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标题: 求问一道数学题 [打印本页]
作者: 阳光小院暖茶    时间: 2015-8-18 15:57
标题: 求问一道数学题
有个题目，想请教：
0 b- G" c. I4 ?! s6 {确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）  O. [- m7 D5 o/ x
不知道有没有人能做出来
作者: 阳光小院暖茶    时间: 2015-8-18 16:02
我已经知道了几组：2,2,2% [1 g6 o0 @* l
2,2,3; o: Z. G6 G; O
3,5,71 @4 g, {, Q4 U0 K7 a* Z
2,6,11$ P: y- W1 [: _; u5 F; h& A5 p+ h
但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来
作者: crazypeanut    时间: 2015-8-18 16:03
这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题
作者: crazypeanut    时间: 2015-8-18 16:12
本帖最后由 crazypeanut 于 2015-8-18 16:13 编辑
- y* \+ n8 y* S6 C% N( P# y. K8 s0 K' b$ J7 H
我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的5 Z) O; p" Y5 k; H" K' h! {* H

4 y" @2 }+ U. H) P3 S答案是只有唯一解，2，2，22 n! k9 P4 ?; c- ^" `' M4 d

- \1 }( k, w4 Z0 `+ N, E" T1 `[attach]362370[/attach]
作者: 水水5    时间: 2015-8-18 16:13
首先推测abc都是2的正整数次方~
  n8 R8 e0 q3 R1 R% ]4 N# g. `假设abc对2的幂分别为ABC
8 _9 ~) C7 M" }; Q, l! H1 G$ r2 P则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
! u* m8 d$ _0 x' L; E$ _% |8 p要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
0 V8 |6 I" S9 A0 t2 M7 f. J同理，B+C-A=1;A+C-B=1$ P! ^( a: E8 K+ h; Z" j1 B2 W
那……2 n  T7 v3 O* W% Z, V9 P
我解不下去了。
作者: 萧mj    时间: 2015-8-18 16:16
不会解
作者: 阳光小院暖茶    时间: 2015-8-18 16:23
crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
* y9 I% \* `5 Z& s& K1 u我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的" Q/ G9 `; j& P8 a

4 h, k7 A3 ]; Q9 S7 }答案是只有唯一解，2，2，2
; p5 {7 v4 R  M. ]2 d ...
  E7 p$ M( I# ?7 R
大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
0 U+ Y  y5 S' P2 f1 X" B你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件8 y  x) ~/ x5 l$ [! v% n; \1 W# C
% j, Q& \/ g3 E' I: s, V% X
作者: crazypeanut    时间: 2015-8-18 16:26
阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
& @6 `8 N! C6 P! n2 i% m1 ]大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...
) V$ M0 X8 V2 c- F4 p
仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；0 d. b6 Q; V' ]& z' J

% M1 _- B2 _2 ]5 T0 s所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了
作者: yue7261598    时间: 2015-8-18 16:38
数学玩 死人
作者: crazypeanut    时间: 2015-8-18 16:40
看这个吧
1 f  S& \" [1 N& B# e; r8 g1 _. a4 W' s9 ^: A
我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋
# u& j! _  A! ]* O1 J0 x" ^9 G( ^+ a1 D) j: T, I- h) I+ n
[attach]362379[/attach]# \2 E: P+ o. y# V- x$ ^- q9 S
[attach]362380[/attach]$ @9 i( u: A. Q- a% e& U( h
: T' B0 P. w  {+ g1 o9 b
% I5 |8 ~; A, n: h* T/ n: o
作者: 王奋斗    时间: 2015-8-18 19:15
crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
. H* w5 J1 \. S% u% M我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
8 x! P4 D$ W- T: G. B$ V- k9 M
2 B$ \* D2 P4 h5 L$ z$ Y答案是只有唯一解，2，2，25 B/ E- H6 ~2 k+ L* R
...
3 i9 |/ ]5 q; r& T/ X# h) ?3 g  A
哈哈，学习了！
1 m( X) i  N3 J1 Z# I7 X  V$ q



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