采用圆形齿轮的非线性传动

动静之机

原问在此，回复不多：

求传动比
% h  F- O1 V: k! Lhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=331458

单开一贴进行回复，原因：

首先，出于自私。呵呵，自己的娃儿，咋看咋好看，到理论探讨板块秀一个。

再者，没收到玉，惹到砖头，砸出点灵感，也不错。

最后，预防健忘。开个独立的帖子，将来好找 (本文末那动态gif图的旧帖就找了好久)。

原问题可以简化（变形）成这样：

AB为齿轮1偏心量，长度为r

BC为连杆1，长度为b，等于齿轮1分度圆半径R1+齿轮2分度圆半径R2

CO为连杆2，长度为a，等于齿轮2分度圆半径R2+齿轮3分度圆半径R3

OA为输入输出轴间距，长度为s

齿轮1偏心转角记为α
; s" u7 G/ z# e, i

两个连杆夹角记为β

作辅助线OB，其与水平方向夹角为φ，与CO即连杆2夹角为θ
过C点作水平作辅助线，与BC即连杆1之夹角记为δ

这个图是随便画的，和原问题不太一致，反而藉此发现了个尺寸链问题：

a+b>s+r      （偏心轮转角α为零度时，两连杆足够长，不然为无法连续运转）     

s>r+R1+R3+2m   (m为模数，偏心轮转角α为180度时，齿轮1、3不得相撞)

; F: e: g6 z1 D6 M6 \6 C6 o& l

继续： 设齿轮3的圆心O为坐标原点，齿轮1的圆心B的坐标为（x，y），则：

x=s + r Cosα ------- 1

y=r Sinα         ------- 2

, l) q" S9 u& e3 v2 Q
( l5 U+ T; B7 `) W
' Y1 \4 T# c5 ^' b& L0 D/ H

齿轮1动作可分解为绕自身圆心的转动(作为输入转速)+自身圆心沿着

偏心作平动(引起了连杆1、2角速度的变化)。 齿轮1绝对角速度为转

角的导数，记为α'

. S2 I4 u3 X$ o. x( J

连杆1的绝对角速度为转角的导数，记为-δ’。为嘛是负的？呵呵。

连杆2的绝对角速度为转角和θ的φ导数之和，记为θ’+φ’

0 z; n( H3 B, j& ]

现在，大家都站到连杆1上面来看：

齿轮1相对连杆1的相对角速度为 α'-(-δ’) =α'+δ’

则齿轮2相对连杆1的角速度为 -u(α'+δ’)这个u是连杆1上的传动反比(z1/z2)   

则齿轮2对地的绝对角速度为 -u(α'+δ’)+(-δ’) ，简记为T

4 D) e7 X% k, V# J# S5 X* s* F) K5 ~

然后，大家都站到连杆2上面来看：

齿轮2相对连杆2的相对角速度为 T- (θ’+φ’)

则齿轮3相对连杆2的角速度为 -v[ T- (θ’+φ’)]这个v是连杆2上的传动反比(z2/z3)  

则齿轮3对地的绝对角速度为-v[ T- (θ’+φ’)]+θ’+φ’

' [) b( \5 q! _$ m
) Y) x% a( ^- k8 T! q# G

由于原例子中u=33/30，v=30/33。如果马虎一些，可以认为u≈v≈1

于是，齿轮3对地绝对角速度可以简化为

-1[T-(θ’+ φ’)] +θ’+φ’

=-T+2θ’+2φ’

=-[-(α'+ δ’)+ (-δ’)] +2θ’+2φ’

=α'+2δ’+2θ’+2φ’

= α'+2(- β'- φ'- θ')+2θ’+2φ’

= α'-2β’

, b  l0 E- q& s1 l2 p

一句话概括：输出轴的转速约等于输入轴的转速减去连杆夹角变化率的两倍。

好吧，如果两级的传动反比u≠v≠1，那精确结果将是：
, s$ Y' d. [3 P! @

-v[-u(α'+δ’)+ (-δ’)- (θ’+φ’)] +θ’+φ’

= vuα'+ (vu+1)δ’ +vθ’+vφ’ +θ’+φ’

= vuα'+ (vu+1) (- β'- φ'- θ') +vθ’+vφ’+θ’+φ’

= vuα'- (vu+1)β'- (vu+1)φ'- (vu+1)θ'+vθ’+vφ’ +θ’+φ’

= vuα'- (vu+1)β'+ (v-vu) θ’+(v-vu)φ’               

= vuα'- (0.5vu+1+0.5v) β'+(v-vu)φ’  注：θ’= -β'/2

汗
' v$ S# M. Z" R# J, c

不可信？

这就是俺发这个练习贴的原因，是对这个问题的简化:

一个简单的考题考倒一大片! ---- 续IV

http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=332243

# t) L1 {' Z- F; v4 a3 x$ t8 i心算即可解决这个简化问题，分四步操作：
: b' ], z. U5 L  J! ~4 c3 v" ?7 y

1.     把摩擦轮1用绳子绑定在连杆上。无视板砖，直接把右部连杆1从水平态

            顺时针折120度，直到轮1轮3接触。那么轮2跟着转了120度，因此轮3逆时针转了120度。

2.     绕轮3中心整体逆时针转60度，达到终点的位置。此时由于轮1还被绳子捆牢，因此轮3继续逆时针转60度。

3.     由于轮1 被绑住，被迫先顺时针转了120度逆回60度，因此现在解开轮1

            的绳子，必须先将轮1继续逆时针转60度，才能恢复到起始位置的角度。

            由于摩擦轮之间的纯滚，轮3继续逆时针前进60度。当然轮1得轻微脱离轮3，不然转不动。

4.     然后轮1继续转动(2r/2πr)360≈ 115度，以模拟滚过来的过程，那么轮3还得逆时针转115度。

因此轮3逆时针转过了120+60+60+115=355度。

6 w6 g0 s6 U: X9 ~

若用前面推导的结论直接计算(因为此例干脆没有偏心的疑虑)：

轮3转过的角度等于轮1转过的角度115度减去连杆角度变化量的2倍（前面不是说转速的吗？两种转速同时积分，就变成转角啦），但因为变化率是负的(夹角减小)，所以最终又变成加喽。

即轮3转过了115-(- 2x120)=355度

0 s$ H) G( M% f# ]* M, l
+ s1 x, p  d  T% J

前面的证明中设了那么多参数，最后都没啥体现，有点那个小遗憾。

这和盖楼差不多，大厦建成后，脚手架就可以拆除了。。

禁止联想：帮忙打下江山了，也就该滚蛋了。。。

. D' w, F( D7 R# ^8 _# V

附：输出即时转速精确表达式里 Β和φ的导数求解过程：

; N) S4 Y; s0 a, E+ s
大汗淋漓:L:L:L:L:L:L

最高转速和最低转速及其位置？

转速式子继续求导（即角加速度），令结果为零，找到极值点时的α值，代回。。。。。。

. `: s! c# u$ C8 }7 E* A& S位置、速度、加速度图像？综合使用上述系列数据，用N多种软件绘图。

感兴趣的同学继续啊~~~俺就要支持不住了。

) O4 v5 @/ ^% K6 R  i$ ]2 x



这是上回用这个搞笑图的帖子:
  A- r$ b4 a+ x8 L6 n这个六杆机构滑块的位移能不能用函数表示出来
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=267205
+ ~+ [3 T" |2 s% _
6 P( U; f" t( e  b5 ?觉得有启发的，给点支持哈~

后记： 桂花暗香同学给了Proe模拟视频，转成GIF如下：
（请注意，动画只是循环播放主动轮第一圈的情况。）
$ n" v7 h  U, X% u9 o/ r

0 |* V# T0 E8 {  X

angel1399793

给大神跪了

qdtruck

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; K9 U. ]# M. s# M4 I, w老鹰呢，加分额！

子子61961

' Z2 Y0 t$ G* G
) z* I' f8 w) r7 `0 f进到那个六连杆计算的帖子里，看到了久违的帖子，那贴子之后，第二页还有那位楼主对俺的致辞，一年前的事儿了，日子真快。
' Z; Q7 j5 E0 b" F俺和那个楼主同学QQ交流过，给他上了一课，不过他的问题俺解决不了，那可是硕士课题，不过俺给他提供思路和工具了，呵呵。

: `) i/ _  L# e* K5 b$ s: Z& a

6 _5 V( g5 A) a  `/ W, h+ Q7 t/ X
: w) M5 @5 S/ J' O6 z; k-----------------
楼主画的简图里面，A点的位置太不好了，轮1绕着A点转动，一下子就撞到轮3上了，应该画远一些。
/ q# M7 V1 ?" l" I' N0 w另外，对于偏心齿轮，直接用圆柱齿轮来偏心加工，俺也没啥信心，向海大侠担心的那样，估计会有撞齿的可能性。

chenqibin

能问一下这个机构是用在什么 设备上的？

das13

开始我就感觉，大神的题目肯定没这么简单。。。。

东海fyh126

就是机构简化图中齿轮2,3颠倒了，，，，，，，忙了大半宿，发现得返工了。

下雨了zmy

膜拜

anthony1989

厉害加佩服，看完都不是件容易的事情%

虫哥文集

一般用在什么地方的？