解一个阀门的数学模型

明月山河

, j' R; f0 v/ \8 D# V9 O
设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。

如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：

; S3 y2 [8 h; N. |# b其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
- A' R8 f/ {; Xr1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
8 ]' |3 V# U4 J" D# }想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
1 J" ^, D, _! e% S6 p  b那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；

( e% u, F8 j+ S. K
2 j) m2 ^) a, k0 v( M! x

- S- P/ @8 y1 u6 R' R补充内容 (2015-5-24 21:26):
8 O+ M! W2 g9 ?  qSi中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

0 ]0 \" s) K) \

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的
+ U! ~  _4 ^3 t. b4 R6 f

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
9 y4 k& R9 k4 |# Y0 f/ O>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

f =
* D% X9 V; N( f: ?" b9 i# i& w+ M
5 @4 @2 @4 {+ F+ N9 R* }(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
9 l+ H8 x  g6 u$ X, e >> finverse(f,r6)
0 ^/ J' C/ u" V
3 g  A1 i! ]% E" n) H3 ^ans =

(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a
: q( A, d  R/ S) D+ S+ r
>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
9 a! [+ Y& @- Zb + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
/ x) S5 \4 T: N8 D( `! J8 _9 n* u>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

1 G1 ]& G% T/ x& H6 Y) s>> syms a b c x
& L$ C1 k" [( O# N7 ]: z  Z>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
# T8 A, L) P/ O; Y
f =

( a1 T9 F: Y$ c/ A4 O8 xa*x^2 + b*x + c

>> finverse(f,x)

ans =

-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

8 m8 U0 [5 k5 k, E/ q* O我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
            
$ [6 E' Z; j0 t& \8 e# |               2
  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
- ----------------------------
               2 a
$ ^+ |/ D2 k6 z7 C$ v( O* B  u$ X1 A

8 a4 x4 C3 U) Z/ P* U, f这个也含有X  估计  可以删除
( u+ m9 u7 l& ~4 V% t  q8 y7 m& t
# U; U5 N5 J0 Q8 j: U6 J5 V- O% z
: l. R+ W" F2 y( G( m
4 h" O3 n( t/ j# Y) l" J9 N/ ]