请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题

easylife

如下面的俯视图，
. v0 ~& d8 q* G$ x- H( I
8 M% h- T! W' M平台为一刚性水平台，由弹性支撑件P1,P2,P3,P4支撑。工作台重心为图中W点。总质量为W.
几何尺寸如图中所示.
请问怎样计算各个支撑件P1,P2,P3,P4的受力大小？
; W/ m9 R" l# m8 q
5 }2 O# p# X) o

李赣

1、受力
2、力矩
( @- L2 V) [* y1 k. f+ W$ Q& q6 x平衡

easylife

1、受力
; T, |2 v, G* D7 s' f8 @2、力矩
平衡
lit_hiker 发表于 2009-9-28 15:51

$ N c) Q) G! d3 R
% u: U+ w% F; [2 b不知道怎么建立力矩平衡方程，能详细讲下么？
谢谢

小白菜

可以先把同一侧的两点当成一点，算出来后再把合成一点的两点的力再算一次，高中的同向平行力。

李赣

把旋转轴设定在两个支点上，这两点的力的力臂为零。

草原蒙狼

楼主需要补补课 上述用平面汇交力系可解 授人与鱼不如授人与渔

请看下面 力学教材

; X$ d$ x. o9 N" v2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：
1 D0 b1 y' z7 ^# [. k
% `3 m- y7 {! [
9 V& k9 Q# o6 [- ~
2.1.1 力的分解

按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
6 ]+ g8 Z. T+ ~
) z- X+ M1 G: d但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
" `' A9 d# `! n3 p
2.1.2 力在坐标轴上的投影
( M7 J0 z6 G3 F



2 U6 o7 \" X1 T1 F1 N! G7 u2 y: [注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。

; D" D" Z. [) I2 D

5 D' ?9 l2 h2 P2.1.3合力投影定理

4 D& M$ C) g& w3 D! z/ R

9 S9 g: e0 J! h, I
. Z: P; F" C* D- N# B: T! ^
$ o, {# L0 u/ V8 w; m+ B. P+ I



合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
* M# O. s! s8 G9 f3 J% ]
$ X* l6 k/ P6 W" \2.1.4 平面汇交力系的平衡条件

平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即



即
2 F. f. _# a6 h9 N' z
1 ]; ^1 D5 Z ]' C5 ~
1 r! I) F( P7 c9 {! C0 C8 v

( v2 U- U! ]4 U+ X- I4 P& C力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

( V" o3 @ X, e8 f( e) o" `4 ~: N例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）

, Q, l5 J4 t2 X7 e7 e7 X$ Q& t/ t
# C5 S# Q1 h. [3 W0 H
例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。



解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
$ x: h3 ]; A+ ]# Q


$ Z9 b; k* r; [% N( ?4 X) G解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
# W3 ~3 v' I8 _3 O; I5 K
1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；

- ]# D: q: S* X8 s- K: `9 W2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
/ o0 |& V$ O1 p- D5 b& c; F# X: m
5 J: L# u- k0 V; }- r3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。

" H6 c" {! Y; D# I* ~: e9 C在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。

* X5 `. V: H5 M E2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)
4 j7 ~' I6 B$ ]' C, \" E
1.力对点之矩的概念
8 c. o8 ~- @6 k3 y
; H% @! w. H P u为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。



- L3 C0 y$ m: w' W K/ Y0 _4 f力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
4 j I7 a/ S' O$ x' d
1 i" L' `# m" N+ r3 @9 U一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
3 @1 v; [+ s) @2 j2 ]" f: J! |# B

& I5 {. z& \# N; N
Mo( F ) = ± 2△OAB
& k) c. a/ l2 S3 P& y' G' `% q5 w
$ v* j+ b, G* e& Z; N, n力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。

矩心不同，力矩不同。
+ d5 Y' `' U% x% f" U; P
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。

: y/ ?/ e( n9 m7 T力矩的单位是Nmm。
* K ]' f" d$ z$ e
由力矩的定义可知：

8 s8 A* v0 E5 q（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

: J5 R: x: b1 f' F! M. \* d（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
, N1 D, y3 @4 l: u5 ]8 e% ^. O k
) j0 R" j# ^+ ^8 }" Y: r7 U力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
9 B" K; u3 `8 N E6 `! B3 J
K6 ~: ]' c2 j( ^/ |- w9 u$ ^2 L2.合力矩定理

4 [- W/ p4 V) @$ }+ Z: H3 T9 N设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
" ]& q4 w; G T8 i
$ y) B6 z. O! `9 j- F/ I5 Z+ s
+ T( y4 D9 T9 a5 \
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则

Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
. \- ?4 \+ k, o0 ~3 z% r
Mo(F2)=F2yl

9 i; H5 K. S9 V* ZMo(Fn)=Fnyl

由上图可以看出，合力F对O点的矩为
1 s y* B" f- ~
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl

据合力投影定理，有

9 x" m7 X$ s8 ^% V, j% aFy=F1y+F2y+---+Fny

F4 t/ w: ^4 d. A7 ]3 pFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
" b- o0 O: m) y' O6 g2 s$ u8 O
, \9 A; a- L/ b' _; D9 O即
$ K3 d3 { f6 v+ l( l
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
0 [3 {( _" G5 S; c" }: R
9 A9 b; |2 a" S! O+ w& v$ ^! i

0 a' P. F; \8 G0 N; W( z合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
4 t4 Z1 p* b- }+ L
3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
2 t, T# o2 E0 y% ?. B" w4 c
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
2 u6 E, {. z0 L A0 n& l% l
注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
# S: v4 ]! I0 Z; S& t4 ~; l9 R
2 J0 s8 j! o0 B. n# Q6 }: O; R（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
& x% p) k" J; a8 G. `% u4 z. t
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。


! \' q9 Z5 R" _: }
解 （1）利用力矩的定义进行求解
2 a0 N3 s0 `) P: W8 K! E2 W
8 I/ O' M( Z0 p4 G. f

% V. b1 u N3 S/ E( D- @. s3 R如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
) K& V( i5 E7 A* \
+ ]. B7 S* d8 s/ j7 c
/ l, H w; D) a8 o
3 t, T! i0 ?5 D. D. Y9 I（2）利用合力矩定理求解
' ], d2 d4 @1 u6 S6 C" L
将力F分解成一对正交的分力
8 i& s5 n9 w# I0 q. T5 e" S3 i


力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
3 s+ A# ?! h5 P2 |& `
' P3 N+ b. Z' r, cMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
4 `" X9 v! R& ~8 n e W0 l
+ {' c5 P, k" S1 T6 R$ a2.2.2力偶及其性质
9 @. W/ j2 { ] C# _4 A, }+ C- t
* x T8 U) Y! j6 [* O1.力偶的定义
$ t7 t3 {6 t/ J7 l. D: S" ]$ `
在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
# p) \# ^5 R W5 o" m

! P2 B0 e2 ?9 [; P9 G/ H
力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
4 Q0 w% _0 t* t8 h) [3 ?
/ H2 M1 Y( `4 P. x3 R. ?力偶作用面——两个力所在的平面
9 E& ? b0 l/ [) l1 O+ m
' a6 ~! f: v. Y) Q/ o5 \. V. L* t力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d

力偶的转向——力偶使物体转动的方向
e$ M1 \' @ C
力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
; n9 v5 L% s! K
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
5 P+ ^* a6 H( h3 y* \6 z' A
设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

) q8 `( }7 @: P6 g, z, F0 i
+ Y% Y0 O8 }+ i0 }
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd

由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）

力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M

- H& J6 j" c& b0 f3 PM(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
) Q ]) ~9 O! n8 m- g
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
: o; H4 _; V+ k5 ]( b/ M5 k) z
Mo(F) = ± Fd
9 P5 ]- |& V7 r
力偶的三要素——大小、转向和作用平面
6 p0 P, U. J" O$ v2 x5 r) J+ J
2.力偶的性质
|+ u* i, { f; A) U2 h( O3 K
/ C8 x( F9 r: G, D（1）力偶无合力。
3 J" U% ]5 B( j( \- q
力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
; _# }8 t' {8 p/ d x
& I# L7 r3 p- ]$ h可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
0 g0 q/ P1 Y# E% f% a- G
6 t. N6 o1 @$ c$ \（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
4 C6 z, p. u' x4 l- w) Y
力偶的等效条件：
/ j- `, x `& ~! J% W3 r0 x* w6 f
( j8 ^2 h+ K* A* n& `( v9 ~1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
: ^+ C# C! X, t' p8 Y# I
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。

- R, u7 a6 f$ O1 h- G- S u, X. k2.2.3平面力偶系的合成与平衡

& G& Z, M/ N7 d+ t% w平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。

. \3 P' g$ }3 u* K! r1.平面力偶系的合成
( r) s+ d; @9 X
( n3 w4 E2 j2 m; Q例 两个力偶的合成
! s8 R& B! z% s) ~) K4 ^7 k/ t8 f

) Z/ Y) m1 n. o7 d4 C7 ~M=M1+M2+---+Mn
/ ^# r3 b' k# R% W5 [: X

% ^# W2 U0 \! c: J, l- I) j. \————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

2.平面力偶系的平衡
9 i |+ t8 v3 p) U0 S+ ]- t; z
* m4 Y7 l3 K, N* e* y& ?; F平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
# s4 Q2 U+ z4 I, u* D
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
0 c1 l- F3 z1 C/ e8 `. o8 i


% m4 _) d0 E7 D解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
6 k& c. [, B- V
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。

（2）列平衡方程
0 _5 k. K; \6 b/ N# r$ O

( w; @# G, J8 r+ B
2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
7 O# \6 \7 d# P, p
5 T3 e, ?+ K3 g; X+ `* s! w2 G" f8 f6 R

上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
! F3 ~/ M9 F6 y# ~' @
" x' |+ o6 a+ Q2.3.1平面一般力系的简化

1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。

- n) j" e# W0 J. y# W& Y9 h问题：如果将力平移到刚体内另一位置？

将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
1 S' |/ C( A! A, T
* i8 f" C( i. c

附加力偶，其力偶矩为
6 I: ^# \2 s3 K7 P. u, c
% U6 y# f# S4 Z. P" {0 ^% xM(F,F'')=±Fd=Mo(F)

7 O# } `4 C0 _上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。

于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。

! Z) n' u$ Y$ C* d- C, G力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。

根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。

: ^& J* Z, r, S0 P6 u3 T
6 [& a/ k; I* m5 q2 W! P2.平面一般力系向平面内任意一点的简化




α——主矢与x轴的夹角

Mo——平面一般力系的主矩
* o: V' A7 d0 z0 u5 i8 b) u: X: u7 Y
主矩=各附加力偶矩的代数和。

（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）

Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

/ L1 m- E' T& c& N平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
+ t5 j6 E6 @! Z/ W
主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。
% @, X. }9 `# o) y, r
主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。
0 w- y6 [+ g+ P; R, o8 u
2 `* W" A8 G& l/ H9 J; i& a3. 简化结果分析

平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件
, S; C I) W. E6 B. u5 i
平面一般力系平衡的必要与充分条件为：
, m2 h# ^/ V1 H


' b: p6 g9 M* i( ^& p, B
g V6 @+ t9 E$ M& k6 Y' d
0 p2 J k+ l' Y2.平面平行力系的平衡条件

平面平行力系的平衡方程为
9 O& c# I& N1 n8 }7 E) X
( W( X: U$ O6 t4 ]4 S
. W9 [- {1 D8 G) K6 ?% O+ T8 C3 ?
平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

7 |$ ]$ s/ f8 x4 B例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。



, `: d& j/ F4 P2 \- x2 C解：取起重机为研究对象。

是一平面平行力系

* c- H0 x8 q5 w: o3 d) l7 L3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

0 _ p- U2 G4 F0 F- F5 ~若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力
0 k2 v0 z9 e6 V8 V$ { \
) t$ q; b- r' D$ g0 H物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力
# U2 n& S. w" d
9 e3 U; W3 V8 ]2 J8 T3 D7 j' L物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

草原蒙狼

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! i G5 c" ^ z$ B. O
6 B1 s. y: }% I% U! L2 C ~ }

2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：

2.1.1 力的分解
% \/ n8 e; r$ D% Z- f; @按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
5 G. O; _/ o3 H2.1.2 力在坐标轴上的投影

$ {4 W, F8 ?9 x7 c9 V' k注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。

) F' M5 o+ ~8 K' d* G9 h& A- B2.1.3合力投影定理

; B6 O# z% }; b' N1 d ' f( c; Q; J+ R/ y2 w6 }* J: k6 P

合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
) u# ~% m% Q5 s7 F; M9 [ V4 @/ ?# g平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即
! k' w; N1 ~0 k- X; ^; W3 k) f

即

m& w" ]# R8 m9 ], D. ?3 n9 \力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
4 ?9 \' k" P4 N# }7 t
- z4 V% \* D6 ]7 {1 \* j. G例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
$ A0 J7 t- _+ h9 M7 M) \: m
解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有

解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
3 V7 h- K0 k# g# P$ R1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。

2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

: y" k+ D. F$ [力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
- u' Q5 F3 E3 z+ P
* K9 R- b. L+ @7 W/ @) w$ \# ~Mo(F) = ± 2△OAB
% [3 \ ?6 f8 @" m# x' M% K+ c力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
矩心不同，力矩不同。
% X! b; Z9 m) @' Q5 E; g规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
力矩的单位是Nmm。
) q1 c7 E: P: N+ E ?) w# G3 |由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
0 ?" |- |/ b# K/ L（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2.合力矩定理
. n( f+ V9 E2 t, l设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。

计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
) @- r9 Z$ H. K0 MMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
8 M& Y! | j5 u! H. jMo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
% v+ ? I5 a7 X- L* z+ V2 g由上图可以看出，合力F对O点的矩为
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
4 T5 Z6 D1 M( L3 n+ j" T$ k' k据合力投影定理，有
% O' V# ^' z# K+ bFy=F1y+F2y+---+Fny
0 n/ F: O4 S3 M1 ?& XFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
+ U* p3 c w$ b1 E+ Q
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
. i. O2 Z. a1 C, z' G$ ^2 i. h# [（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
: A& W( ~; Q+ u1 T, x注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC=h，求力F对O点的力矩。

解 （1）利用力矩的定义进行求解

如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
1 ?! g& F( G! ] P. b8 C, C
& z) e0 N! y- d' }' G' F（2）利用合力矩定理求解
将力F分解成一对正交的分力
# `; I' U) Z, @: J2 s
) A3 E' Q0 ]; L7 [' {力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
) N3 _4 E. {$ L3 H9 u- aMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
2.2.2力偶及其性质
1.力偶的定义
6 \) f# a& L4 r8 f: A在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。

7 m3 Q7 X6 q# z; S/ r! i力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
8 ]7 `+ h. H2 I+ f0 p* L% \8 {$ C力偶作用面——两个力所在的平面
, G) @8 ]! P e9 G1 s3 }力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
4 Z( E6 a9 d7 @& [9 B力偶的转向——力偶使物体转动的方向
4 ]& C( B1 A% S+ p9 ]7 x力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
5 C& m6 R i" p! a力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
8 d" S6 P1 v0 a$ b+ w; v设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

# L% w8 u7 O; @3 d( X2 T. C$ d6 P7 ZMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
# g3 Z# k3 k+ V( J力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
, l. P6 Q* O% [7 b0 s7 i' P" K. AM(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
2 i8 q' c8 c6 e, [9 y力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
Mo(F) = ± Fd
力偶的三要素——大小、转向和作用平面
2.力偶的性质
9 h; y& ^, f- }7 k# a) n( O5 S（1）力偶无合力。
) u' G- ?* [. I$ Y9 S力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
" X- p7 y* P4 u+ t（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
* |8 f7 ^! t9 j G$ A( b2 W力偶的等效条件：
1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
2.2.3平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
1.平面力偶系的合成
例 两个力偶的合成
. C5 P5 b, [# U2 E$ V' Q+ |

M=M1+M2+---+Mn : V$ b' r4 ~$ z, h: X6 o, @, d

————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
% u2 \/ W9 Z5 i+ ~平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。

解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
（2）列平衡方程

* D( i" s* ]$ n+ A9 `/ X" n. x1 M

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。

5 ^. F! z3 f' `6 f, u& C! {% B上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
" K' s5 U& O* \( o y" {2.3.1平面一般力系的简化
1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
$ K \ S) F! V$ n! P问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，

5 X4 S: q) P& r ?3 R附加力偶，其力偶矩为
g$ c! n, {5 _: AM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
4 Y2 K& q; A8 E1 S于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
0 R O+ ?7 e& v% j" ^2 j力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
- G' S3 V% z- E% i9 h: ^8 x/ }
2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
) `& X* J2 e& b& \
α——主矢与x轴的夹角
: O( H$ B2 F9 nMo——平面一般力系的主矩
# ]6 ?1 h' l! f3 p2 o- v主矩=各附加力偶矩的代数和。
6 H2 V% I1 V e M（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢F'R和一个主矩 Mo，
" Q( n: N7 L' t3 J8 `9 A3 T$ l! R

主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析

平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R=0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：

- x0 R- K/ `8 J6 _5 [- S# t2 C
# h' q. H" I" ~' c) J2.平面平行力系的平衡条件
2 B# q. m) J- Q" O1 U1 m1 E$ T平面平行力系的平衡方程为

8 b; C) H# F- q

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。

9 [& J+ A/ e3 [4 \5 V2 l' u2 e解：取起重机为研究对象。
是一平面平行力系

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。
- w- b7 ~: D9 ]+ C- I

无能

依图为空间平行力系，其平衡条件是：
) p7 F9 W% o0 Q& r# xP1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
1 @# a, e, P; }, A- _WD=(P1+P2)C
: L/ b: W4 h/ m/ }% B3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
对钢而言，因为其弹模E高达200Gpa，在静不定的情况下，某一构件长或短若干微米，受力情况就面目全非（比如Φ50X4长100的钢管，其弹变10微米，外力变动就达1吨多，不可谓不大）。所以此题若将支撑改为3个，即变身为静定结构，求解就易如反掌了。

w9049237

8#草原蒙狼
3 ^1 Y- e, w+ o, }: B- w* K$ h. O佩服.......無言!!