圆形的特性推论可以帮你解决系列问题。

zerowing

呵呵，最近说到了基础。也有人发了一个简单的题。于是有了这个念头。其实，有些基础的东西可以一方治百病，只是看你能不能想起来用了。
" b5 A( J. A1 \# ?) {

原帖地址：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1
8 h! Q( f$ x. Q; P% u: Q

. n! ~$ `9 J1 i* O7 y

这类题其实都可以用一个推论来解决。原自圆形的特征。

圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。

证明：如图
3 B! F$ [! t5 y% I. O8 @

1 H$ _& r- P4 i7 I/ T5 {: C: b5 Z4 g

假定一个圆转动一个足够小的角a，那么其滚过的痕迹为一线段（因为足够小）。

则有：弧AB长等于线段AB长。 根据几何关系，OA垂直于线段AB，OB垂直于线段AB，OA=OB，于是有OO线段长=AB线段长。
; v& j+ M' W3 t( X

因此得到推论结果：圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。
1 p* A. Q6 E4 c/ M  Q6 i- ^

而这一结果会使得上面提到的一系列题目得到最简单的解决办法。因为你可以不用去管它什么形状，你所需要的只是计算出圆心走过的距离。然后根据这一推论得出结果。

实例1：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1

       解答：

                                                                                       （别管里面的标注）
3 h! i  o, @: l　　　圆心走过的距离为：（中心圆半径+小圆半径）*2*pi=m*（Z1+Z2)*pi  ——（1）
           则小圆围绕中心圆转一圈走过的弧长为： m*(Z1+Z2)*pi
/ H4 Q; B% m1 A4 H2 H' b           则小圆转过的圈数为： n=m*(Z1+Z2)*pi/( m*Z2*pi)=(Z1+Z2)/Z2
& C2 R$ G+ }5 w+ }0 B; n  Z           带入数据得到： n=3
; Q& Y. m0 m$ q7 V
% G( B! D% _+ K1 q" r, \

实例2：

        

           这样一个图形中，小圆转过的圈数。
. X0 B! l4 m3 \1 k           同样。按上面的步骤：圆心走过的距离：6*b
6 c8 Y7 \- R; h) }8 H           小圆对应的弧长：6*b
           转过的圈数：6*b/(a*pi)
           b怎么得到。有c有a，不要告诉我你算不出b来。哈哈。相似三角形啊。

同理，你可以很方便的计算出例如像实例2种圆在外面滚的结果。还有很多结构复杂，不好判断的图形。
: E5 X; J; L5 U& H$ U) b

请注意：齿轮转动的本质是分度圆的纯滚动。因此这个方法对于所有行星轮问题同样有效。

9 z( o  s: L, J1 K9 M( _

说这么多，希望对大家有所启发。

cosxuan

4 a& D! D, Q5 @: [' C我感觉你一直没有理解我表达的问题，或许是我的表达有问题，这些咱都不去讨论了，也不讨论数学问题，只看图。
首先初始时刻如下左边图所示，经一段时间，小圆绕大圆公转了θ角，小圆自转了α角，如下右图（就像你说的，θ不等于α，一开始是我疏忽了，我在此澄清，θ不等于α，自转角不等于公转角），这没有问题吧？
$ Y, P4 M" B6 c- ?  w/ A那么小圆的自转弧长就是DB段，圆心走过的弧长是O1O2段，按你的意思就是DB段等于O1O2段，自转的弧长等于圆心走过的路径对吧？
( C5 |- }8 |" B! w2 e: e" \因为小圆在大圆上做的是纯滚动，所以弧AB=弧DB，这有没有问题？如果有请你证明出这两段弧长不等。如果没有问题，
那么弧AB=弧DB，又弧O1O2=弧DB，所以弧O1O2=弧AB，但是很明显弧O1O2不等于弧AB，所以在例一这种情况下，自转弧长并不等于圆心走过的路径。
4 D7 W' v$ j) Z$ g. P3 E这样推理有没有问题？如果你有问题可以指出来哪错了，并给出证明。

) j* B6 ~, z- K! \4 a; ?/ s

cosxuan

圆公转一角度时，小圆滚过的距离是不是AB段？小圆圆心移动的距离是不是CD段？AB=CD?别抓着所谓的定理不放，那都是有条件作为前提的，

圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。

2 L; T7 C3 I- z7 X你自己也写了，是沿某一平面，何为平面？小圆是沿平面滚动的吗？你自己都红色的标出这句话了，我估计你现在还没搞清楚平面跟面的定义吧！定理本生没错，错的是你用错地方了，忽略了使用条件。

jy297917

谢谢，受教了。

cosxuan

例一证明有问题，给出以下证明：

   首先按照楼主的结论圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。

那么，da=db。现反证，小圆转过一个非常小的角度dθ（弧度制），那么r1(小圆圆心绕大圆圆心公转半径)×dθ=da, r2（小圆跟大圆的接触点与大圆圆心的距离）×dθ=db，，假设da=db正确，所以r1×dθ=r2×dθ，得出r1=r2，但是r1=r2+r（小圆半径），故假设不正确。

+ o+ w& Z6 W0 d+ L4 b1 C& n$ `

幸会幸会

大侠高见啊，佩服

bigprawn

如果理解了理论力学中瞬心的概念，这个问题就好理解了

降台诗春

往往越是简单的方法越能发人深省，受教了楼主

夕阳书生

受教了楼主

上海工作＿2012

正解

咪嗪

楼主，这个原理是不是在摆线针减速机内常用。。。