本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑
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" c ~2 I% F# a4 G+ b! ?. `这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。$ m3 ^) F& J o, |& a$ t/ H+ t
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。
; [8 v( K; c6 q0 C2 _0 ?( [. q生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。
) H \0 S, G! U/ y$ t B3 L; f4 ]8 ?% G( B' z- f, o
首先，简单说下杠杆原理。如图。
5 ~* r0 h, a R/ y5 A+ m # Z6 _4 \" U l+ B9 J
杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。6 A' {9 R s$ S% k) N
那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。
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1 ]/ F# E5 |2 M6 t# G我们来说正题，杆秤。
# G d0 d: q7 x& S! L6 x$ d ]. Y1 J7 E5 V% T
分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。0 K+ t' G2 g% T A
1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。
. x+ W. f$ d7 j
% S% ^: T H4 j. s
, y8 a9 r" P# ?
由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3) ; E$ M. \' p# K
推论：G1*l1=G2*l2……(4); / {, g) j* g' \( s; _& O5 Y; a
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。
8 q) Q4 N+ \7 r* f
* e) }3 b" C9 B# ]0 p& g0 u分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6); : D9 @' ]& P; e, N
M左=M右 ……(3)' `+ W( f/ X$ t) {# A* Z8 ]
推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7);
; ]7 p0 A, Y U5 ]8 z 联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2) q3 E5 b, u- w. k
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。1 }$ N; _2 m: q% e3 z4 n9 o
如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。3 l% l' A7 d5 n: p
- W5 r [9 z/ p2 S' H' K) A2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
! Z! F2 R$ U1 |; p0 A8 z同样，按照之前的方法分析。
T h# S! Z R' M- w2 e$ V& N. W, l水平态：) l7 P6 x3 A) G; e ^; B8 p
% |. w4 @) q1 s* b& \2 s1 M E$ ?- _0 S
M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3)
; x: ?: i5 S3 W3 Y 推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10);
# X- _- N( \4 l9 N# ?1 b 因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)+ f& F$ c, f) |; l/ t$ k
& l+ U/ G* t* Q
对于非水平态：
: {" @0 D. x: C8 A/ s
2 `( \* J0 s# P8 D: L: ] M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12); 3 a- q8 g# O6 G0 `# w' m5 ?* K4 b; n$ S
M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3)
. r. u: E. K- b 联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
: P, J7 ~$ p7 v: O0 K 结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
9 N* V$ X/ W5 B$ w# V$ y 即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！/ L2 ^' r; g% Z# n/ f
/ ?: @- t( Q1 e3 x. U# |+ l以上，希望大家喜欢。( \" h" F2 V& |3 H8 @* e3 S I
1 ] H! D, Y4 I- |6 | I
PS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
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