我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法

逍遥处士

我研究数学分析（微积分）以来，有那么一点心得，一直想写出来，帮助初学者，以跨过那些难懂的书籍，以掌握微积分，以产生生产力。
/ x# _( h. r9 [( L% @0 |  ~1 U
1 s- }1 X- S, s让我们把概念抛弃，先把玩法弄会，把玩法弄熟，最后再学习基本理论。
本方法能从代数式一步过渡到微分式，只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。

先从最简单的一元一次方程式开始。
$ G) y+ o2 x; Y8 {9 dy = 2x                      （1）
我们将 y 替换成 y+dy ， 将 x 替换成 x+dx，于是上式变换成：
% U) z  o- i, ~9 m; f(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
（2）-（1）得：
dy = 2dx                  （3）
上面这个（3）式就是（1）式的微分式。快吧？将dx从右边挪到左边就变成：
dy/dx =  2 = y'           （4）
上面的（4）式就是（1）式的导数式，导数就是这么求来的。

+ X( }. A, n" i" x0 l' L6 |& i0 `* M* t下面再来看一元二次方程：
y=x^2                      （5）
7 i- z0 o5 X+ Y4 f8 e做替换，y→y+dy，x→x+dx，得：
(y+dy) = (x+dx)^2     
* ?& n, U. U0 @+ [+ J# U展开得：
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
（6）-（5）得：
3 l5 x! U( Q5 _9 W. bdy = 2x*dx + dx^2     （7）
这里介绍一个关键，微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”，而dx^2属于二阶“无穷小”，二者相加，高阶者略去，所以：
) E1 ~! ]9 V. Jdy = 2x*dx                （8）
dy/dx = 2x = y'          （9）
上面的第（9）式就是（5）式的导数式。
2 m# q, m' K5 t( v" w4 D3 a
下面看二元一次方程：
z = xy                      （10）
做替换z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
展开得：
; F# `: I: u2 @: }+ O; ~z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
% w8 F- N& s5 a" ^) _- S" F（12）-（10）得：
2 f1 |4 X! Y* b1 u/ M. ]. Vdz = xdy + ydx + dxdy（13）
看上式，又出现了高阶“无穷小”，可以略去，所以：
) p# l% f& p/ B2 v) e5 Ldz = xdy + ydx          （14）
上式即为（10）式的微分式。
, d! \3 h$ M" `: k3 J/ A& ^
最后再举一个例子，关于流体的连续性有一个式子：
ρvA = C（常数）
书上说先两边取对数，然后再两边微分，得：
) s$ K8 `3 r# O) Pdρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
用我的方法，不用无中生有去微分，一样得出这个式子，先做替换得：
% O1 k- ?9 q5 q: R0 i1 X(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
展开得：
5 |: x" p" c) r: KρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
) i. V9 q& F" o  k8 S减去第一个式子，再略去二阶及三阶无穷小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
两边同除以ρvA，就跟上面一样了。
/ v7 N" ]1 T! g+ V* z7 M3 L
" c' z+ w9 q' A总结一下，第一步替换，第二步相减，第三步“略去高阶无穷小”，成功！
任何方程式都可以这么干，不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。

风随意

初中毕业表示很难看懂~

逍遥处士

题目又被改了……声明一下，冒号前面的字是管理员加的。
鄙人可不敢说研究数学，会让教授们笑话的。
再次声明，冒号前面的字是管理员加的。

水水5

最近感觉到处都要用到数学呢
往高一点研究都是要用数学的   也在看微积分 复习一下

mfka

很有意思！
谢谢把你研究结果与大家共享！
我提点我的看法，请不要介意！
1 ^" B# X% @0 S你用的是数学研究的枚举法，如果要普通适用就要证明的方法过程，你所谓的无穷小项不一定是真正的无穷小。

zhulongxin1986

不去教数学真是浪费啊。

逍遥处士

mfka 发表于 2013-5-22 22:59
很有意思！
谢谢把你研究结果与大家共享！
5 z* ]5 Q4 J# V- M* W1 G$ Y我提点我的看法，请不要介意！

% t7 }9 V7 O9 Z鄙人这是综合了标准分析、非标准分析以及我国阴阳学说才研究出的结果。
完全符合洋人的标准，所以不存在你说的那些问题。
4 p7 ]8 E7 K- G5 }
, ?' p8 n7 W4 j! D; n9 s/ i' }2 M补充内容 (2013-5-25 22:28):
3 Q+ B4 w, l! L, ~$ d. a这个真不是吹牛，其实我原本的想法，并不是这样。我原本的想法写出来，如果用阴阳学说来看，是很容易理解的，但现代人怎能接受？我只能写成这样，但这样更难理解。但是——无论你怎么说，这种方法的结果却是对的。
" z& ?  x+ C* @8 U5 z$ T
% J9 X; D+ M& ]' Z补充内容 (2013-5-25 22:30):
我们不妨想一想，这种简单直接的方法，无论在什么情况下，它的结果都是对的，但它的解释学起来却无比艰难——大家想一想，问题出在哪里？就是出在对这种方法的解释上面！
+ H0 z+ \3 z* s% ?4 G$ w7 z
补充内容 (2013-5-25 22:33):
  q9 X8 l) C2 {0 x, ]; w0 o  A* k所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

. X2 g6 k; Y# W0 f  y% x补充内容 (2013-5-25 22:34):
所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

请叫我小凯

满新颖的

大本Ben

嘻嘻。以后遇到这些就简单多了。

wwfs

这其实就是导数公式的推导过程，用极限的方法，数学分析教材至少我学的版本就是这么处理的，这么看来不清楚极限的可以用楼主的方法，知道的可能就觉得在绕圈子了，小小评论楼主莫在意啊