一款另类的椭圆规 ---- 外啮合1:1传动

动静之机

% @& Z- Y. K: F
( G4 S. i6 y* ]1 F9 O: s1 V4 r这两天比较愉快。小子连闯两道关，考上了南外初中。
3千多人抽签（绝大多数都是有备而来的主），2560人中签，然后考试，录取320人，男女各半。

& {' L3 m6 S& s) K; _' W# O那天考完，出口处所有的孩子都苦着脸出来，说数学太难（出题也用英语）。
  }  M0 w( A0 x, D+ b俺家的亦是如此，说还有大概20多题没空做（至少30分没了，总分150分的卷子）。
% I$ G  y* w; _! e) z" ?1 L7 q不过此次考试没考这类转几圈的题目，呵呵，瞎担心了：
一个简单的考题考倒一大片! ---- 续I
* u1 W" `8 `) q* t4 n; [- qhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
  y* P; H* _! w- Q) Z, U
8 ~# R2 p# i2 O3 @一周前，俺发了这个帖子：
怎样车椭圆
7 m- I( z8 u" ^! i& _, rhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983
9 d' p# Q8 r* R2 F
里面提到的德国网站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有这么几个椭圆规：
3 u9 B0 {2 i4 a' J$ l' s% O
+ r, q, N. z& g& M! E这个就是十字滑轨式的，已经在“怎样车椭圆”帖子里说清楚了。
- m+ J3 Q* `* b

这个显然是利用内齿轮啮合的机构，大小直径比为2，这也说过了。

4 p( J. S9 _2 O- b
对这第三个东东，俺一下子没看明白。该网站只是说该椭圆规机构
! h+ x/ _& b: b: R9 }" ?5 ?允许在机构旁边作画（切割）因此可以作很小的椭圆。
" K2 _& h" `( }3 s0 ~0 a& |
4 n8 n2 g/ p2 L% M图片搜索该照片的名称Kopp-Ellipsograph发现有这么一张图，简直一摸一样：
7 X  x" ?/ N/ {" N. S6 W（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）

+ h$ ?1 D$ M) [; M

意味着有相关文章可看，大喜，点击过去，十几秒后，页面终于打开，晕倒。

有人感慨“它认识我，我不认识它”大概就这意思。

不死心，重新搜关键词，找到一个链接，对该机构有些许说明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
2 j3 _, _. Q) |3 Q; D, R最下方提到参考书名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
: T1 f2 n& R+ g3 D6 Y% p! ^4 D于是搜来（估计是苏联图书的英译版）。抱歉，11M，就不上传了。

翻遍全书，发现在105，106页，有个证明（PS拼接如下）：

5 s6 F( `! X+ d这个证明和照片里的椭圆规不太一样。
. E( b& m0 `, [$ L+ V
$ T6 K/ y/ d) [; W1 w. L9 I# Q! r1 j好吧，为了安心，也因为今儿个高兴，把照片里的机构也画瓢地证一遍：
& I! X) D; c1 A- Q* T+ T' C设仿形机构放大系数为K，即DC=K*DM，两个起点都在X轴上且都处在自身
6 T: F7 Q& ]9 x' j- e. O  U圆心的右侧（计算比较方便）。左侧齿轮逆时针旋转，右侧顺时针旋转。


对于C点X坐标，分别从r2 r3 两条路找到关系式：
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
r3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
3 S3 w! R) \! A消去Cosβ参数，得到:
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A


0 T2 C- ]2 n5 f3 `. R- E# ?对于C点y坐标，分别从r2 r3两条路找到关系式：
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
* N5 c. Z" l# o1 g6 f-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
6 R* P" s; f6 s- n8 r消去Sinβ参数，得到:
1 ]8 {8 x5 N& K( Q- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B
4 \8 K* p+ s& `, Q* P2 R" R! {

0 ~& A' ^1 n% n% K7 E! e9 {9 k把A式和B式综合起来，就是（但愿全部步骤没错）:


这显然是个圆心分布于X轴(2k-1)R处，长半轴 (k-1)r2 + kr3 ，短半轴为 (k-1)r2 - kr3  绝对值的椭圆。
% O4 k  [" A: L9 R" R
' K) v# \* z, @. Z" T5 t. f: Fα=90度时，两个驱动臂互为180度，画出椭圆长半轴最低点。
% p" T! k, F2 y8 X
若起始时，选取的某点已有初始角度，例如左侧所取得点已经逆时针转过180度，右侧尚未动，则
/ N3 T& [) a, l6 ^; N0 H0 h意味着两个驱动臂已经提前达180度角，那么当前画出的点将是长半轴，而且在X轴上。也就是说，
6 m: m) ]! h6 i. x7 u# ]( A输出的椭圆虽然大小完全没变，但相对于例证，已经转过90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。

* P) Y% c: a1 A! u( `8 z) ]: b7 `回头再看看那个满眼鸟语的维基原图的证明，就释然了。
0 j5 k: a3 k. D6 H) d* t4 X
2 N; }' W, @+ k8 v5 n$ Y. r6 x不妨拿这个仿形机构来说明：

8 ^3 l; z* o: ]% S8 g' x
' v3 ]( d2 S3 ?  p& J0 _! g8 v' h( P
这个机构简直天生为就是两个复矢量的合成缩放准备的。

公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味着，若左侧输入Za，中间输入Zb，右侧输出为Zm。
假设Za不动，放大作用使Zm为K倍的Zb，假设Zb不动，则杠杆作用使Zm为k-1倍的Za，
; V# t3 x* M. [+ ~不过由于处于杠杆的两侧，动作相反，因此有个负号。

一般的应用都把其中一个点定死，一个点输入另一个点输出，例如某些古老的仿形机床。
日内瓦湖畔的瑞士军刀小店用的军刀刻字机，也用这种机构。老板把客人的姓名字母凹
模板（约20x30毫米，厚2毫米）在轨道上排列好，然后用仿形机构缩刻在刀柄上。
只有西文字母可选？ 嗯，下次谁有机会去的话，先带上自己名字的中文模板哦。。。



2 C6 h. @* H# s; L

949457130

挺有意思！

从不孤单

挺好挺好

剑南春17385

厉害！！！
1 {0 B9 p- R- D; C! u" H还证明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不错

夕阳书生

好贴，顶一个
4 U2 V- O( H% v  m$ H5 v& i5 T

GRL889

好强大啊

王大9997

高手啊，长见识了

shasu

平常能看到的那个 做钥匙的机器 是仿形的吧

gctdxy

厉害长见识了
: _5 w0 n$ U6 r8 Q' J" C7 t3 O