解一个阀门的数学模型

明月山河

设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。
7 S7 A( W" K! M
. C# v( \9 I8 H1 R' E8 C如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：

9 I5 S* z, Z/ ~$ d! b, ]3 o其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
$ ]- t& m* L' W- H( B8 jr1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
* {' z" G) E' T2 l2 h6 D7 L8 y# J目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
! Q! C; }' A, j/ Z) I; c$ o想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
& f. u% R, t1 |那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；
  U- Q& H1 |% Z& g5 Y

2 m9 ~. }9 @3 i4 C+ r
0 }' a5 G- Z2 J1 }3 S
( o' J0 j- T; N, K补充内容 (2015-5-24 21:26):
% X- r7 ?  E+ j' Z  f( ]7 x7 RSi中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

% B, v4 F$ g& I( ]. A6 K
6 ]* A6 O, x+ b6 k4 f5 ]

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
8 j8 U- R% F3 ]; Z>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

f =

(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
>> finverse(f,r6)

ans =
8 d8 i  S+ j  c9 J. I$ J$ p
& o2 e, j1 Q) c' |6 n: w8 H) f(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a
' A0 U) h8 P6 l% t+ e
>> pretty(finverse(f,r6))
) n  }1 A5 `- q% A" U                                 2    2  2    2   2
+ u. W1 u# V. t- O  g, L3 vb + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
0 K) ]/ }8 B# ~4 E$ F1 ?9 [---------------------------------------------------------------
. }8 }5 x  Y2 @; w. r                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
# ]" c9 Q3 d. T' w4 e7 h: F其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
: i* I- r! H+ X/ V>> syms  s r6 r7 a b
  q% _5 ~- d) S3 Z% X8 u1 @7 f4 D>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

* u) I6 T% T: b$ w  f- x* m8 q>> syms a b c x
$ y6 |* F8 g% m/ u3 q' u. E2 }( p, k>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
3 }4 o% ~  J! z# M6 p+ ]. D
0 g8 K# T4 ]& l) w) T  z' k3 @f =
/ p/ y  O3 m" u* h  c
9 x9 K' @7 k7 L! |8 Oa*x^2 + b*x + c
6 M$ j1 R8 Q, A% W0 S( t
>> finverse(f,x)

ans =
) O' d; g& M4 z. ?; l% R% Z7 B
4 h' J9 }( O2 b: @-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

/ e5 y( ?1 P3 s. Z我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
            
               2
' g6 u! X. H+ z' @  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
- ----------------------------
1 C3 j; _$ s* T               2 a
6 A- m& \3 w7 S% d% g6 n
: n) I( S+ k# A- R
这个也含有X  估计  可以删除




8 R7 Y% i' f! r& L/ p7 m, l