求教-笛卡尔坐标

lanyijianke · 发表于 2013-6-12 14:28:05

仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广
相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。
笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。举个例子：某个点的笛卡尔坐标是493 ,454, 967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个点的直角坐标是(16, 13, 22)，坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数）。

红字部分没搞懂，大家能解释下吗，根据自己的理解，不要拷贝哦

爱猫人士薛定谔 · 发表于 2013-6-12 16:47:43

没看懂红字想表达什么。。根本就没有指出第一个笛卡尔坐标和直角坐标的关系，上来就规定了这种奇怪的算法。

pacelife · 发表于 2013-6-12 16:51:09

根本就是乱写，笛卡尔坐标就是直角坐标

crazypeanut · 发表于 2013-6-12 21:45:09

定义：线性变换加上一个平移称为仿射变换，笛卡尔坐标系经过仿射变换后的坐标系称为仿射坐标系

其实仿射坐标系就是斜角坐标系拉

crazypeanut · 发表于 2013-6-12 21:54:58

本帖最后由 crazypeanut 于 2013-6-12 21:57 编辑

通俗的讲，所谓笛卡尔坐标系，坐标轴是直线的都称为笛卡尔坐标系，否则就称为曲线坐标系（注意这里的直线定义为欧式空间的直线）

因为一般默认笛卡尔坐标系是标准直角坐标系，而斜角坐标系都是由标准直角坐标系经过仿射变换而来，于是就有了仿射坐标系的说法

动静之机 · 发表于 2013-6-13 18:25:41

据查，这个红色文字的“龟腚”来自这部电影：

[转]Cube中的数学原理
Kim 发布于： 2008-01-17 22:06

Cube中的数学原理
I. Cube的外形及房间的个数
Cube由一个巨大的立方体以及包在立方体外的一层外壳组成，两者之间存在一定空间，大立方体内还包含许多小立方体房间，类似于魔方。Cube只有一个出口，只有到达了连接外壳与内部立方体的那个房间才能走出Cube，这个房间在影片中被称为“桥”。每一个房间棱长14尺（略长于4米）。大立方体每条边有26个房间的长度，所以一共是26*26*26=17576个房间的大小。（但事实上没有那么多房间，因为房间要移动必须留有一定的空间）
II. 如何识别房间内是否有陷阱
·识别房间是否安全
Cube中的每一个房间都标有三个三位数的数字。因为每个房间的数字都不同，Holloway一开始认为这表示房间的序号（她从而认为一共有几亿个房间，但她错了）。Leaven随后认为他们可以凭借这三个三位数的数字来识别房间是否有陷阱，Leaven的记忆力很好，她记下了他们经过的每一个房间的数字，归纳以后她得出结论：凡是三个数字中含有质数的房间存在陷阱（这个理论一开始很好用，但之后在一个不含质数的房间内同样存在陷阱，至此这一理论被推翻）。最终在影片尾声时真相才被挖掘出来：识别陷阱的不是质数，而是质数的乘方。Leaven让Kazan报的是每个数字的质数因子数。
·质数的乘方
每个自然数（1, 2, 3, 4...）如果本身不是质数都可以由质数相乘所得，比如120=2*2*2*3*5。如果不计质数的前后顺序，这种表示法是唯一的。现在用乘方的形式来表示，2*2*2在这里被表示成2^3，于是120= (2^3) *3*5。若一个数只含有一个质数因子，那它就是质数的乘方，显然每一个质数本身也是质数的乘方（这也解释了为什么Leaven的理论并没有一开始就出错）。但是一个质数的乘方不一定是质数，比如说27=3*3*3=3^3，而27却不是质数，因为它能被表示成3乘以9，也就在这种情况下，Leaven的理论失效了。
III. 房间的空间位置及移动方式
无论房间是否存在陷阱，三个三位数的数字并不表示其本身，经过下面的介绍后你会发觉它们表示了房间的空间位置和移动轨迹。
·房间的坐标
每个房间的数字其实是笛卡尔坐标，它表示了房间在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。举个例子：某个房间的笛卡尔坐标是493 ,454, 967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个房间的直角坐标是(16, 13, 22)，在此坐标单位为一个房间，所以在Z轴方向，此房间离外壳有四个房间的距离。坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数），XYZ每个方向的坐标值不会大于26（除了“桥”）。Leaven他们曾经达到过一个Y轴坐标为27的房间，这其实就是通往Cube外部的“桥”。但当时他们却没有发现这一秘密，因为这个房间周围仍旧是其他房间，直到后来Worth被Quentin扔到之前Rennes死去的那个房间后看到有个通道外部什么也没有，他这才弄明白原来房间是会移动的。他说：“不是我们在移动，而是房间。……这就能解释为什么我们一直感觉到震感，我们一直随着房间在移动。”Cube此时就像个巨大的不停转动的魔方，每个房间都在不时地移动，每一个坐标只表示这个房间开始时的位置。
·房间的移动方式
每一个房间的移动轨迹也隐藏在了笛卡尔坐标当中，比如坐标为477, 804, 539的房间，它的直角坐标为(18, 12, 17)。要想知道这个房间的移动轨迹，可以这么做，对于每一个三为数数字作如下处理：
1. 百位数减去十位数
2. 十位数减去个位数
3. 个位数减去百位数
对三个数字都进行以上操作，也就是：
1. 477:4 - 7=-3 | 7-7=0 | 7-4=3
2. 804:8 - 0=8 | 0-4=-4 | 4-8=-4
3. 539:5 - 3=2 | 3-9=-6 |9-5=4
这样就得到了三个向量(- 3, 8, 2)， (0, - 4, - 6)和(3, - 4, 4)。这三个向量表示了这个房间的移动轨迹，将转换成直角坐标的表示房间初始位置的坐标（可以看成向量）依次加上这三个向量，即：
(18, 12, 17) + (- 3, 8, 2) = (15 ,20, 19)
(15, 20, 19) + (0, - 4, - 6) = (15, 16, 13)
(15, 16, 13) + (3, - 4, 4) = (18, 12, 17)
可以看到经过了三次变化以后又回到了原来的初始坐标(18, 12, 17)。每个房间也就是根据这个规律以(18, 12, 17) --> (15, 20, 19) --> (15, 16, 13) --> (18, 12, 17) -->…的轨迹移动的。
·一段时间内房间的位置变化
根据坐标变化所显示的，每个房间其实都在周而复始地按照固定的轨迹移动。要想知道所处空间的位置，还必须有参照物，也就是必须至少知道一个邻近的房间的坐标。例如：
坐标为320, 176, 223的房间（记为房间1），直角坐标为(5, 14, 7)，以 (5, 14, 7) --> (6, 8, 7) --> (8, 9, 6) --> (5, 14, 7) -->…的轨迹移动
它右边的房间214, 168, 104（记为房间2），直角坐标为(7, 15, 5)，以(7, 15, 5) --> (8, 10, 6) --> (5, 8, 2) --> (7, 15, 5) -->…的轨迹移动
它上面的房间254, 303, 017（记为房间3），直角坐标为(11, 6 , 8)，以(11, 6, 8) --> (8, 9, 7) --> (9, 6, 1) --> (11, 6, 8) -->…的轨迹移动
从这三个房间各自的三次移动中可以看到它们并不总是相邻的，换句话说，只有当房间1到达(8, 9, 6)，房间2到达(8, 10, 6)时它俩才是左右相邻的，也只有当房间1到达(8, 9, 6)，房间3到达(8, 9, 7)时它俩才是上下相邻的，其它时间内3个房间都互相分离。不是所有的房间同时一起移动的，但它们的移动是相互独立的。这样Cube就存在一个初始状态，这个时候所有的房间都停留在它们的初始坐标上，之后房间会各自移动，经过若干时间后还会回到初始状态，这个循环可能需要几天时间，完全取决于Cube的大小，这也会影响对到达“桥”所需的时间。
·“桥”和出口
“桥”其实是一个房间，这在上面已经说过了，在其初始位置时它连接着外壳和内部大立方体，出口就在“桥”内。“桥”的Y轴坐标为27，而其他房间的Y轴坐标都不大于26。“桥”也像其他房间那样按照固定的轨迹移动，这就意味着只有等它到达其初始位置时它才是真正的“桥”，人才能通过它走出Cube，其它时间内它都在大立方体内部的其他位置，因此必须把握好时机，错过初始位置之后就要再等一轮循环。Leaven把Cube比作是保险箱的锁，只有所有房间到达它们的初始位置时，锁才能打开，然而接下来只要房间一移动，锁就关上了。因此想要找到出口就必须先找到一个处于大立方体边界面的房间（某个坐标为26），然后沿着边界选择房间进入，最终找到“桥”，再等它回到初始位置，才能走出Cube。

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