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标题: 弹性力学中的一个问题 [打印本页]

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-23 17:12
标题: 弹性力学中的一个问题
这两天重温弹性力学，又把之前没解决的问题给想起来了，连着三四天自己没法给出解释，陷进黑洞自己出不来了，睡觉都不香了，现在求大侠抽醒。
: C% ~0 x+ a2 Y4 ~& p$ H% _& ?% |极坐标下的应变问题，
$ G0 T) @2 ~2 C& U  U' X图中的这个环向的应变，大侠们肯定都知道。现在就是前面"v/r”这部分应变问题。照本宣科，照书的方式理解没有问题。
7 I7 P: c" s' Y6 {: u但就我自己想，想出问题来了。位移函数v是r和θ的函数，a点的环向位移v（a）=v(r,θ)，d点的环向位移v（d）=v（r，θ+dθ），dv按第二个图。

这建立在位移函数的r和θ的两个变量是没有变形前的坐标，在没有变形前a的坐标就是(r,θ)，d点的坐标就是（r，θ+dθ），两点的变化只有dθ的变化。

$ H$ q1 J3 Q6 E9 U3 b难道是我认识出错误了，位移函数是变形后的坐标？既如此，dv应该是第三个图。
9 q+ L9 A% x2 F6 l7 ?
& e9 i5 I/ z+ d) \/ W也是没有v/r项。
0 S8 O$ T4 ]1 I5 u9 A+ {
照书中理解，这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）俩点引起的弧长差，这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标，一个是变形后的圆盘d点的坐标。
' W, W( b& f7 C: q( s# A4 k+ o( P
矛盾点是，单从函数v(r,θ)上说，无论r和θ表示的是变形前圆盘定的坐标，还是变形后圆盘定的坐标，dv都没有v/r，除非一个是变形后的坐标一个是变形前的坐标。求大侠把我从牛角尖里拉出来。
1 z! _1 r  R3 j. T9 d0 X
2 S; C2 N) M8 D& ?$ h
补充内容 (2016-5-24 09:00):
发帖，错把u/r打成v/r。

4 C4 J: l0 v+ \. R  q! R补充内容 (2016-5-27 12:31):
: {% [7 W' G- }/ |2 X$ a纠结已经解决

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作者: 云制造    时间: 2016-5-23 18:56
照书中理解，这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）俩点引起的弧长差，这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标，一个是变形后的圆盘d点的坐标。
; H# ^5 |5 X- l- ?' x8 l1 _) u1 i
你这个就理解错误了，没弄懂书中意思。环向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)两点变形后的弧长差。
( {  x# b% Y9 u5 c# M
位移函数是变形后的坐标？这个你也理解错了，位移函数描述的是变形的大小，跟变形后的坐标没有关系，要有关系也是一个点变形后的坐标是原始坐标加上位移函数的值

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作者: 云制造    时间: 2016-5-24 08:42
两点的长度变化是dv，原始长度是rdθ，所以只有环向位移引起的应变为dv/rdθ，不知道楼主纠结的v/r，在哪里出现？

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作者: 云制造    时间: 2016-5-24 08:46
如果是图上的v/r，这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

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作者: 云制造    时间: 2016-5-24 08:55
v/r只是表示每一个点的角度位移，就是说，每个点移动了多少度。v=2πr，说明一个点旋转了一周，楼主说过的 v/r”这部分应变问题，理解就错了，这不是应变。跟径向应变一样，要求的是两点变形前后的长度差，而不是一个点的位移，如果两个点同时位移为du，应变就是0。不要将位移和应变混为一谈。比如刚体位移，就没有应变。

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作者: 云制造    时间: 2016-5-24 09:03

云制造 发表于 2016-5-24 08:46
4 o  ~; o* P/ l如果是图上的v/r，这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

% ?: n, s0 d/ }$ }; B1 `) su/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点之间的弧长，不就是（r+u）dθ，而原来两点之间的弧长是rdθ，所以应变是两者之间的差值再除以rdθ，就是u/r
. l; I9 l5 r: |- x  X: _  R

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作者: 云制造    时间: 2016-5-24 09:13
楼主要用物理场景来理解，有物理场景，能更好的理解数学推导过程。这个极坐标应变应该是很好理解的。你说的u/r。就想象是一个固定顶角（dθ）的三角形，而三角形的底边在向外移动的过程（就是u增大），是不是底边会不断拉长，应变不断增大

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作者: 云制造    时间: 2016-5-24 09:15
底边不断拉长，应变不断增大。就是切向应变不断增大。三角形的底边长就是切向的长

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-24 09:28

云制造 发表于 2016-5-24 09:03
$ T( ~  o9 _8 C( B8 o" F$ K$ ?u/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点 ...

我知道按书理解可以理解，帖子中我也说明了，书中的理解方式清楚。
咱们换一个方式，环向位移V是关于r和θ的函数，r和θ是原始坐标（没有加载荷的时候）。经过平衡条件、边界条件、相容条件，我们可以把应力函数和位移函数都推导出来，关于r和θ的函数（注意，r和θ是原始坐标）。
假设环向位移函数V=v（r，θ），分别带入d点和a点的坐标，那么d点处的环向位移Vd=v（r，θ+dθ），a点处的环向位移Va=v（r，θ）。那么弧长ad的增长量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），应变ε=δ/rdθ
δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v对θ的偏导数）*dθ（帖子中打不出来偏导数符号，我就暂时用Χ表示该偏导数）=Χdθ
6 A5 K9 P& c5 Q那么总应变ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
这是建立在r和θ原始坐标，假设位移函数V情况下，从偏导数定义推出来的。
因此，这个时候我就假设的把V看成是r和θ变形后的函数，这样推出来也不对。（帖子中的第二步）
, P  I$ p( [' ]若想包括u/r这一项，单独的从环向位移函数V的偏导数中我找不出来，我就试一下全微分，因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）两点的弧长差的想法，但是这个一个是变形前的坐标参照，一个是变形后的，肯定不对。这就是我现在的矛盾点，脑子绕在这里出不来了。
( j5 l3 a# I: r% x0 b4 j不知道大侠看懂我的矛盾点了没？

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-24 09:48

云制造 发表于 2016-5-24 09:03
, [( U8 F( K$ o% W- mu/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点 ...

0 c9 i$ t5 A0 J2 I( ~0 U% u再补充一下，我们知道一个函数V=v（r，θ），这个函数表示的是位移，现在求a点（r，θ）和d点（r，θ+dθ）两点的位移，怎么求？带进去，分别是v（r，θ）和v（r，θ+dθ）
那这两点的函数之差（位移之差）怎么求？v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=Χdθ。。。。。Χ表示v对θ的偏导数
" }8 d5 F- b5 q9 P' b- a这个位移之差是什么？变形量δ。
应变ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r项。
, w9 u. m  `! L" h9 [" F" i6 N
这是在已知函数V的情况下

2 u5 D1 ?9 x$ C1 i1 l

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作者: zerowing    时间: 2016-5-24 14:50
看你的思维很混乱的说。
分清什么是切应力什么是正应力。要明白分别由什么产生。径向位移产生的弧长变化对应的是周向切应力。而周向位移对应的弧长变化对应的是周向正应力。以此类推。

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-24 15:51

zerowing 发表于 2016-5-24 14:50
看你的思维很混乱的说。
分清什么是切应力什么是正应力。要明白分别由什么产生。径向位移产生的弧长变化 ...

零侠，位移是一个单元一个单元的应变叠加来的，就切出来的圆盘上的一个微小块来说，径向应变是由径向正应力引起的，环向应变是由环向正应力引起的。我没有觉得我的思维混乱，就是按照弹性理论推出来的总的环向应变，和假设位移函数V已经存在推出来的环向应变差u/r项。上楼大侠说的好，结合物理场景有助于理解数学模型，但同理在不参考物理模型，单纯按数学模型推倒，两者的最终结果应该一样。现在，我的脑子中两个结果就差一项。
' f+ B7 f) l* A% _$ d4 V1 \零侠，给俺解释一下最后一个图中总应变“u/r”这部分，按书中的方式可以理解，为什么我按照9#和10#的方式理解就少了u/r这一部分？
+ g, Z3 C$ t" Q: j% W& n! b' U

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作者: 云制造    时间: 2016-5-24 17:12

不懂的太多xx 发表于 2016-5-24 09:28
% S+ Z. \  G$ O! N/ v我知道按书理解可以理解，帖子中我也说明了，书中的理解方式清楚。
咱们换一个方式，环向位移V是关于r和 ...

因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）两点的弧长差的想法，但是这个一个是变形前的坐标参照，一个是变形后的，肯定不对。
0 A4 H+ a5 m1 G3 h3 W% v; V
- K! V+ w) p/ c5 A% I) I# g6 r
这个不是这样的，都是变形前的坐标。是v(r,θ)和v（r+dr，θ+dθ）两点弧长差，r是自变量，u是因变量，不要搞混淆了，所以不是v（r+u，θ+dθ）。u只是位移的大小，不是坐标值。
: |4 }3 s: }) o3 ]0 V

& N& M2 v$ k% B4 b' ~4 _

6 m- l+ v) q; U% v# G
# X5 ~! K6 E, C8 i! L" c- Y

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作者: zerowing    时间: 2016-5-24 22:57

不懂的太多xx 发表于 2016-5-24 15:51
零侠，位移是一个单元一个单元的应变叠加来的，就切出来的圆盘上的一个微小块来说，径向应变是由径向正应 ...

这样回复你吧。
1。V函数是周向位移，周向位移必然伴随夹角的变化，以及由此产生的部分切应变。
# T% }0 h0 d" ]# G2。U函数是径向位移。径向位移不产生夹角变化，即不产生V变化。在极坐标系中，径向位移产生第二部分的切应变。
3。研究总切应变不可能只靠一个V函数解算。所以，我一直都搞不懂你为啥揪着个V不放，却一直不理Ｕ函数。
  b' y6 x+ e) x: J所以，我始终没有看到你说的矛盾点。你只考虑V影响，自然不会有u/r的相。

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作者: zerowing    时间: 2016-5-24 23:05


再回答你10楼的问题。
如果你10楼里的V函数是一个综合函数，不是分量函数（不是单纯的周向位移函数），如你写的 V=v（r,θ)。那么最终位移之后的a,d坐标会是r? 一定是r+u。
- R- s4 I; \% p! j/ l' Q9 j# x
. s/ j9 {7 x; @而如果你的V函数是分量函数，比如周向函数，那么V=v（θ）。跟r是毫无关系的。你这么写这个函数本身就有问题了。
, L: u. r  l% \) @" V
% q0 |; L+ P0 I: a这么说能否清楚？

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-24 23:24

zerowing 发表于 2016-5-24 22:57
这样回复你吧。
1。V函数是周向位移，周向位移必然伴随夹角的变化，以及由此产生的部分切应变。
' ?6 B% G$ [7 {- L; Q  K2。U函 ...

: n9 Q' Y* [$ i2 K% j零侠，感谢这么晚还回复我。
; }0 ~0 Z/ S3 T1 [你和云侠说的意思是一样的，跟书上的解说方式一模一样，我都能看懂和理解。
首先是你假设的v只与sita角相关，与r不相关，用v（r，sita）表示有问题。我觉得没问题，v（r，sita）包含v（sita），若一种方法能够处理前者，那么必然能够处理后者。
$ D$ |) \5 e& V; Y2 V* |

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作者: 云制造    时间: 2016-5-25 08:55

云制造 发表于 2016-5-24 17:12
: J; q: o+ b% y' s& @因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）两点的弧长差的想法，但是这个一个是变形前的坐标参照，一个是变形 ...

假设环向位移函数V=v（r，θ），分别带入d点和a点的坐标，那么d点处的环向位移Vd=v（r，θ+dθ），a点处的环向位移Va=v（r，θ）。那么弧长ad的增长量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），应变ε=δ/rdθ
0 V0 X+ ]  N! I; G2 @δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v对θ的偏导数）*dθ（帖子中打不出来偏导数符号，我就暂时用Χ表示该偏导数）=Χdθ
2 {) b) h; A" |& q- b& r: j& y9 ]那么总应变ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
7 F7 [4 ]( [, U$ M0 T
7 S0 |& k1 V; u* s5 N. Y; q' h* A楼主这个求的就不是总应变，你这个首先就嘉定了r是常量，而不是变量，这只是切向位移引起的应变。就好像是a和d点沿着半径为r 的圆弧移动（切向位移），实际的运动还包含径向位移（引起应变u/r）。楼主要有自变量和因变量思维。r和θ都是自变量，u和v是因变量。不要将u和搞混，如果你学过流体力学就更有物理场景的理解，所以原始坐标，就是做标记用的。流体中有些粒子就是自由迁移的，固体中的粒子还好，变形前后都是挨着在一起，移动到某一个点就是变形前某一个粒子的初始点，这是重叠的，不要搞混。关键是要变形前后，两个相同粒子之间的位移差，而不是同一个粒子变形前后的位移差。楼主的r+u就是同一个粒子从r移动了u。我暂且认为楼主是这样搞混的
' g+ N" }0 t9 Q2 I

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作者: 云制造    时间: 2016-5-25 08:56
数学推导过程

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作者: 云制造    时间: 2016-5-25 09:00

云制造 发表于 2016-5-25 08:56
- N% I0 F* O1 i) c3 Q数学推导过程

# U5 q( A* U* H' y[attach]388058[/attach]

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作者: 云制造    时间: 2016-5-26 08:48

云制造 发表于 2016-5-25 09:00

0 T9 t) g5 f# T& {8 j! Bv(r,sita)是a点的环向位移，r dsita 是ad段的原始弧长，讨论的不是相等，二是两者之间的差相等，看来楼主还是没有明白。两个点变形后的位移差，就是等于两个点变形后的长度，减去变形前的长度，变形前dθ很小，a，d之间的环向距离就是rdθ，楼主应该清楚推导过程的dr和dθ都是无穷小量。甚至一些高阶小量都会省去，比如（r+dr）dθ，这个时候rdθ比drdθ高一阶，drdθ就可以忽略。这些楼主应该清楚，我也没有特意强调。

我觉得我这个讲的很清楚了，包括前面的帖子也强调了。关键是两个点变形前后的位移差。单个点的v是没有意义的，二是两个点v的差，而两个点v的差。v（r，θ）是不等于rdθ，v（r+dr，θ）也不等于（r+u）dθ，而是v（r+dr，θ）和v（r，θ）的差，是等于（r+u）dθ与rdθ的差。推导偏导数的过程也是强调这个时候θ是常量，旁边也画了个图，做说明
4 x" }. Q% y  M0 F+ f4 k

: U2 @0 t) t% A- z+ a

" u) v9 g, c0 c$ q+ P( L楼主自己再多思考思考，脑子里要有物理场景，也要知道这个时候的dr和dθ都是非常小的。这个本来就是基本的公式，我觉得我已经讲的比较清楚了。书中是从仅径向和仅环向两者单独推导再综合的，这个是为了简单明了，而位移是可以分解的，可以认为变形是先径向移动，再环向移动。跟路径无关，但最终的变形是一样的。而将径向位移和环向位移同时考虑进来，画图出来就不直白。


1 g; X# h- Q0 `1 }# q$ J8 ~- R
6 o& S5 C0 g, r7 v5 f2 b0 d. p
$ R6 L" _  D" r5 [# {7 F: e

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-26 14:10
关于我自己纠结的点，我已经解决，证明过程放出来了。首先感谢云侠和零侠的回帖。特别感谢一下零侠。

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作者: 云制造    时间: 2016-5-26 19:28

不懂的太多xx 发表于 2016-5-26 14:10
) a( y% f* {  ~" @关于我自己纠结的点，我已经解决，证明过程放出来了。首先感谢云侠和零侠的回帖。特别感谢一下零侠。

这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a''，那d'就会到d''。所以绕了一圈，还是跟原来的物理过程是一样的。跟单独考虑径向位移和环向位移再综合是一样的。
; d3 T5 m) t$ a9 W; l
另外楼主要注意的是，严格意义上其实d'和d''不是在半径为(r+u)的同一个圆弧上，d''是距离这个圆弧有一个小的增量，因为是dr和dθ都是无穷小量，可以认为d'和d''在同一个圆弧上。

+ h' x. B8 h8 @+ e  _# g, o这也是我那个数学方程推导过程的分母直接是rdθ，实际上严格意义上是点（r，θ）和点（r+dr，θ+dθ）的距离，是省去了高阶小量。
" u( u0 ^/ d$ S' g% B: V/ E  _" v
% z, p4 f. l: O; e% r$ b6 b其实我那个就是纯数学推导，只是在最后求偏导数时用图作了说明，（针对仅径向位移）。

) ~8 H! G, G$ e4 F' l# d另外我为什么强调单个点的位移意义不大，是因为存在刚体位移或者其他位移情况下，即使有位移，也没有变形，（或者大位移，小变形），所以我强调两点变形前后位移差。（就像这个极坐标下，所有点绕着轴线旋转，有位移，无应变）。

9 @: K6 l/ n+ b9 `. T1 ?
+ b4 W6 g' }( c3 H8 m2 X7 V3 a另外这些方程都是针对小变形，10的负几次方的量级。对于大变形，比如橡胶之类物质，就不是这样的方程。
" D+ I6 m$ B: l9 e, B5 D' L

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-26 20:08

云制造 发表于 2016-5-26 19:28
1 H/ ]1 r" N2 x3 E$ ?* z" c这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a'' ...

& T. Y: y: \! |我一直也说，理解这个借助物理模型和不借助都得一样，而我一直只想从应变的最基本定义来推倒，过程中我旋转只是借助一种数学方式来计算这个。
大侠有一点错误，并不是（r，sita）和(r+dr, Sita+d Sita)的距离，而是和（r，sita+d sita），dr和dsita是定义这个微单元的微小量。
+ ~4 n+ f: ?9 `, y$ g$ K2 V, U四个点，变形前坐标是（r，sita），（r，sita+dsita），（r+dr，sita），（r+dr，sita+dsita）
变形后（r+u，sita+a），（r+u+X，sita+a+b），（r+u+dr，sita+a），（r+u+dr+X，sita+a+b），其中X是u对sita的偏导数乘以dsita，a是点a转过的角度，b是变形后dsita的增加的角度，严格来说前后角度也是不一样的。而这也是建立在忽略ab边的剪切角，这个是因为v对r的偏导数乘以dr产生的，之所以忽略是因为这些都是高阶微量。其实同样的，满复杂的我也已经证明，只不过图太乱，不好看清。
) B" [. x6 i! I- j2 S

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-26 20:20

$ @6 ]6 I6 n  Z# `- |7 ^; o

云制造 发表于 2016-5-26 19:28
; F- C! g$ d; I" R/ ]这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a'' ...

- l  M7 \# w+ g% q1 L大侠用v（r+dr，sita+dsita）-v（r，sita）表示ad线段的伸长量有点突兀。从你的第一个公式来看，你是想求应变，分母是rdsita，但是分子确实c点环向位移减去a点环向位移，分子表示的还是ad线段的伸长量，两个点还不在微单元的任何一个边上，这个得需要证明。
大侠v对sita的偏导数求解没有任何问题。
) T" n- p) {4 J- g" w( t关于这个理解，我想问大侠一个问题，对于在笛卡尔坐标系下的长方体微单元和极坐标下的微单元，关于应变的算法和表示的意义。在笛卡尔下，左右两边线段的伸长都可以表示y向应变；在极坐标下用ad线段应变代表环向应变，有没有想过用bc线段应变代表环向应变，两者是否相同，有没有算过？为什么书中用ad线段表示，而不用bc线段表示？

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作者: 云制造    时间: 2016-5-27 09:04

不懂的太多xx 发表于 2016-5-26 20:08
* D: J3 }8 C1 m: R# X* e+ R% p我一直也说，理解这个借助物理模型和不借助都得一样，而我一直只想从应变的最基本定义来推倒，过程中我旋 ...

不是 4个点，我推导过程就是在（r，θ）点附件取一个点，这个点就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x），求它的导数就是x=x0附件取一个点，这个点的位置是x0+Δx，增量是Δy。所以我的那个式子表示，（r，θ）和（r+dr，θ+dθ）之间v的增量Δv，除以原始的两点之间的长度rdθ（忽略高阶小量）。
- W* A4 R( u; A, }4 }
5 b5 B% O1 }# T) `4 {& l6 R另外你问的，ad和bc，其实就是伪命题。你自己推导的过程切应变用的ad线段，而不是是取微元体，其实ad可以任意取，ad也可以取在bc的位置。另外要有这个概念，这个时候的ad和bc其实是非常近的，只不过画图作为说明，把距离划的很大，好像两处的应变不一样。应变是有连续性的，不会在一点的左侧和右侧有突变，bc是无限接近ad，（微元体到底有多微？要有极限的场景理解），其实既然是取微元体，就可以认为在微元体内的量是常量（或者可以认为取的微元体的平均量），如果还认为比如长方形微元体的正应变沿着斜边不是常量，就没必要。即使有细微的变化，也是高阶小量。所以你说的ad和bc的区别就是伪命题。


0 ~3 p) M  h/ \4 |8 \3 ?6 F

; P5 t8 }$ M# i6 Z& F9 h) H; u* B% H8 h

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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-27 11:21

云制造 发表于 2016-5-27 09:04
7 l6 u) F+ r! q. L% ^5 h. r不是 4个点，我推导过程就是在（r，θ）点附件取一个点，这个点就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

首先，应变都是针对单元体来的，单元体的某个方向的应变（比如y向），则是用线段的伸长量除以原始长度得来的，这是最初的应变定义。我一直说从应变的基础定义来证明计算。就是先切的微元体，然后求的微元体的某条边的伸长量。
弹性力学，计算应力和应变都会说取一个微单元，之后计算该微单元的某向线段两点的位移，计算应变。大侠取的（r+dr，θ+dθ）和（r，θ）两点，数学角度的基本定义咱没必要说，大侠用的是全微分和斜率。就说从力学角度，这两个点表示的是哪个微单元中的哪个线段？我的意思是这个要弄清楚，先确定一个用来表示线段的数学模型。ε=δ/L，这是力学中的计算应变的最基本模型，大侠当中的δ是哪一个？L是哪一个？从这个模型配对来类推，大侠的δ是v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ），L是rdθ。
& J# I: s" G0 \0 T% p位移函数是原始坐标的函数，v（r+dr，θ+dθ）是（r+dr，θ+dθ）处的位移，v（r，θ）是（r，θ）处的位移。若想用ε=δ/L这个模型，对a点取的这个微单元来说，径向应变只能用ab线段，切向应变只能用ad线段。而大侠的v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ）表示的又是哪一个？
* B. R; q3 G" T  N7 d1 K大侠用的全微分，表示的是在a点切向位移v对r和θ的全微分（也就是v的增量），而只是针对v这个二元函数，该点的微增量；这一步是单纯从v函数来求解的。而后面除以的rdθ又是从极坐标中的两点计算来的，先不管别的（这个别的我后面），顺着你的思路，两点之间的长度是多少？是(rdθ)2+(dr)2在开方。这个存在质疑。
; [+ Q( v: a; u; k0 k/ q现在说那个‘别的’，证明应该有两种：1、纯数学证明，完全用v函数来证明；2、在极坐标中，用线段的伸长量来证明。大侠这个证明，v的增量用的是v函数的全微分，前面的思路是用函数来求该点的增量，后面又转到两点之间线段的长度（极坐标）下，我觉得这样不严谨。大侠既然想用函数证明，就应该彻底的用该点的函数证明，先增量，后在一个三维坐标系中描述出该点的位置，计算微段斜率，利用斜率来计算应变。
再就是ab和bc的问题，微积分这门数学的基本思路，相信大家都知道，咱们暂时不讨论这个。力学取微单元的基本假设：单元内部的应力和应变都是均匀分布的，这个相信大家也都知道。就说在极坐标中的微单元，不管多微小，在计算过程中ad和bc就是不一样，因为自变量是θ角度。而两个长度不一样，在用两个线段算应变的时候就是不一样。
1 m1 V. u3 @8 D1 T6 z8 U3 n: m& Z理论上应变是连续的，从推出来的应变公式表象上看，取ab边和取bc是不同的，但最终求的是a这个质点处的单元体的应变，所以最终应该是相同的。我提这个问题，只是想说应该从线段伸长量来证明（就是应变的基础定义）。
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作者: 不懂的太多xx    时间: 2016-5-27 11:33

云制造 发表于 2016-5-27 09:04
" Y) r4 h7 t0 i4 ?0 T9 w# }0 k% W不是 4个点，我推导过程就是在（r，θ）点附件取一个点，这个点就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

1 {% j6 F) b# z. ^与大侠讨论挺好，大侠还可以对两个问题说说自己得看法。
1、力学中，单元体的每个对称的正应力和切应力是相等的；在推倒静力平衡方程时，具有相同法线的两个面的正应力和切应力则不相等。两者都是取的某点处的微单元，大侠可否说说自己对这两者的看法以及这两者应该用在什么地方？
2、大侠看下面截图中，三角棱形体的体力可以忽略，而长方体的体力不可忽略，这又是为何？
& k) {; f$ k! c: [1 q! \+ L$ S大侠发表一下自己的认识。

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