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标题: 一个有趣的数学题:欧拉计划第33题,有兴趣的同学看过来 [打印本页]

作者: pacelife    时间: 2015-12-13 23:24
标题: 一个有趣的数学题:欧拉计划第33题,有兴趣的同学看过来
原题是这样的:分数 49/98 是一个奇怪的分数:当一个菜鸟数学家试图对其进行简化时,他可能会错误地可以认为通过将分子和分母上的9同时去除得到 49/98 = 4/8。但他得到的结果却是正确的。9 M; y' o5 Y  K" r/ D) C
我们将30/50 = 3/5这样的分数作为普通个例。: }; I6 Q1 V# p
一共有四个这样的非普通分数,其值小于1,并且包括分子和分母都包括2位数。
7 D: y0 E5 G' e2 ]" p2 G如果将这四个分数的乘积约分到最简式,分母是多少?+ y; B+ j5 I; }3 V
  z  Z3 h( T$ o  [/ Q* U" N- m
我把这个问题稍微改一下:求出这四组数
5 u: F, t9 q! d3 P我已经用编程算出来了,有兴趣的不妨也来试试看
+ q2 J9 \4 d; c' j
* U3 l1 S4 C3 V: b! w2 Y
作者: 冷月梧桐    时间: 2015-12-14 01:23
49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5
; v) V3 ~* l# o  Q9 P1 w7 C* F& Q: m; ~, N- J0 x& z5 T! J" b
AB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C<5,然后就算出来了
作者: 此男子不抽烟    时间: 2015-12-14 08:39
冷月梧桐 发表于 2015-12-14 01:23 # v3 J) ?' u# P  l- {
49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5
! S  t4 m5 C8 j! v! I5 ~+ o6 A9 P) _* F( Y1 p4 q
AB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C
% [% _" V* z; I9 f  |# i5 E0 p# Q
充分利用限制条件 ,gao!
作者: 钢铁侠2014    时间: 2015-12-14 10:46
很有意思的小题目啊,刚好最近在学python,晚上回家写个小程序算算
作者: 王奋斗    时间: 2015-12-14 12:51
冷月梧桐 发表于 2015-12-14 01:23
8 t% o. f& c4 L3 z% B49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5
7 n6 S, D8 G8 T9 Z- {" S0 i, u( ^) l- n
AB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C
/ Z* s6 ]! p! ?( m
老师,B>C以及B-C<5这个结论怎么得出来的?
3 R& f3 p: K& s& q0 C. y) n9 @, }. }7 q& U

作者: 王奋斗    时间: 2015-12-14 12:54
等讨论结束后,能否把程序也共享一下吧。
* F2 k1 l$ i" k& ?0 l7 t/ S
作者: 冷月梧桐    时间: 2015-12-14 14:17
此题有AB/CB=A/C,BA/BC=A/C,AA/CC=A/C,BA/CB=A/C,AB/BC=A/C,四种情况,且A,B,C皆是0-9不等的自然数,即AB=10*A+B: O+ t( @1 O7 \+ L  g# ^
1.AB/CB=A/C,这种情况下,
$ ?& e% c+ s# ~(10*A+B)*C=(10*C+B)*A' J: g+ A# b. A: E
B*C=A*B,A不等C,故而B=0,此解皆为10/20=1/2之流,不属题意
1 L! R7 V' T$ d, Y
4 S# N8 R5 k5 C& `2 O- \+ e2.BA/BC=A/C,
0 q* w0 y+ D2 m* X, @9 W" ]0 c% @. d9 W+ O(10*B+A)*C=(10*B+C)*A
7 ^- ]" k, j, F. P! p10*B*C=10*B*A,此时同1,B为0,十位为零,两位数之说便不合题意
& O; W/ d/ O. u$ i. ?; f. U3 K& B! S; s2 M9 j& }- g' m
3.AA/CC=A/C
3 O' f- A8 r% B1 R2 n+ N此种请况,A,C为任意值也都成立,如11/22=1/2,亦不属题意
+ Y# y, I) R9 Z  G- `+ C4 I. V% m, m$ C# r. ]8 k4 u6 t
4.BA/CB=A/C& o9 @( W4 s: X7 {! |) b- q. U+ A
(10*B+A)*C=(10*C+B)*A$ B3 _! V- t6 v' ~2 `2 m
10*B*C-9*C*A=A*B' k6 Y* a% u  ?* b# J& {6 G/ S
C*(10*B-9*A)=A*B        题知分数A/C<1,得C>A
' Z& ]6 h) k/ Y6 v若B<A,上方为负值,亦为无意,故而B>A
0 V8 |& m* z% T3 o7 G% R' V故而10*B-9*A>A,又因C*(10*B-9*A)=A*B,
% S  T+ F/ J2 q0 ~/ ~8 M0 a3 oC*(>A)=A*B
5 ~' T8 d' O+ o所以C<B,
2 o$ ^7 o* i; e& M0 _3 R  i& I4 o又因分数BA/CB=A/C<1,故而B<C,与上述C<B想逆,无解
1 h- B& r5 g) K
. R- o6 o$ Y3 D8 \, \% f5 U5 AB/BC=A/C
! ~( o$ K. I( O9 h% V(10*A+B)*C=(10*B+C)*A. r3 `; z# E+ l5 Q% r8 H
10*A*B-9*C*A=B*C
' D- C- @, K$ `0 |  WA*(10*B-9*C)=C*B,. A5 P$ L' |, Z# W/ t( K
分数AB/BC=A/C<1,得A<B,A<C7 L% a( x2 a! M5 q
同4可知B>C,既有B>C>A
7 r0 a: {" i! Z, ZA*(10*B-9*C)=C*B,' C( I7 D7 S  H" O: X- U) ]
如果B-C>=5,左边A*(10*B-9*C)>50,右边C*B最大的9*(9-5)<左边: i4 j8 r" Q6 {  ~- f' |! h
故而只能是1 G7 M. _# S# X- R- n- R: R
加上A*(10*B-9*C)=C*B,,B>C>A ,B-C<5的条件,B,C可取之数寥寥,可解' a* a8 h  h5 o% @. o

作者: 843694568    时间: 2015-12-14 16:38
高人面前,自惭形秽。
作者: 843694568    时间: 2015-12-14 17:06
复制7楼的文字,选中泛蓝后,出现一些乱码,如下图。
5 F$ U' C( P  f6 t( v选中并copy,
3 T+ K: f( z0 [) l: s* P! w$ g. d粘贴在笔记本中,乱码出现;3 g: A# l: l( F( [. I& p' Y
粘贴在Word中,乱码不出现,相应位置是空格。  O# V  m) ^5 o; A) |5 p
请高人科普,谢谢。
, b# [6 P" |; L* X7 d[attach]373607[/attach]
作者: pacelife    时间: 2015-12-14 17:21
该题计算量不大,所有情况都算进去也不过10000次,所以编程应该是秒出的,7楼大神已经给出详细的分析过程了,晚上我给出一种编程的解法
作者: pacelife    时间: 2015-12-14 22:16
程序见图片,没有进行优化% [# H( q. D5 E3 n7 C5 a$ U: G

3 c, `' ^1 e, r
作者: 钢铁侠2014    时间: 2015-12-16 22:16
钢铁侠2014 发表于 2015-12-14 10:46
/ x/ U6 i! w- H. M很有意思的小题目啊,刚好最近在学python,晚上回家写个小程序算算
" C0 @" S9 V( w* L: _0 d5 `
我的程序丑爆了。。。matlab
( k9 i( \' N1 w2 ~clear all
$ w7 i8 E9 A0 R6 o! T, Z( ja=(10:99)';
7 i6 `2 x( N% r5 ]b=10:99;
* q; K5 Z  s' ?. N- Q: n5 Y2 [k=1;
. G; a) \& ~" B6 `% ]c={};
" B" Q$ \- B$ }2 U" u; ?$ E2 }5 ]for i=1:90
. M1 s9 |7 W6 c, l, y  Y/ u    for j=1:90
6 Q6 {  r% r1 P' u        if a(i)<b(j)
: J8 v5 ~4 g+ O1 t            if floor(a(i)/10)==floor(b(j)/10)
6 M6 |6 X& |9 R' G; c- F$ k                if a(i)/b(j)==(a(i)-10*floor(a(i)/10))/(b(j)-floor(b(j)/10)*10)% j- k6 j* L, i, c$ @9 q2 h6 u# f
                    c{k}=[a(i);b(j)];$ h; I& a( \9 S; B
                    k=k+1;
" k1 v$ O/ B% F9 a! @! d  d                end
+ l6 {5 C5 j& P            end
+ N5 V; n# I% {! v( C5 v' F        end
  o$ F5 A, I3 e4 x    end
8 \/ l2 Q- T1 P1 Y0 _end) Q4 }. a$ a0 g- @) N; ~3 Z
for i=1:907 g3 p0 ~# b: R: T
    for j=1:903 s& h2 w  l$ ~, Q) k6 B6 E
        if a(i)<b(j)7 X- K) O* n2 z# t$ g
            if (a(i)-floor(a(i)/10)*10)==floor(b(j)/10): c2 E7 I9 O0 S8 E
                if a(i)/b(j)==floor(a(i)/10)/(b(j)-floor(b(j)/10)*10)
6 D$ u6 b* e+ i8 T5 ]: h                    c{k}=[a(i);b(j)];
) q! d5 t5 |" u7 M7 _                    k=k+1;
% S! A7 ]9 k& R4 r6 a" n                end
% i+ U  `* H* G- s& f5 e            end
8 U7 W0 |1 t4 X% x% e9 Y! U        end
/ ]% b. p# Y+ e    end0 T$ c$ d, X! C5 [1 _$ F9 W$ L4 M$ s
end
, w7 d9 g3 c0 O# ufor i=1:90
. n/ I0 N0 p0 n& y8 X& W  e# p3 ]    for j=1:90
# Z' e+ T! V6 x6 F        if a(i)<b(j)
. O/ }$ B3 \  M: `" J7 e' w            if floor(a(i)/10)==(b(j)-floor(b(j)/10)*10)
* a- l5 Q0 k" U+ |) {                if a(i)/b(j)==(a(i)-10*floor(a(i)/10))/(floor(b(j)/10))
) u3 d2 q+ G: ]! r  W& U( [                    c{k}=[a(i);b(j)];
  Z& }. F$ p5 r% R: k+ a/ L0 c                    k=k+1;
8 g) p8 G$ _: W& W# b" v# b8 n! C5 }                end
3 Z+ a  a2 b, \" ?5 Q            end
$ z+ z. J  n2 `        end
( R8 h! d* _) H2 q; e    end
4 K7 i5 K1 L/ {) |. k6 ~3 L/ _end
, ~4 t# q2 N1 o# H8 Sfor i=1:90+ _& W# t( [; Y5 W
    for j=1:90
$ b; b4 @9 z9 I; I  f7 Y        if a(i)<b(j)7 {& J; s: u' `2 n* j& r" n
            if (a(i)-floor(a(i)/10)*10)==(b(j)-floor(b(j)/10)*10)
- g3 S0 K* @9 b! k$ i/ T                if a(i)/b(j)==(floor(a(i)/10))/(floor(b(j)/10))
4 r4 m$ D1 v" {& T! d: g6 @                    c{k}=[a(i);b(j)];
5 f( }$ j: b+ X/ l' Q% j                    k=k+1;9 x8 H) O3 E* o
                end. E, ]* _- _3 e1 q, ~. O8 W
            end
4 @( A, ~6 w2 y" |5 w) a" [# y        end1 R7 T' D7 E; g' \7 N/ j
    end& v7 d! B3 A1 G2 `7 K- V
end$ ?/ E7 Z" t& S+ j; m

9 ]) L4 ^! {5 Q$ P/ v4 G[16;64]
5 c9 Z+ f- O/ }) Z3 w& [1 z[19;95]
8 W; _; D7 Z! W% v+ `9 |[26;65]
- x4 ~1 w1 {4 b" a: _[49;98]7 \$ K5 D, ~- `; l0 b" I

% r2 g) G3 A) q7 ?3 O% d' |  I. h+ ~7 ?' m7 j; K( j4 E, B

作者: Hello.KT    时间: 2015-12-18 09:05
牛!!!!!!
作者: 我就是我212    时间: 2016-11-18 15:09
都是牛人
作者: 般若李    时间: 2018-4-12 16:59

作者: amcordant    时间: 2019-2-18 10:10
学习了都是大神啊
* u$ Z. e4 y, A- D- D- X; z# m+ j' W
作者: Hassanzzz    时间: 2019-2-20 15:16
前排都是大神,我只会用笔算排除得到答案。
作者: shajiallj    时间: 2019-2-22 11:23
惭愧,连题目都没看懂
作者: 火花水月    时间: 2019-6-6 11:43
感谢分享




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