我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法

逍遥处士

我研究数学分析（微积分）以来，有那么一点心得，一直想写出来，帮助初学者，以跨过那些难懂的书籍，以掌握微积分，以产生生产力。
( F. H8 _4 S2 k, p  r8 a* E
: f% e. O9 ]9 S: C让我们把概念抛弃，先把玩法弄会，把玩法弄熟，最后再学习基本理论。
本方法能从代数式一步过渡到微分式，只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。

先从最简单的一元一次方程式开始。
) g3 n4 j: B* Q* m0 ?y = 2x                      （1）
- e( x; C1 S% b. ]) W0 ?我们将 y 替换成 y+dy ， 将 x 替换成 x+dx，于是上式变换成：
  N7 {& j$ v3 }7 Q3 A(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
（2）-（1）得：
% q& ]0 `$ ^2 y  P* N# Fdy = 2dx                  （3）
上面这个（3）式就是（1）式的微分式。快吧？将dx从右边挪到左边就变成：
9 P7 h$ ]! z$ g+ Udy/dx =  2 = y'           （4）
上面的（4）式就是（1）式的导数式，导数就是这么求来的。

1 h/ x. i+ z3 y  V% K0 A8 T1 j+ R下面再来看一元二次方程：
- ^% v0 u! o9 Q2 k. W/ U6 Qy=x^2                      （5）
做替换，y→y+dy，x→x+dx，得：
! {* D/ }5 S4 }(y+dy) = (x+dx)^2     
展开得：
; w& D- i: ?; s& T7 w(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
* u, B. v, {: n, j（6）-（5）得：
) f0 c0 y- [) cdy = 2x*dx + dx^2     （7）
这里介绍一个关键，微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”，而dx^2属于二阶“无穷小”，二者相加，高阶者略去，所以：
dy = 2x*dx                （8）
+ ~1 z# P6 ^$ _; a0 Edy/dx = 2x = y'          （9）
上面的第（9）式就是（5）式的导数式。
0 F& [  v+ f" [" h
* c2 X- _, I% n9 g5 O& A; I下面看二元一次方程：
; t; }" p3 c  j$ E4 h& H1 v4 \% `# @z = xy                      （10）
做替换z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
! d. Y  K2 ^! K- a( t$ s(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
& z% |4 C0 J( R' k% x5 \( V展开得：
1 d8 a5 E. |9 v- g' Rz+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
（12）-（10）得：
dz = xdy + ydx + dxdy（13）
看上式，又出现了高阶“无穷小”，可以略去，所以：
dz = xdy + ydx          （14）
上式即为（10）式的微分式。
/ A' J  L8 i5 m* q9 j& V
9 {1 g# A: o) ?! Y& }, j最后再举一个例子，关于流体的连续性有一个式子：
ρvA = C（常数）
. l; }+ y6 a4 s书上说先两边取对数，然后再两边微分，得：
- Y) d/ p! v' e1 E8 X' `& d$ w) J) ^dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
- M; h% P6 X: v- \3 [+ c' d+ U! t用我的方法，不用无中生有去微分，一样得出这个式子，先做替换得：
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
# E' `( e0 @/ P% \+ u展开得：
- w- v! @# `# J$ eρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
+ _! P& Z* K& _9 A  y/ Z3 {7 w$ {; o减去第一个式子，再略去二阶及三阶无穷小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
两边同除以ρvA，就跟上面一样了。

总结一下，第一步替换，第二步相减，第三步“略去高阶无穷小”，成功！
任何方程式都可以这么干，不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。
- p1 s% ]" k( a$ k5 O

风随意

初中毕业表示很难看懂~

逍遥处士

题目又被改了……声明一下，冒号前面的字是管理员加的。
鄙人可不敢说研究数学，会让教授们笑话的。
0 O! o6 \3 }9 B4 n- T. s* g5 Y再次声明，冒号前面的字是管理员加的。

水水5

最近感觉到处都要用到数学呢
往高一点研究都是要用数学的   也在看微积分 复习一下

mfka

很有意思！
谢谢把你研究结果与大家共享！
我提点我的看法，请不要介意！
, ]- Y+ |3 g* T: U$ A* Z/ p你用的是数学研究的枚举法，如果要普通适用就要证明的方法过程，你所谓的无穷小项不一定是真正的无穷小。

zhulongxin1986

不去教数学真是浪费啊。

逍遥处士

mfka 发表于 2013-5-22 22:59
' n  z( m+ u. T% Q5 F0 k0 s" q很有意思！
谢谢把你研究结果与大家共享！
& p6 Q1 r5 d% a4 T我提点我的看法，请不要介意！

鄙人这是综合了标准分析、非标准分析以及我国阴阳学说才研究出的结果。
$ r+ Q, w( O0 V4 W# d完全符合洋人的标准，所以不存在你说的那些问题。

补充内容 (2013-5-25 22:28):
这个真不是吹牛，其实我原本的想法，并不是这样。我原本的想法写出来，如果用阴阳学说来看，是很容易理解的，但现代人怎能接受？我只能写成这样，但这样更难理解。但是——无论你怎么说，这种方法的结果却是对的。
7 ?7 o( w+ n% f6 t8 D
/ F/ _+ a) }, y- d补充内容 (2013-5-25 22:30):
' K! h% C0 D) g我们不妨想一想，这种简单直接的方法，无论在什么情况下，它的结果都是对的，但它的解释学起来却无比艰难——大家想一想，问题出在哪里？就是出在对这种方法的解释上面！

补充内容 (2013-5-25 22:33):
/ y1 I7 x" s* N: ~- e$ {所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

补充内容 (2013-5-25 22:34):
所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

请叫我小凯

满新颖的

大本Ben

嘻嘻。以后遇到这些就简单多了。

wwfs

这其实就是导数公式的推导过程，用极限的方法，数学分析教材至少我学的版本就是这么处理的，这么看来不清楚极限的可以用楼主的方法，知道的可能就觉得在绕圈子了，小小评论楼主莫在意啊