请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题

easylife

如下面的俯视图，

平台为一刚性水平台，由弹性支撑件P1,P2,P3,P4支撑。工作台重心为图中W点。总质量为W.
+ ?- ^. v* Y$ \  L$ @: m( W几何尺寸如图中所示.
, n  P: C# \2 }1 {1 t' M" K0 i请问怎样计算各个支撑件P1,P2,P3,P4的受力大小？

3 R7 ?( K2 E% z$ q

李赣

1、受力
2、力矩
平衡

easylife

1、受力
2、力矩
3 I3 e0 M& i$ d4 B平衡
( B! {! E; A6 {2 Plit_hiker 发表于 2009-9-28 15:51

5 w- c9 N7 }' L+ T( y' e不知道怎么建立力矩平衡方程，能详细讲下么？
谢谢

小白菜

可以先把同一侧的两点当成一点，算出来后再把合成一点的两点的力再算一次，高中的同向平行力。

李赣

把旋转轴设定在两个支点上，这两点的力的力臂为零。

草原蒙狼

楼主需要补补课  上述用平面汇交力系可解  授人与鱼不如授人与渔

请看下面  力学教材
+ S' ^! U( D# q) y& }5 s- i2 U4 g
2.1 平面汇交力系
: ?, Z: v- s/ a. F
平面汇交力系的工程实例：

' X" T& M1 j5 `. N6 K3 O  f, w( L

2.1.1 力的分解

8 N+ j6 S+ t" ]  \" l# p" |* e( A按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
* v; ^5 M8 k! h7 e6 E3 G6 I
但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
% u2 E  z9 x0 o# F8 j3 n- [2 v8 L
2.1.2 力在坐标轴上的投影

# [5 V0 L5 v; y


. q& w  o* g# X$ Q+ z, U- p注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。



  C- }% v# l/ N7 o5 y$ D2.1.3合力投影定理




1 T- u! q8 `# J- }
2 m4 h( b, Z! U, z( T1 y
9 z4 |1 L% J/ i  \, j( X" L; \5 I


+ t. m  k1 P" |' m合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
- t) _  {0 \: v. r. B0 `
0 O8 v. i9 a0 k5 d. f. H2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
+ w" v& B4 Y) S) L/ ^
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即
4 w( ~! G( T7 B! W

0 P  {8 Y+ v' d7 B! h  t/ R
即
# e' e! l4 c) x7 o% [! Y% P8 e1 ~
3 h: F; C9 x6 i9 I. b0 t# q& Z) s) O
4 ?+ W: _" t' n# Y7 P7 r2 V) @' W- x8 i

- w, |* j3 s+ u% C1 ]7 @8 V力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）



例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。



$ w% R+ b6 |! k- W7 q) |解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
/ N: |/ D; i6 \$ E) h! R4 g. H


9 i. R- O, B. \解静力学平衡问题的一般方法和步骤：

1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；

7 q: S6 T; u% e9 }2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
# z/ y, V# R! Z3 d* S
3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。

在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
( r/ k0 W: ^, ?  `& D* D+ }( S( U
) l/ O/ K3 R/ `6 O6 B0 }2.2 力矩与平面力偶系
& a0 _" T3 v% [0 ]7 Q' ?
# \+ ^& I6 I1 K. W9 t2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)
6 m" ?  F/ q5 c/ Y  @
1.力对点之矩的概念

为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。
/ E' P4 y6 O+ K/ R6 k7 @
) N, Z$ ~: Z) [/ m

力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
2 ^* m; {" H# }
一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
2 C$ r& F8 E4 Q8 ?% Q, J0 c  X/ T
$ A4 I% A) R% i, ?% O' A

Mo( F ) = ± 2△OAB

力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
( \6 h* Y! }( J# a0 t0 a8 D
矩心不同，力矩不同。
- J( O8 F" H7 |1 z7 a
+ S( J3 t7 T- z" l规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。

* p  O# }' p* i) Z# S+ f$ R: R力矩的单位是Nmm。
8 B  c& u0 `  U0 D
3 m. J1 v# @* E& o6 M由力矩的定义可知：
' m1 x( [! |: T2 R
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
3 q6 _! W% U. b2 o
（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。

力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。

2.合力矩定理

设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。



计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
0 c0 J( x) v' t$ M2 O/ i" P7 ~
6 b) `0 \! X! P5 hMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

0 \6 p7 n+ l0 C$ K! }Mo(F2)=F2yl

Mo(Fn)=Fnyl
& @6 \* e1 E8 v2 r( M& N9 f8 m
5 e" k0 s2 r- \; P由上图可以看出，合力F对O点的矩为
" O# I0 |4 L' Y7 `( x- I4 {
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
, Q# T" g+ F5 J
' g7 `5 h# b9 u4 ]# [, A据合力投影定理，有

: `4 j: f6 u" ?/ E0 v; |Fy=F1y+F2y+---+Fny
+ ^# }, ^) ^) o: j' N
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
. L: P& _) {. O: s$ i
4 S6 l! e# I/ J8 {即
8 @% z9 o! t4 y; e' ^
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
" X. y, d8 Q' F7 o' r
' u% r; T2 W- @
6 M$ g5 @8 h* W
! M( d% ^' Y1 I合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
2 Y4 H* w9 r/ n# t
! G8 H, X0 `$ r3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
2 X# F6 p1 ^! T. h1 @  Z
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
2 S& H5 Z1 U6 n) N1 X3 ^. E
  t$ V9 P0 W6 b注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
1 B9 W* W; N2 P: {7 {
) v6 V  W8 Z; L$ N# s3 _1 e& H1 g（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
) ^2 ^2 Z- N) Z/ R8 x$ y  ^; r
7 R7 _5 |& ~* |$ C& A+ L' D" }1 |例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。

" y9 j) X) g7 ~
8 R, ]: z+ m7 J. T4 O7 B
解 （1）利用力矩的定义进行求解

( M0 s" q" c1 p- X

如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
' C& `  G+ T  ]


+ d) k. d8 i9 {% [5 E8 }（2）利用合力矩定理求解
7 }/ g5 m5 q" D3 y+ h
将力F分解成一对正交的分力
! n# a$ D' o6 ~
3 h! r# H5 d" G4 _, K) S- g& p, X4 Z

力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即

! U7 T! [( u% s& bMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
9 Q* `3 h" C) N& W/ P5 `
& T/ ~( k8 t/ R& j+ F" j) b$ J2.2.2力偶及其性质

1.力偶的定义
8 W3 q  Z4 W# f  ^/ `
6 n4 m  C" }2 ]. a( n在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
* V* `/ z- o1 k8 u- @" L0 V1 t: h

0 ]2 d# x# i0 p5 Q; C! [4 k
" ~% _/ o( z, D+ F% a8 B力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
6 i$ @. B% l  h1 @- T4 W8 Q) Z  p3 d% L
力偶作用面——两个力所在的平面

$ V, ]0 u- C# l& S力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d

力偶的转向——力偶使物体转动的方向

( S2 p) P3 {9 P/ G0 d- Y* R力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
4 F" c! w8 Y7 F2 o# N
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
* m' a# k. i" b" u- J, |$ B, u
; O& r. y' f0 L3 @/ R+ s设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为
+ w9 ?( @6 n; W5 t1 Y8 I


5 L; \+ s9 \8 xMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd

, t( p" M% W" D: p由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）

/ E0 N) H$ G* k力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M

M(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
7 u% K! V% M8 s0 T! C
/ }4 d' T: J  H2 ]6 j1 _* E5 r力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
  L2 |* j; M& f
$ \# q7 t6 C4 ~: IMo(F) = ± Fd
* v, U; f$ S& Z# V: q. x' X
7 i5 W4 W! a- C  G2 x# P; f( k! N3 Y% H力偶的三要素——大小、转向和作用平面

2.力偶的性质

（1）力偶无合力。

/ S: t" G: m" j6 p7 O! N力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
& R2 \4 ]* }/ h8 ^9 N
可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

4 o! E" N, \% U/ I7 O6 K（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
6 y7 C$ a( k$ s" K. J& ?4 D! l
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
6 U* t9 L0 L, z9 w) X; s
力偶的等效条件：
8 i$ V+ ^* u* D8 X, b2 v/ M
# j8 \+ Z* ^$ i' p$ [0 z% O! w1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。

2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。

1 T, H; d3 m4 v1 Z$ ?+ g. L& V% ]2.2.3平面力偶系的合成与平衡
; D1 V6 c0 ]) Q9 `
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。

9 g" p7 y+ H- C1.平面力偶系的合成
# [+ l6 b6 {& Z0 \
( ^# R- m# V6 X; A/ T& n例 两个力偶的合成

% L5 D& i& S- j  x+ Y; }5 C% G# |
M=M1+M2+---+Mn
* m. ~1 B0 ?& a* ~- G! d
: c! N/ w4 D; G8 H% m
————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

% L9 q1 w0 C% `& I2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，

例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。

9 P. B- w0 n& W: N
7 b# i9 I) e- t4 d- Q  i, y
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图

FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。

8 }( s1 T4 C: V（2）列平衡方程

( E2 o( B5 f( _+ w0 U   

2.3 平面一般力系

' T. k9 v* ]2 s6 K: M. p平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。



上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用

2.3.1平面一般力系的简化
8 m# z8 R& U% c+ x' U& T
# x2 ?$ W6 B1 F+ Y: ~3 D4 O) ]1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
! s0 t4 i+ v2 B$ E( T7 t% \) N/ V0 n
问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
& C+ [1 H  _. Y) ]6 W
将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
/ D- U& e! T* F8 t1 R7 P

# R1 u; A# }& H8 U. T
0 L7 T6 F1 h& S7 I附加力偶，其力偶矩为

M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
8 [% i8 f1 }6 c7 P5 n$ ]# }' ^
上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
+ b0 ?8 F! ]5 p5 c* q" y% u
于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
' t4 |9 h+ e& S* \9 X8 u9 w( e4 q
力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
- h3 q$ s% A3 T, T
根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。


2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
* Z# C- n; w4 ]
$ L- z9 `: M! F4 F8 c
% d/ A" l% m1 {
9 P5 ~; s% g) K9 F
8 e. o9 z' X3 V. r0 X4 `8 t, t/ J9 y" pα——主矢与x轴的夹角

$ @7 q! c' @+ N- ^8 w3 iMo——平面一般力系的主矩
. q) o5 C2 o6 c+ k6 y9 \* I8 d! w
4 e6 X! t- j; g1 n) R主矩=各附加力偶矩的代数和。
' u* B0 j7 N4 R5 i0 ^
（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
) M3 ~5 W7 a# y! x7 a
/ g' Q  T2 W  F% L' }9 xMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
' {9 _) \$ x# }1 t
, D$ C8 ~: f9 p  }平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
5 b# u* K( G( J! `( u( }
' l1 ^' Q3 \  k  |$ Q/ P5 `    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。
- d( v0 w+ q+ s8 s
: {2 s* t+ k* ^6 W( b4 T" i3. 简化结果分析

4 e& c4 r' c$ `) l- [7 h. W    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

3 h. e9 s6 j, h) Z! c( V$ ?F'R =0, M o ≠0
2 L& z! v( L2 {  i! J$ B, B
, \2 e! q$ B3 E6 l7 |: c+ @. [F'R≠0, M o =0
6 Y: u2 ]  s  W1 C8 `$ L
F'R ≠0, M o ≠0
- V1 e- p8 E* ]7 M  k/ ?& G) L7 s  ?
F'R=0, M o =0(力系平衡)

! }' @, ]+ C1 ]7 c2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件
2 K( d# V! o9 w, [3 s# N
平面一般力系平衡的必要与充分条件为：



  
9 Y% o) d) t+ w4 o) b2 j& X+ v/ B: z: \
2.平面平行力系的平衡条件
& H7 v& @" V  i$ O
! ?9 e, K& X) |平面平行力系的平衡方程为

; Q/ g* S) z* n% O$ ~, s% i+ G) B* Q9 E

+ F9 \  o) r6 `; q  |平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

, A3 E" s0 x7 ?; Z2 a# {5 B) F9 h例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。
5 B" V, q) n  W3 J9 M5 p5 H9 t0 L
6 s5 a1 {; z7 ?' P1 P) k

解：取起重机为研究对象。

7 R0 `$ E2 i  S& }是一平面平行力系

. T. R  u* G: m) j0 x2 r1 }3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

5 y& u$ F  O# I( R( L/ f) \    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力
- b& d( W  L; W1 C% J6 x: l7 b6 \" ^
物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

草原蒙狼

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1 B& ?; V( R; J  {$ F( Z, P6 ~6 B, ^
. l) X, z/ T; ^, c! J- @0 T

2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：

6 W. q0 e! u0 j  g2.1.1 力的分解
' }% F2 t; x" }3 X$ {1 e" B- J0 a按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
3 H- Y1 h. N& ]但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
0 v1 J' H4 w( {  Y8 E2.1.2 力在坐标轴上的投影
4 b/ n3 g9 L7 G) h
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
* C7 q; o1 q. c, r0 s
2.1.3合力投影定理
; P7 P/ P7 X2 A; [% @' I

( k1 \# v0 E3 c: c& J9 _* o

( y1 O4 [* T2 A  |1 t8 v合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
+ y1 q7 \* q1 H5 b" p2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
9 ^- w& `* @1 ^+ u平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即

即

力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
$ z5 p- k4 @+ z& I- _例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）

例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
' a% @% Q3 d: I: n: Q
& Q& N- F, ^" N解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
+ K! x2 E; t$ _: Y* ~
解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
5 e! X6 F; H4 b9 G" ]1 z! P

2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
) Z; G4 \9 n1 c6 k- x& D: F一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
- o& I. @4 ]0 `
Mo( F ) = ± 2△OAB
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
5 T# m6 @! h) y' J# ?1 k矩心不同，力矩不同。
+ @+ `+ h* e  |( V0 B) D规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
+ V% N' C; A/ J7 Y6 g力矩的单位是Nmm。
由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
' l& x8 S+ H( t* V* i（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2.合力矩定理
1 ]# P- e) a4 [设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
& P# A' Q# J8 w! D0 n* `
* r* ^4 b  B7 J* i. S计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
! t" W4 r, r/ C4 hMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
. g6 y# r- t7 a  HMo(F2)=F2yl
: v8 k( ~4 X! }' X9 NMo(Fn)=Fnyl
6 B: W* q. P$ i! n由上图可以看出，合力F对O点的矩为
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
据合力投影定理，有
9 {! Q2 z) s- M" v' e* fFy=F1y+F2y+---+Fny
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
6 y9 t7 {% S, U8 n: l7 s即
+ }/ v. m( s- DMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
$ _" y7 `# W+ G! S* ]
- d) J; e& a$ i2 U1 K合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
+ r% z, |! F8 a6 O3 _: J5 C& \& A4 l3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
: Y. P3 T* V; H6 l注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
% O& ^( K$ [' [# v% z（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。
0 F  {' O' j9 w* v; F
解 （1）利用力矩的定义进行求解
/ c4 n! u) _# ^
如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有

（2）利用合力矩定理求解
, w% W5 B2 S& M2 M! f; |# X将力F分解成一对正交的分力
! Z7 y1 @% P" ?& z% A) U
力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
! p7 y% o3 U% ~' {Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
0 }5 G. O4 u' Z  b6 w$ O0 ]2 e2.2.2力偶及其性质
1.力偶的定义
8 o  m2 @& |% d. t0 l在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
# T# A. k5 C8 f6 J3 B% h
力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
力偶作用面——两个力所在的平面
力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
) s; r! d' }) U" J3 \) F力偶的转向——力偶使物体转动的方向
力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
3 Y% I( l" h# G. w) \0 X2 [( ?$ d8 e力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
& Q/ w& W8 U3 M由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
0 Z+ V  V; w* U5 f6 I. @' }4 dM(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
. A' H6 Z* p8 u3 q- A  V: FMo(F) = ± Fd
, i" j3 w5 t% I7 V7 l) K/ i9 f$ i力偶的三要素——大小、转向和作用平面
2.力偶的性质
7 g, K0 b7 q9 t( P3 M3 E$ y（1）力偶无合力。
7 B  g+ _: F( F+ j力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
! q# l2 H  }+ p! m7 u$ ^- T可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
9 V  a" O4 g( C. \2 Y4 J（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
- \7 q( ^3 Z+ x8 z3 I. o; ^- P力偶的等效条件：
- u, ^  Y, C% c  @3 d5 d$ Z1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
, a* g: C3 E5 h/ j6 R2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
7 \( L. V1 N9 [* D" Z  c; j1 j2.2.3平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
1.平面力偶系的合成
例 两个力偶的合成
, [% _( O& U7 U: y

M=M1+M2+---+Mn + v4 e. c% Y5 R

0 n2 v4 [) X9 I/ A7 n( ?————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
; r  _* l- Q% d例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
: |4 l! i8 y8 I$ M, P7 s* N
! v, T4 i+ T3 }8 D1 B解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
. r+ ^- e3 u6 VFA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
. ?& S: k4 G# d（2）列平衡方程

& q! G! t/ q  [6 B# e

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
/ S; X* x( L5 [+ X( r
& x  Z& x, I0 d- d/ X: t2 P上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
2.3.1平面一般力系的简化
1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
% H8 S6 Y1 T# ^9 {将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，

' ?9 w2 K: Z9 T. b: q: U附加力偶，其力偶矩为
! x' [1 V) d: x3 dM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
: X% K& _7 j& y5 v0 H3 ~; h4 v! f上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
: }/ O3 C5 ^: P7 ?于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
: Y% e9 M+ p) J/ T6 {力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
! h1 e: t# h% N
" [- i; @$ }) x+ ^4 a% A. z( A: K2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
8 d  s& y  Q$ V+ i
$ e" c1 z8 ~% Y( Uα——主矢与x轴的夹角
: h+ T4 }4 w/ D7 nMo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代数和。
（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析

    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：

, b1 ?6 X  A! I
' J0 l5 R) Y5 F6 K% ]! G1 ?  s2.平面平行力系的平衡条件
" d. g$ A3 n: A  Z% M平面平行力系的平衡方程为

+ Z* T( j: g1 c- l2 v

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。

解：取起重机为研究对象。
是一平面平行力系
# f- J/ s5 ^6 g5 p! O

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

无能

依图为空间平行力系，其平衡条件是：
P1+P2+P3+P4=W
" ^' V5 C+ _$ V" @6 p: t+ r. ^WB=(P2+P4)A
% @& S$ ~) W1 n3 f3 L0 eWD=(P1+P2)C
1 j4 z6 X2 U% b1 a6 x3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
对钢而言，因为其弹模E高达200Gpa，在静不定的情况下，某一构件长或短若干微米，受力情况就面目全非（比如Φ50X4长100的钢管，其弹变10微米，外力变动就达1吨多，不可谓不大）。所以此题若将支撑改为3个，即变身为静定结构，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
! t1 j6 k" b( {5 Y1 b, o# X$ S佩服.......無言!!