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标题: 一个有趣的数学题:欧拉计划第33题,有兴趣的同学看过来 [打印本页]

作者: pacelife    时间: 2015-12-13 23:24
标题: 一个有趣的数学题:欧拉计划第33题,有兴趣的同学看过来
原题是这样的:分数 49/98 是一个奇怪的分数:当一个菜鸟数学家试图对其进行简化时,他可能会错误地可以认为通过将分子和分母上的9同时去除得到 49/98 = 4/8。但他得到的结果却是正确的。
6 }3 I* n: i9 e# ?  q我们将30/50 = 3/5这样的分数作为普通个例。' k7 u7 D* u0 V2 C) i
一共有四个这样的非普通分数,其值小于1,并且包括分子和分母都包括2位数。
/ }6 f; N! V- V; B- |3 T7 s% n$ m如果将这四个分数的乘积约分到最简式,分母是多少?
7 E/ y! K8 u: z2 \3 I! a4 K
9 h% C: v% C1 g4 ]: j我把这个问题稍微改一下:求出这四组数
7 K$ h/ q; Z) N& n/ k8 b$ U我已经用编程算出来了,有兴趣的不妨也来试试看
8 g2 D2 w6 D$ L
4 @1 C" @( v( U' b, |' B, Y$ d
作者: 冷月梧桐    时间: 2015-12-14 01:23
49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5
  k0 c4 j$ w+ r# I+ e$ a; o3 K3 N: A) E$ R! a% U" J: o% x/ x
AB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C<5,然后就算出来了
作者: 此男子不抽烟    时间: 2015-12-14 08:39
冷月梧桐 发表于 2015-12-14 01:23
/ c2 f4 `! M# G0 G49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5
! ]  s5 j2 H8 H' e. \1 b' w! Z
0 d. v2 u2 }% pAB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C
  l# [0 F5 O5 M' g4 Y% {" f5 D2 J
充分利用限制条件 ,gao!
作者: 钢铁侠2014    时间: 2015-12-14 10:46
很有意思的小题目啊,刚好最近在学python,晚上回家写个小程序算算
作者: 王奋斗    时间: 2015-12-14 12:51
冷月梧桐 发表于 2015-12-14 01:23 0 Y) F4 U, x: t/ Y
49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5; z# B  j  l3 |) p9 [! U2 R9 b6 d0 I
9 p- H1 g' x$ T# {+ p
AB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C
$ _# O/ B. V( ~6 ^) i4 z- n+ C
老师,B>C以及B-C<5这个结论怎么得出来的?5 o) P* E9 h. |+ D" y. w

6 f8 @6 Q3 ?* g# o# g$ [% a( N
作者: 王奋斗    时间: 2015-12-14 12:54
等讨论结束后,能否把程序也共享一下吧。' L4 C& U# D: R# x

作者: 冷月梧桐    时间: 2015-12-14 14:17
此题有AB/CB=A/C,BA/BC=A/C,AA/CC=A/C,BA/CB=A/C,AB/BC=A/C,四种情况,且A,B,C皆是0-9不等的自然数,即AB=10*A+B
! I$ |. I0 ~! s" E1 L) }8 }, K1.AB/CB=A/C,这种情况下,
# {& j7 r4 N* p) \6 l(10*A+B)*C=(10*C+B)*A
! D9 E/ w( t: `9 MB*C=A*B,A不等C,故而B=0,此解皆为10/20=1/2之流,不属题意
( F; T1 r4 b" @4 f% O0 I
" Q2 X3 o0 e; l6 z& r( u2.BA/BC=A/C,
* O& m! f; U3 ~) o0 p(10*B+A)*C=(10*B+C)*A/ G( n7 U& z1 W, F  Y
10*B*C=10*B*A,此时同1,B为0,十位为零,两位数之说便不合题意
' d3 L& F" b9 _5 X& t
$ c8 h( a+ R" n& E3.AA/CC=A/C2 d) x6 P' |' t; ?% M$ c
此种请况,A,C为任意值也都成立,如11/22=1/2,亦不属题意  M1 n) E. X4 a3 M/ E8 C
3 L) a/ w  \2 D$ `' U0 v
4.BA/CB=A/C
) @! M: d  t8 D% D+ }  F) @4 d; }(10*B+A)*C=(10*C+B)*A1 B- z, w( A. ^9 S
10*B*C-9*C*A=A*B* X- F' a- `7 J6 r: `+ N
C*(10*B-9*A)=A*B        题知分数A/C<1,得C>A  Y4 d" w  V' ^
若B<A,上方为负值,亦为无意,故而B>A- {$ L+ y1 S- j& @+ s
故而10*B-9*A>A,又因C*(10*B-9*A)=A*B,0 L/ ~8 i+ J* g$ S0 Z% M
C*(>A)=A*B
- [/ ?" r9 K' U8 M/ ]所以C<B,7 f& \& w- \( ]! v" B
又因分数BA/CB=A/C<1,故而B<C,与上述C<B想逆,无解; `8 q0 V9 P( T% Q9 ~8 @

: I" V" q) ?! v" V  I: M& u5 AB/BC=A/C
  t8 ?9 U) A* o3 o; n  [# Q(10*A+B)*C=(10*B+C)*A, w6 Q/ W8 E$ P* Z3 {8 ~% u
10*A*B-9*C*A=B*C$ g7 ?5 u" q) _
A*(10*B-9*C)=C*B,7 |+ M3 J2 D$ b! I9 J- ~9 i. x6 ^+ A- h. m
分数AB/BC=A/C<1,得A<B,A<C
8 T( C; h6 ?% Q& F' \同4可知B>C,既有B>C>A
" J9 x9 p1 M, z; g# w% IA*(10*B-9*C)=C*B,# Z) {- |; r# d2 x; U
如果B-C>=5,左边A*(10*B-9*C)>50,右边C*B最大的9*(9-5)<左边4 @9 R; a/ t- E! q* f4 b
故而只能是) H! q8 C5 j! E; V2 q# [) o5 H; G
加上A*(10*B-9*C)=C*B,,B>C>A ,B-C<5的条件,B,C可取之数寥寥,可解  j) p2 [; n  K& i# O- V

作者: 843694568    时间: 2015-12-14 16:38
高人面前,自惭形秽。
作者: 843694568    时间: 2015-12-14 17:06
复制7楼的文字,选中泛蓝后,出现一些乱码,如下图。4 e$ d* U! S& h) G0 j' w5 d2 `* G
选中并copy,  ]: B# h% b5 G! y& j7 l
粘贴在笔记本中,乱码出现;& H7 d* L; _1 {7 g8 v
粘贴在Word中,乱码不出现,相应位置是空格。
. b5 x. N6 L+ P, b9 E( {请高人科普,谢谢。: `+ @( i! v3 j0 g: E
[attach]373607[/attach]
作者: pacelife    时间: 2015-12-14 17:21
该题计算量不大,所有情况都算进去也不过10000次,所以编程应该是秒出的,7楼大神已经给出详细的分析过程了,晚上我给出一种编程的解法
作者: pacelife    时间: 2015-12-14 22:16
程序见图片,没有进行优化
  y% M  K! B& ~* J( Q: Z3 |/ Z5 s  B/ K: A( I/ o; E& J) B

作者: 钢铁侠2014    时间: 2015-12-16 22:16
钢铁侠2014 发表于 2015-12-14 10:46 ) m( i2 i1 }& N+ f1 f3 d- t5 D
很有意思的小题目啊,刚好最近在学python,晚上回家写个小程序算算

0 ]! I9 ^2 @4 X, g; r# I1 N( ^我的程序丑爆了。。。matlab
; q6 P0 k! e0 p. ~1 b& mclear all
2 R8 Q; K& k  m, ?" }. ~% v, Ba=(10:99)';
& @0 K! ~% L# C- T/ z" {b=10:99;/ f3 u8 `# p) O
k=1;6 S# [6 [5 r, K; w, N- w+ P  u
c={};6 i) k6 \- s% S. N& i
for i=1:90
. i6 O  Q" U# e7 C" I. i+ N7 [3 ^    for j=1:90
+ L$ S, H( e, r' t. [4 o, [' K( ]3 h* D        if a(i)<b(j)
* ]* _; f8 B% F0 p9 }! d" F: C            if floor(a(i)/10)==floor(b(j)/10)( |8 k5 h. n( {6 ?
                if a(i)/b(j)==(a(i)-10*floor(a(i)/10))/(b(j)-floor(b(j)/10)*10)2 Y1 ]+ y3 I$ u4 E5 d7 S
                    c{k}=[a(i);b(j)];
: _  b- c2 L9 N3 n3 p/ p$ g* F                    k=k+1;
" F' O$ j) {. n: ]. c, D+ ?                end% p( B& e% ?* l( @; n+ u
            end  v8 [7 J' D4 q5 p# G2 O. W% [
        end8 h% @/ q8 }( ?: @* u
    end" O( n8 z  U: {' E0 D
end
3 g$ Y  V9 R/ z5 u; d8 Y4 {$ Kfor i=1:902 b# A  A, t+ m$ s9 p! d
    for j=1:909 F' t( ?& X$ i6 j
        if a(i)<b(j)8 q: A+ }; D  L$ G/ q5 X
            if (a(i)-floor(a(i)/10)*10)==floor(b(j)/10)9 H1 }$ u% N) b& A/ I& Y; n
                if a(i)/b(j)==floor(a(i)/10)/(b(j)-floor(b(j)/10)*10)/ q) N. S0 h2 o2 F, q
                    c{k}=[a(i);b(j)];% L, c- l7 z" u6 Q% S3 D
                    k=k+1;
. X7 d) [- f2 ^4 B- I                end
, p0 D/ }6 \& W% W& J            end
% L9 y! ^& A- ]        end- W; r& n" I' b) F1 d1 O
    end
4 E) `# r. T! v5 Fend' W( S! F2 c2 H9 Z
for i=1:90
. t7 O7 i3 C8 w+ b- m    for j=1:90
1 r% y8 U6 A2 B) E, t        if a(i)<b(j)
' r* n+ a  p: b$ K6 r            if floor(a(i)/10)==(b(j)-floor(b(j)/10)*10)" t# ^% c) |  ?, x: ~5 R
                if a(i)/b(j)==(a(i)-10*floor(a(i)/10))/(floor(b(j)/10))
; h# M/ G! e4 l8 Y' Y                    c{k}=[a(i);b(j)];
; T( j& n1 i% S" w, a                    k=k+1;2 P1 B. v4 Q" n& p; O- ^+ b9 x
                end: z5 J+ U7 r/ X' p+ t  u* u  D
            end. w7 H( v% O+ W: z/ ?
        end
6 O  U% R& d. z0 g  C    end; z) J) F% N9 y0 b$ I
end
- N( X! e; x7 L+ U8 y* Z: ]. b- Jfor i=1:90
- J, }6 E: Z, |5 {8 f9 \3 y% l    for j=1:90
8 x* W( [5 G5 ^) I3 X3 ~% G0 d        if a(i)<b(j)
* _& `) M5 s; V+ o4 Z            if (a(i)-floor(a(i)/10)*10)==(b(j)-floor(b(j)/10)*10)5 M1 Y0 v: Z6 J+ j; ~/ _
                if a(i)/b(j)==(floor(a(i)/10))/(floor(b(j)/10)): w9 C1 }6 L4 U) \
                    c{k}=[a(i);b(j)];  V3 A' w2 @6 n+ s1 H
                    k=k+1;; P0 R4 U. X8 K8 x
                end
6 _; ^) ~  `$ q. ]5 ~            end
7 v. ^0 {5 U2 G  x5 ^        end
3 K7 D, Z2 k; q( \- r7 O1 N( k' P8 v    end
1 l9 v0 p" e% e7 ?8 mend! h+ U/ V* s+ Y4 a: r  W

8 s! K/ h5 |. O: N; m[16;64]( i! H& |8 K  k" R4 \  b
[19;95]
; P/ o) {0 u1 h2 V[26;65]" p9 v# O7 R" u8 d- n8 C
[49;98]
! g3 B: c' ^8 O
- m- y6 \+ B- J6 g/ Q, W: i  ]7 `( E" P# P, d: z

作者: Hello.KT    时间: 2015-12-18 09:05
牛!!!!!!
作者: 我就是我212    时间: 2016-11-18 15:09
都是牛人
作者: 般若李    时间: 2018-4-12 16:59

作者: amcordant    时间: 2019-2-18 10:10
学习了都是大神啊) W3 G9 V' w! v2 r8 O' Q1 d

作者: Hassanzzz    时间: 2019-2-20 15:16
前排都是大神,我只会用笔算排除得到答案。
作者: shajiallj    时间: 2019-2-22 11:23
惭愧,连题目都没看懂
作者: 火花水月    时间: 2019-6-6 11:43
感谢分享




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