本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑 + Y# G& c2 W$ v6 j$ T
. S) F9 }( l) l2 X r8 w1 B这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。' z* P1 g: \1 q) r2 z6 o& `- M
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。
% w7 |7 U2 _" x4 p3 m7 P生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。
0 c& a" M5 q2 g: ~7 M, x+ x# L9 o6 ^8 q# X% o# V* |$ @! g/ {6 m( @, u
首先，简单说下杠杆原理。如图。
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8 Q* S: ^& U$ Y; l& I& i杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。
+ X% \9 V& Q3 B ]7 @那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。! z. ]- M! H5 ^8 i# F# A5 ?3 }+ L/ J
( I7 q6 X( X. F# [% |我们来说正题，杆秤。9 B9 \1 k6 h: K; ^' N7 H
8 ~7 Q. J" q/ T' D1 _2 H' [
分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。; y3 @! S0 J$ y( l# `: _- }. }- X* @
1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。# ^) Y& L) k, G. m
5 T3 U* C4 A# U& Q9 P
- @) L0 v& f, u" F( h 由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
& h% ?. a" c2 J2 M 推论：G1*l1=G2*l2……(4); , E# _/ c8 \/ t8 Z
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。; J- L' j( S# v/ n- h7 f. H
* Y: L1 q7 V3 q" ^6 b% B5 O分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6); & p6 |, Q2 i; c! E
M左=M右 ……(3)8 X' o2 t- f7 w. G% S0 X- U
推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7); - n- ^! E" ]& f$ G6 ]+ P
联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2
; E% I: [+ I1 r: q* i- Q9 ^0 ] 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。
3 v! c* j# e; B, M, x0 D如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。
+ |+ w$ _: `8 o9 q* s* _. U6 I1 k% W: t, m
2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
; k0 I6 j6 u4 J同样，按照之前的方法分析。
6 t; W' L8 k$ v/ V水平态：; ?5 X3 Z* J# l
2 Z2 X! W* t! B# x: N" E, j7 `; K
M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3) + A* I6 q* L) {* K
推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10); : g. _! V# [' Z. u
因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
7 e4 t5 B7 M4 ~, X: Y, R4 z9 q" P" a5 o9 z) G
对于非水平态：
0 x; C: B1 \ d3 n0 m4 I, Q 7 }) W. }3 O3 R& I; `" O
M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12); , P8 q+ e# J$ m; }9 S1 [$ m& _& m
M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3)
; [( z% v0 B5 ^3 Q7 V/ T, B 联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2( H. Z2 ~/ I- P% X
结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
" P) `8 E9 h- V* o$ q' W 即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！# v; D! }; P0 v/ r
, f( q9 x/ x6 H. F
以上，希望大家喜欢。9 W, m5 P0 w8 ^9 [9 l
1 V/ ?; w2 V' ^: X- JPS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
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