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标题: 求问一道数学题 [打印本页]
作者: 阳光小院暖茶    时间: 2015-8-18 15:57
标题: 求问一道数学题
有个题目，想请教：! e2 @$ ?( r# f" N
确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）$ w% n" Y1 Y9 Q
不知道有没有人能做出来
作者: 阳光小院暖茶    时间: 2015-8-18 16:02
我已经知道了几组：2,2,2
: o: O+ q0 v! F8 v- @2,2,3  g6 L4 g8 |1 g0 T! O1 }' i' S# H
3,5,7
& u: _0 Y9 E: p. A* `& b" @: z2,6,11* V) m; I& S8 U) X5 @8 `
但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来
作者: crazypeanut    时间: 2015-8-18 16:03
这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题
作者: crazypeanut    时间: 2015-8-18 16:12
本帖最后由 crazypeanut 于 2015-8-18 16:13 编辑
, G$ i3 r8 |4 q+ k. F$ d
) V% C4 D/ W; @, X+ A, j1 s6 j我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
/ f1 w9 c3 S7 n3 h; F4 u# M- \" w* T% `4 m6 t% p* Z. o  g# ?
答案是只有唯一解，2，2，2$ j9 J$ {, L1 p9 V0 }2 W( q

! V+ S' _0 z& S  Y( B$ E[attach]362370[/attach]
作者: 水水5    时间: 2015-8-18 16:13
首先推测abc都是2的正整数次方~
( {# b& D: z! F' e- G假设abc对2的幂分别为ABC0 t4 n/ v6 D0 ^; P7 ]; r
则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
1 \9 k9 H7 D: Q4 w$ ~要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
' F+ q4 z5 C3 f  q. E9 y同理，B+C-A=1;A+C-B=1( E! F  ?( a) ?; S
那……/ v/ B/ e- a2 Y  Q& r- C8 P# @+ K) A
我解不下去了。
作者: 萧mj    时间: 2015-8-18 16:16
不会解
作者: 阳光小院暖茶    时间: 2015-8-18 16:23
crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
, X6 X- L+ p0 a; C. |+ }3 _7 m我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
3 K! ]" u- z2 l/ j0 G3 _% g. d) ]. ~5 x- ~7 e4 L
答案是只有唯一解，2，2，28 @$ q/ V: y0 }, S, S; M
...
+ w# u" P! t' z, {1 _) ~( S
大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
% a9 @2 O& ]$ a& P你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件8 p' y2 `# s- K7 T7 w% Z. V

; @9 u/ l3 J: ]6 E6 L* a( b- ?
作者: crazypeanut    时间: 2015-8-18 16:26
阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23 , G1 n8 C" W' ?2 D
大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...
# O. h8 t6 A+ ^# v. V
仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；
9 k9 ~/ u) q& D, Q" D( Q6 i' d) V0 p$ D( H0 K8 R3 ?
所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了
作者: yue7261598    时间: 2015-8-18 16:38
数学玩 死人
作者: crazypeanut    时间: 2015-8-18 16:40
看这个吧
8 {- K: B7 {& A
( B: `2 Z& N; d" Q' B( J我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋
& p. |! c0 f- b( g: I& S# j: @
0 F6 Y& [. }$ Q& T9 B, }9 ^* O$ h[attach]362379[/attach]8 T6 z9 C' m3 _3 R# H
[attach]362380[/attach]
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  i1 V- L! N* o/ u% H/ r
- ~% R% n$ D3 g$ K3 W% C5 x
作者: 王奋斗    时间: 2015-8-18 19:15
crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
/ t$ G+ E- T8 ^0 X2 f我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
2 g* L) \' d0 e% \$ p9 Z" S/ R) y! U% n, b
答案是只有唯一解，2，2，2
5 Y7 B( `3 a* B$ T7 n$ |! n3 Q. Z ...
5 d+ W* Z& E8 R1 P2 O+ \
哈哈，学习了！  f+ C9 D; m1 N* _9 r




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