求问一道数学题

阳光小院暖茶

有个题目，想请教：
# E. k" Q7 I& S2 G5 K! T& e确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
5 a. W: M; i4 V9 [4 q不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶

我已经知道了几组：2,2,2
3 M$ h; H/ V3 {. C# x1 J9 V2,2,3
3,5,7
6 C2 T5 j3 r$ {$ X4 Y9 P/ ~- _+ K2,6,11
但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut

我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
7 L: y2 B% q, M# k$ r
) p' _/ F8 g9 Y5 r: q# q5 a答案是只有唯一解，2，2，2
; U/ u9 b4 x. ^3 a) C
# W4 t" [7 _9 A, f- Y, N" v+ S

水水5

首先推测abc都是2的正整数次方~
- E: k7 v8 k' V0 F假设abc对2的幂分别为ABC
7 X+ G7 G: k7 a& g4 S则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
' }# j* `; I7 ?1 j2 |& U7 ^  i要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
+ D' o- k! t, Y3 o) e) c2 U3 ?0 R同理，B+C-A=1;A+C-B=1
6 P: B9 P1 m  t% p/ b2 K7 i那……
' S6 n- C3 j, K我解不下去了。

萧mj

不会解

阳光小院暖茶

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
: j0 R) B. S4 [. b! g4 \% j- I我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
- _7 t. L3 s) C. \
- F* Y3 M" R- g9 ^- C/ L) f答案是只有唯一解，2，2，2
...

大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
3 t2 v7 Z; Y/ M7 B9 }你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件
2 f# e5 l) I2 Z) j
7 \6 o  R3 r1 p+ S1 j  F

crazypeanut

阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
/ J4 Y8 b- a7 ^& |& d7 U* [% ?大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；

6 h5 h4 ?$ i8 y% j7 n- X( R& T' C; J所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598

数学玩 死人

crazypeanut

看这个吧

) z+ ]* I1 M+ s( u3 F+ _: b  u我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋
1 j# a" R0 K9 P! y
+ E1 N/ b! `" p: U2 t' j( Z8 }

1 X4 l* J, f7 Z; S; D

6 [! a( [9 i" ^