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标题: 一个有意思的题目，微积分的力量 [打印本页]
作者: pacelife    时间: 2017-7-13 12:08
标题: 一个有意思的题目，微积分的力量
        题目其实比较常见，和机械中的某些概念也有互通之处，大家画图累了不妨做一下换换脑子。4 B( g% {  P/ m( U% U6 P

, }, _( D" H/ I, w% N. i  x9 o      非洲草原上有一条南北向笔直的河，一只羚羊在河边喝水，其身后距离为L处有一只虎视眈眈的狮子。某时刻羚羊发现了狮子，立刻以速度v向北奔跑，狮子迅速以速度2v奋起追击，方向始终对准羚羊，试问狮子经过多长时间能够追上羚羊？要求画出羚羊和狮子的动态行进轨迹。
5 v/ k2 S8 y& ^3 m5 K+ C  v
3 o6 B) K1 y0 H8 o( |& T5 ~- v5 @9 ?      晚上回去把我的解法贴出来3 m9 k" p5 H, z( ^7 o5 e
% j% @% s! l! H1 z) P( b% T

' ]8 a! m# f4 \
2 g. w! g" Q4 g- K' r
) e. E2 M, H1 H$ r( @
作者: 铁未销    时间: 2017-7-13 13:28
本帖最后由 铁未销 于 2017-7-13 13:30 编辑
; Y+ D6 T* @5 p3 G7 j1 a" z
+ h2 x0 C& J" R4 f$ O难道不是t=L/V？3 D& ~$ o! ?1 c2 r
作者: pacelife    时间: 2017-7-13 13:33
铁未销 发表于 2017-7-13 13:28
0 {  ]" Y7 N2 v; e* r/ }难道不是t=L/V？
5 U# Y1 I% J3 c4 c2 \, ?+ R
逃跑的方位你没搞清楚8 \: {; t( c& g: b) X. }5 m
作者: WXB4006    时间: 2017-7-13 13:49
有难度  ]3 {3 u+ Y9 Z3 h5 V
作者: 忽乐极    时间: 2017-7-13 13:51
别最后来个冷笑话就行
作者: 那年夏天521    时间: 2017-7-13 14:11
hehe
作者: 挨拍的5    时间: 2017-7-13 14:16
永远追不上的
作者: 铁未销    时间: 2017-7-13 14:16
pacelife 发表于 2017-7-13 13:33
8 ], r) r* ^& b逃跑的方位你没搞清楚

. b3 M! W7 P* T1 [好吧，看来这个身后是东西向的了
* U6 Y/ e9 W2 e" R& R( X  }5 p9 s" [$ T- B7 J
作者: 只有快乐    时间: 2017-7-13 14:44
近乎于一条曲线，无限接近于0点
作者: 挨拍的5    时间: 2017-7-13 15:52
很明显要用微积分的知识
作者: xiaobing86203    时间: 2017-7-13 17:35
数学的力量是强大的~
作者: 梦回旧时光    时间: 2017-7-13 18:08
狮子运动轨迹的切线方向一直指向羚羊。
作者: 水秀天蓝    时间: 2017-7-13 18:15
导弹的模型。
作者: 水秀天蓝    时间: 2017-7-13 18:17
这个应是一个二阶非线性微分方程，可转化为一阶方程，并且存在解析解，甚至是显函数表示的。
作者: 苏州装配工    时间: 2017-7-13 20:51
结果是（2/3L-2）* 根号L？
  X; f3 D; [1 E/ u) g) O" @' g, f# U( X5 [2 H4 L

, x' J& N" b% v" U, p
作者: 杨冬冬    时间: 2017-7-13 21:06
dy/dt=2v* (L-y)/√[(〖(L-y)〗^2+〖(Vt)〗^2 )],当t=0,y=0；解这个方程y=L，就得出时间。有没有解析解不知道，但我们是工程师，数值解法搞定
作者: pacelife    时间: 2017-7-13 22:00
本帖最后由 pacelife 于 2017-7-15 08:38 编辑 3 O  ?6 I5 [$ C. n9 P* d
8 B8 {6 Y# v& u9 t! o- L+ ]
解析解为：/ P# }! ?$ c& d, b$ E% Q1 V
[attach]427922[/attach]
+ v3 ]6 }2 C( L9 L# A, F& V$ t
* ~9 i  v% Z" Y6 a; E1 I下面动画为L=100，v=1的情况：* c( G9 H, d3 D; ?( [% \9 R, M! Q
表达式为：5 j  t# m9 t. E& B& t  ~# r" x/ }
[attach]427920[/attach]7 e, j3 T2 V" ]- K5 ?% q" W+ J! j' ^
因为x值为（-100,0），所以表达式中会有个i，+ s6 B. v  `% a0 l
按F5刷新一下看动画，4 ~  U. I- c3 N0 i% \. u5 w% s

8 Z: W# F* F% q0 L" C[attach]427919[/attach]
作者: 水秀天蓝    时间: 2017-7-13 22:47
转化为极坐标是否可行，好像求导变换蛮复杂，可能真要Maple才行。
作者: gerrard    时间: 2017-7-14 09:08
试着解一下2 Q0 i$ o1 @/ {7 z# Q  l

7 l/ e# ^4 f4 r' J; k4 r# m; `
作者: pacelife    时间: 2017-7-14 09:39
我的解法：[attach]427846[/attach]/ j% X& {5 A+ C, z4 w$ ?

/ T( F, f2 V2 Z9 U6 `5 {; W5 Q) _2 g! @

$ o& Z- ^2 R. ]1 T' E' ~5 k9 t* R3 B, z( }# H. k
作者: 动静之机    时间: 2017-7-16 00:47
回去翻书，网搜，找到有关资料，复习了一下。
( t, ?$ Q) P0 E/ k 抄作业如下：% _8 A$ O7 R4 V' n! b' y
[attach]427993[/attach]
2 v6 p. u4 g8 c  z( R# `- z7 A6 g" h( M7 h
动图， 俺就不会画了。。。7 q1 M& X' T; T; u. H: [

$ G: g$ e- w" T/ t1 M
作者: 动静之机    时间: 2017-7-16 10:50
昨晚一犯困，没算时间，如果是考试， 又得丢分。, ?! z/ A9 g6 x! o
[attach]428020[/attach]
$ I5 H8 n( D. e; }1 |' v% m; ~6 {( m8 h

. f0 }% r0 |8 p狮子确实是花了同样的时间，跑了两倍的路程。
( w3 O* \1 Q/ h, Z7 c' x5 B' K
没办法，都是为了活命。
阿弥陀佛。。。。。。
1 B# S: \3 u2 H& @* ]" Y
6 [. q! o+ a2 P

. X2 x3 W% A6 u$ p7 m/ H5 n" [
% ]8 Y/ ^' E1 z1 H+ c. n0 k
作者: 我是乌鸦啊啊啊    时间: 2017-7-16 13:21
pacelife 发表于 2017-7-13 22:001 J0 [7 a8 s3 x
解析解为：

" x. X' ~. L5 \+ S0 i那最后这个题的答案是多少啊，方便把动图的代码贴出来嘛6 Z9 p3 o; Y( n# q# M
作者: zhuzai    时间: 2017-7-16 14:23
pacelife 发表于 2017-7-14 09:399 o9 a1 h+ X: {4 U" {
我的解法：

& Z- g6 ^) ~" I3 j能详细点吗？  c% J* |* M; ^9 q, x. K; j9 P
作者: 我是乌鸦啊啊啊    时间: 2017-7-17 17:54
我是乌鸦啊啊啊 发表于 2017-7-16 13:21
; ~+ W5 n' c+ W( e# b那最后这个题的答案是多少啊，方便把动图的代码贴出来嘛
! n  [$ L" D( _
恩，有看到，那个动图是用Mathematica做出来的吧，想看看代码可以嘛6 f4 C% d4 e' t/ A2 H$ J7 U3 z3 n+ i
作者: 肥啊肥    时间: 2017-7-17 19:48
pacelife 发表于 2017-7-13 22:00
# s5 }5 g& U+ @4 x7 T2 o" y( i: N1 i解析解为：
, E1 O2 K8 H1 {* Y# B/ U
能把动图的代码发一下么，应该是mathematic吧
' C- s/ M% l; O3 f# [
作者: 段学斌    时间: 2017-7-18 20:21
求mathematic的代码
作者: pacelife    时间: 2017-7-19 22:05
我是乌鸦啊啊啊 发表于 2017-7-17 17:54
3 w$ ]$ Y4 ?, U7 I3 C4 U, C& S8 P恩，有看到，那个动图是用Mathematica做出来的吧，想看看代码可以嘛
2 b/ L0 A# ^0 J
K = DSolve[{-V/(x*f''[x])*Sqrt[1 + f'[x]^2] == 2*V, f[-L] == 0,
# k/ ~5 Z1 ^* E& p    f'[-L] == 0}, {f[x]}, x];
& o' h0 i, |: k3 o6 Y2 SM = K /. {V -> 1, L -> 100};
8 I% V; Q3 u; k# ^; N% X  O% }Manipulate[
4 E; H6 q5 h* x( v' f3 k0 r Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0}, 2 X; w$ g& ?$ x; C& g
  Epilog -> {PointSize[0.01], Black,
( [% X% J" D4 o+ J6 R    Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0, $ ?' t( A  {# N7 Y; [  O# J) ~
       M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed,
$ Q% W1 ^! d+ h" ?! Q. v    Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
" k6 h. S9 c8 M/ p; R8 E       M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a, -100,
3 t9 N/ M, T/ H( e' T6 n; ^0 d  0}]
8 X; @- m6 ~- O  L6 X6 C, q9 UExport["1.gif", # w9 b* U" N5 ]% m$ c
Table[Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0}, ) G3 S9 [" J% L' v! m4 b
   Epilog -> {PointSize[0.01], Black, 6 h! v+ {' @  u: \) ~; p  b
     Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
9 Y& u2 A1 }7 J: z$ h4 u        M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed,
# O* l- O, ?. w      Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
# m3 h. ^' E9 [- C0 i( q        M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a,
; _" |& u/ E, C4 p: R) K   Join[Range[-100, -1], {-0.0001}]}]]8 x' d8 C/ G$ y4 P- r

/ X2 L  H% T% C
作者: myfunction    时间: 2017-7-21 18:03
学习了。
作者: 快乐ipk    时间: 2017-8-7 22:33
太好了，非常感谢楼主的分享!
作者: qq5847271217    时间: 2017-8-9 16:38
不是很懂你们，也许是我太傻，我这么看：
+ k' z/ ?8 E+ e/ b1 O; b 狮子位于0，
8 z* p  @! \, @9 b; A+ U7 b 羊位于L
: r/ F7 d/ @( V8 ^; U9 A5 y' ~ 羊最终被抓的路程为S1* {# n3 Q) A! B$ ~
狮子最终路程为S1+L
) ]: `; ?1 [0 v1 c S1=Vt
5 T1 ?1 y# ~: `$ G S1+L=2Vt
7 a+ ^2 t9 b( R. V, i1 a" U 可以得知L=VT
6 j3 J2 l7 D1 x5 p+ `0 j  D* {9 ^; N7 f+ e- W$ N! e

& X) O0 t' p$ N1 H4 D2 s然后画位移与时间的方程图，是两条相交的直线。然后还有啥？



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