不一样？数学依据是什么？

最后大家还是用数学模型把这个事了了，不过过程实在很有趣，社友们也来试试吧。

伯爵的等6

关于第一个问题，我有个想法。假如兔子第一下就跳的距离就大于井高，就没有以后了吗？

Pascal

无意中发现这个帖子。
谈谈第二个问题。

+ n/ {; g( A' d3 i7 g1 g2 d芝诺在关键词“追”上偷换了概念。
% x3 d$ w, L; D所谓追不上应该是指任意时刻t，阿基里斯都在龟的后面；而芝诺却偷换为在无穷多时刻t，阿基里斯在龟的后面。这正是问题的症结。

猫王001

第一个问题是个截杖问题，在高数上好像有这个例子

hisun_cth

  S5 U' o) }% z. s3 M
: Q) V; C* c. ]回复 metalstorm 的帖子

你那个等比数列的和等于2，只要第一跳大于等于井深的一半，就能跳出！比如：井深4米！第一跳3米，第二跳1.5米！出来了！
2 H4 U! g8 {3 g$ ~2 j4 x7 Z4 p

oscar30000

回复 长驱鬼魅 的帖子

4 f" q' i  G2 H- J2000年高考的时候我就是写的这个故事，居然得了50分（总分60），哈哈哈。
; v6 W. d1 c, N( y  J$ J7 X2 A) `
5 S* D! h* u1 f# L* M您所说的第一个问题是数学的局限之一，第二个问题，交代的不详细，如果间距无穷大呢，那肯定追不上，间距为有穷时，那追上肯定不是问题（物理的角度），这也是数学的局限之一。

事实上，没有人能够制定一个完美无缺的规律，如果我们在规律中找完美，那就是自找烦恼。

oscar30000

回复 无能 的帖子
! r$ b9 D: `; b; t
数学本来就是人类总结出来的规律而已，既然是规律那必然有局限性，就不能解决一切的问题。
7 z; ]4 Y' X8 {4 ^
  w1 [) d' l% M

鬼魅道长

春播 发表于 2011-4-22 09:25
  [+ }+ P) X3 C  q那我在来补充一个问题：
5 `) R5 o' f$ j6 X" @8 P  W“一尺之棰，日取其半，万世不绝”？

( E: [  f9 K4 F, `* k这是必然的，因为日取其半的原因，如果一直不停地取，取完的时间就是速度问题了。

春播

那我在来补充一个问题：
; O3 G( q/ R& K- t“一尺之棰，日取其半，万世不绝”？

鬼魅道长

长驱鬼魅 发表于 2011-4-21 09:52
/ Q; a: r/ C& T+ X这两个问题，必须计算“重心”，即没有实体的点，不然，就会出现楼上说的，前腿出井，后腿留在井里的事情。 ...

2 R( @0 h: K6 M- N刚才打了一大段字，想不到网络出问题，一下变成未登录状态，辛苦白费了……555
5 v) d4 \. v' k
0 `+ k' I  W$ t. B6 `/ g( }# q其实距离数列已经说明白了，是完全一样的，之所以答案不同，是因为缩短距离而花费的时间的关系。

1.青蛙第一次跳，花费时间1/2s，由于中途会停歇1s，所以第二次花费1+1/4s，第n次则为1+1/2^n s，那么花费的时间数列为：
  ~" C, T) M% M" x3 D  Z
1/2、1+1/4、……、1+1/2^n，n无穷大，则消耗时间的总数也是无穷大，青蛙永远也跳不出去。

2.第一次缩短距离，花费时间1/2s，第二次花费时间1/4s，第n次花费时间1/2^n s，那么花费的时间数列为：
) x: C- F- c9 n, q; d
4 G$ }0 G7 R% K1 W# \1/2、1/4、……、1/2^n，n无穷大，则消耗时间的总数是1s，根据前述假设，在速度为1s/m，相差距离为1m的情况下，在1s的花费时间终结之时，阿基琉斯与乌龟就站在同一位置了，而下一个t时间，无论有多么小，由于速度上的优势，他必然会超过乌龟。
; `- G6 v, F2 D0 \$ d  N7 t
对比一下，就发现两个数列的差距就在“每次停歇1s”这个地方，换句话说，如果阿基琉斯每次都要休息，那么他也永远追不上乌龟。

3 K+ S# Z0 b5 \- L& W5 T7 I
' P) O) Y" [. P3 e' H2 Z9 d之所以想起来把这个问题发上来，就是想说一下昨天讨论的结果，那就是，追赶别人是不能停的，如果天朝每次追赶米国都要停歇，那么，即使发展速度比人家快一倍，也将永远追不上。