本帖最后由 动静之机 于 2013-7-6 14:20 编辑 0 G* _; k9 c. y, [3 w
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这两天比较愉快。小子连闯两道关，考上了南外初中。, _; ~- |6 P4 O
3千多人抽签（绝大多数都是有备而来的主），2560人中签，然后考试，录取320人，男女各半。
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+ ]1 G& Y& T0 Q) \那天考完，出口处所有的孩子都苦着脸出来，说数学太难（出题也用英语）。0 C; l' F+ h) i2 f, {) l
俺家的亦是如此，说还有大概20多题没空做（至少30分没了，总分150分的卷子）。
0 b9 O* e9 m7 L0 u; {0 _3 L不过此次考试没考这类转几圈的题目，呵呵，瞎担心了：
) J7 n8 i5 Q* O! y* K) {8 l8 T一个简单的考题考倒一大片! ---- 续I
# w, w& B+ g, \: e! ^http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2315038 @0 q9 f, N" a- Y) k- {
! ~* T0 m: N8 o. p q" ^+ Z
一周前，俺发了这个帖子：
( I F% z' t" r2 k4 |" Y怎样车椭圆
5 n9 M' S% p4 J1 a B. k. _" {3 a# Rhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983" v- @( s. c$ t% F S: I. C4 h
) D) \4 R7 L; C4 l1 o里面提到的德国网站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有这么几个椭圆规：* Z j; j4 z) i; u6 e
0 K7 T' |! M; _. w' p, i$ D: X$ A' U
这个就是十字滑轨式的，已经在“怎样车椭圆”帖子里说清楚了。1 u1 g i: `) ?0 J& l* z: [
' Z, N& y, Q3 X5 n% \+ ]; J1 @1 a
: q, {0 N8 e {( t这个显然是利用内齿轮啮合的机构，大小直径比为2，这也说过了。
! p3 g! [' X5 T6 i# W+ R
% O5 i: L4 r1 @$ H! D- U* D
, @5 |7 n1 @' i) M0 M; Z7 n对这第三个东东，俺一下子没看明白。该网站只是说该椭圆规机构
$ X% s3 j6 V' D4 i允许在机构旁边作画（切割）因此可以作很小的椭圆。/ d9 o; W1 u6 p, M
6 D V9 D3 X& i2 h, i8 {! m. Y4 B图片搜索该照片的名称Kopp-Ellipsograph发现有这么一张图，简直一摸一样：& J# ~8 c5 f; _4 s
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
4 V$ \* i' Q0 ?+ t
$ m. `2 `' K$ l& x. A; U
意味着有相关文章可看，大喜，点击过去，十几秒后，页面终于打开，晕倒。 有人感慨“它认识我，我不认识它”大概就这意思。 0 U/ v5 x4 O) y5 O' s. j
不死心，重新搜关键词，找到一个链接，对该机构有些许说明： http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34 h& ~& [4 P7 q% v: G) b2 {. _
最下方提到参考书名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
: x; o6 D3 L& H2 A3 ^( x: b: w2 s于是搜来（估计是苏联图书的英译版）。抱歉，11M，就不上传了。0 s' ^- v* Z% ]+ j5 ]7 e* l9 z8 }" V
% j( k. \' I3 t C G翻遍全书，发现在105，106页，有个证明（PS拼接如下）：; v- O3 L5 h# j! ]" e0 f9 ]: a
: L' O- ]$ b# S: {, J: r5 y2 j2 [这个证明和照片里的椭圆规不太一样。
3 `; e; ]" y; e2 O4 [( j$ Q7 g/ p [4 p' `: A4 R+ w
好吧，为了安心，也因为今儿个高兴，把照片里的机构也画瓢地证一遍：: Z9 t4 _, \$ h2 ^1 A8 I( W! B
设仿形机构放大系数为K，即DC=K*DM，两个起点都在X轴上且都处在自身
: g$ z! D6 I( O5 s4 F圆心的右侧（计算比较方便）。左侧齿轮逆时针旋转，右侧顺时针旋转。
4 q3 B; ~/ U& T, }
% `7 }8 Y' W7 S- i" J# o7 k
6 _4 T9 E& u+ b8 F对于C点X坐标，分别从r2 r3 两条路找到关系式：
: P% ?1 |/ E/ O0 _* lr2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x . L* @2 e1 c4 B/ X/ b
r3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x
! V% K6 v2 n9 z4 m/ \消去Cosβ参数，得到:8 g: B4 R6 x5 h2 x/ |
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα ------------------- A 2 G# i* C: \; {4 V; N$ M9 \
6 O/ [4 W- B4 C, }2 y( x
, r, d4 N/ N$ {8 Y8 ^! g8 y对于C点y坐标，分别从r2 r3两条路找到关系式：
' q4 R) [% P. v' y' _r2Sinα-y =k*DM*Sinβ 3 c' {1 k3 H' _* ?
-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ $ n$ y- X$ y5 I% Q
消去Sinβ参数，得到: 1 R0 a' k/ Y! m6 B6 a
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα ------------------------ B/ O7 l& t1 L2 n3 X+ u* L, _$ u- X
& _2 M5 K+ S) |! u" |- _+ p }
. q, I4 z- s: Y) G- a3 C4 w# v, S! z把A式和B式综合起来，就是（但愿全部步骤没错 ）:
: d1 x8 a! c. c% Q
* E$ j, j% y6 ~3 f$ | p8 ?/ x: k
' E0 U. w$ E# G
这显然是个圆心分布于X轴(2k-1)R处，长半轴 (k-1)r2 + kr3 ，短半轴为 (k-1)r2 - kr3 绝对值的椭圆。
* F) S6 H" v% Y* X0 b9 x
7 C) J5 _, y* Q& X/ lα=90度时，两个驱动臂互为180度，画出椭圆长半轴最低点。
; d. q6 \3 p$ k5 v6 [+ E
! v- l1 V- I% ]# A9 G7 \若起始时，选取的某点已有初始角度，例如左侧所取得点已经逆时针转过180度，右侧尚未动，则' i5 a7 R8 G. a9 `0 A
意味着两个驱动臂已经提前达180度角，那么当前画出的点将是长半轴，而且在X轴上。也就是说，
4 m- \9 j. ^7 Q6 T- m输出的椭圆虽然大小完全没变，但相对于例证，已经转过90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。4 X- b: |9 r/ C+ s+ _
; ^' D- I4 _- u( _$ ~ h- s' `( G回头再看看那个满眼鸟语的维基原图的证明，就释然了。 0 _* \: r1 a/ Q* _
! o2 D D: P& R) e4 n
不妨拿这个仿形机构来说明：
' E/ g# a1 T) Y' h: x! ^
- \2 C1 u" E, ~ k
5 L4 d& K" X6 b J W3 m$ l+ r+ b/ J. s5 H
这个机构简直天生为就是两个复矢量的合成缩放准备的。; l; v% W0 i9 y8 |
" a, }7 S# g. m, a" J" r
公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味着，若左侧输入Za，中间输入Zb，右侧输出为Zm。/ |! j. e7 z4 ^8 b' K
假设Za不动，放大作用使Zm为K倍的Zb，假设Zb不动，则杠杆作用使Zm为k-1倍的Za，' s' \0 L3 L: S7 B7 F+ P- q
不过由于处于杠杆的两侧，动作相反，因此有个负号。
8 U* @* k, b( L7 n, f- y) H# _- [' z- G
一般的应用都把其中一个点定死，一个点输入另一个点输出，例如某些古老的仿形机床。
- ^9 R7 R9 `4 ]6 X5 R. @/ c, ~日内瓦湖畔的瑞士军刀小店用的军刀刻字机，也用这种机构。老板把客人的姓名字母凹5 t" }, n9 @; f% x3 I* I" {0 y0 m
模板（约20x30毫米，厚2毫米）在轨道上排列好，然后用仿形机构缩刻在刀柄上。3 K( {# [: X Z. t8 G8 Q
只有西文字母可选？ 嗯，下次谁有机会去的话，先带上自己名字的中文模板哦。。。
2 H8 O7 e: f# G8 J& v+ o2 H( O b+ b( I+ O u' z* b
2 m6 U) H7 Z! u& u4 i+ R
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发表于 2013-7-6 13:56:53
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