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标题:读书笔记之三---谨慎使用传递性
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作者:Pascal
时间:2014-8-16 21:40
标题:读书笔记之三---谨慎使用传递性
本帖最后由 Pascal 于 2014-8-16 22:39 编辑
$ c# M. C- }3 B6 n! O$ E
0 b) ~; d4 c% `8 P q, t, I8 \这是笔记系列之三。
9 |: F1 K1 f; o: S9 @8 f, H( t" D* X
' u. ?# X9 W1 Q3 u4 K8 c% z6 G- F
之一是
/ `' G C0 u R
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=362805
& s3 k6 v: |/ X# u, k, ^! U9 q
( @: j4 c$ S6 b
之二是
+ g/ f5 K' ?: P% T
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=364734
$ |; t [; O! J5 |/ |, Q
- I# Q9 c) T" S h! G+ \" X: t
1.在数学中，我们普遍使用传递性，如在实数范围内
a=b,b=c,则a=c
a>b, b>c,则a>c
4 M e' c1 A/ L6 k' D- V) X
4 m' o3 f4 a1 F
2.但在现实生活中，使用传递性则要谨慎。
让我们看看这个问题：有一个2人游戏，甲乙二人来玩，每个人获胜的概率都是50%，也就是说此游戏对甲乙二人来说是公平的；同样，此游戏对乙丙二人来说也是公平的。我们能否推导出---此游戏对甲丙二人来说也是公平的？
# {* E+ M; p6 T) h& Q
/ d* k" T4 }2 ~# t
3. 答案是否定的---即此游戏对甲丙二人来说不一定是公平的。
. Q" Y8 N" g" o0 B5 N
4. 我们可以考察以下例子，比如说这是一个扔硬币的游戏，以硬币向上的数字大小定输赢，即比较硬币上面的数字，数字大的赢。硬币非常薄，也就是说硬币不会立在桌子上。
A.甲的硬币一面是数字7，一面是数字3；乙的硬币一面是数字9，一面是数字1。乙如果扔出9，必胜；扔出1则必输，因此乙获胜的概率是50%，同样甲获胜的概率也是50%，即此游戏对甲乙二人来说是公平的。
B.丙的硬币一面是数字6，一面是数字2；我们同理可得乙获胜的概率是50%，同样丙获胜的概率也是50%，即此游戏对乙丙二人来说也是公平的。
C.但是，如果甲丙2人来玩，会发生什么情况呢？游戏还是公平的吗？
$ k& ]6 X2 T$ U2 B6 p/ n( e9 H
作者:伏虎降龙
时间:2014-8-16 21:54
离散变量，好像是不公平。
$ X! q0 h6 @: I0 w) [ k但是如果是连续变量呢？根据“实数集”那些理论，是否会导出公平？
4 ?1 @0 U1 n' P9 h请大虾分析。
作者:原谅我今天
时间:2014-8-16 22:32
这个……用斗兽棋来解释不是更形象吗？
作者:Pascal
时间:2014-8-16 23:01
伏虎降龙 发表于 2014-8-16 21:54
0 I6 X, G2 d* u" F" }8 f离散变量，好像是不公平。
) t: p* g1 [" ]/ Y4 w但是如果是连续变量呢？根据“实数集”那些理论，是否会导出公平？
$ z$ I h- d( T: H8 k; E% Q# B请大虾分析 ...
8 s4 Z8 n; p4 a$ q, }0 F- ]8 W" G/ d
如果是同样的概率分布，但数学期望值不同的话，还是不公平的。
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作者:Pascal
时间:2014-8-16 23:05
我们看看甲丙2人来玩，会发生什么。
- A# u0 Q" Q7 O0 S丙扔数字2，则必输；扔数字6，有一半机会赢。考虑到扔2、6机会是一样的，就是说甲丙玩这个游戏，丙赢的概率只有25%，而甲赢的概率有75%。
; z; a3 k! V7 F6 }. G; Z' d, Q0 |5 Q所以，对甲丙二人来说，这不是一个公平游戏。
作者:Pascal
时间:2014-8-16 23:11
或者我们还可以让题目更简单点，乙的硬币不变，还是数字9和1；
% |9 D3 Q k' ~% \甲硬币变成数字7和6，丙硬币变成数字4和3。
4 V# v w9 `' b
对甲乙来说，还是一个公平游戏，胜率各一半；对乙丙来说，也是一个公平游戏，胜率各一半。
9 K; ?; h- g2 L- L- V: o8 j只是如果甲丙来玩的话，甲总是赢，丙总是输，这就是个绝对不公平的游戏了。
作者:122747557
时间:2014-8-17 11:08
能用传递性的都是要在同一性质下的吧！
作者:Pascal
时间:2014-8-17 20:34
上面说了公平不能传递，“原谅我今天”大侠还提到了足球、斗兽棋的例子。
/ N u" m- j( [' G: z* u! X% x @下面我们来看看不等量--经济学上叫偏好--能否传递。
% M9 M. p. o) Y# U9 H+ B0 D6 a$ j2 D1. 华夏国某镇为推广旅游经济，想选一个镇花出来，经过充分的调查研究，相关部门推出了3种候选花---油菜花、杜鹃花和桂花。
1 L' J; ^1 m. Q. I
2. 选举人为该镇全体居民，并且我们还假定，对每个人来说，偏好可以传递；即如果某人喜欢油菜花多于杜鹃花、喜欢杜鹃花多于桂花，那么此人必定喜欢油菜花多于桂花。也就是说个体选择有传递性。
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3. 经调查发现有2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花，有2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花。
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4. 能否得出结论---这次镇花选举中油菜花将胜出？
作者:Pascal
时间:2014-8-18 12:18
能否得出结论---这次镇花选举中油菜花将胜出？
( A: k# ] d0 b' z f还真不一定。
( w3 x2 t! D4 E+ y5 x+ Z9 Y
! I; J6 k8 g# `7 c
1. 比如该镇有1/3居民对花的偏好是最喜欢油菜花，其次杜鹃花，最后桂花；我们把这个群体称为A群（油菜花，杜鹃花，桂花）。
8 x; a4 {' t4 H8 @/ Y) ?9 \有1/3居民对花的偏好是最喜欢杜鹃花，其次桂花，最后油菜花；我们把这个群体称为B群（杜鹃花，桂花，油菜花）。
: v1 v# G: P: o* s/ [有1/3居民对花的偏好是最喜欢桂花，其次油菜花，最后杜鹃花；我们把这个群体称为C群（桂花，油菜花，杜鹃花）。
% e! f9 p) ]1 S+ N9 a9 \2. 现在油菜花PK杜鹃花，A、C都是喜欢油菜花多于杜鹃花，只有B不是；即2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花。
7 `4 c) D! s: B
杜鹃花PK桂花，A、B都是喜欢杜鹃花多于桂花，只有C不是；即2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花。
n$ Q+ _" o& q3. 是不是就可以认为该镇居民最喜欢油菜花了？别急，我们再来桂花PK油菜花。
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桂花PK油菜花，B、C都是喜欢桂花多于油菜花，只有A不是；即2/3的居民喜欢桂花多于油菜花。
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4. 2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花，2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花，2/3的居民喜欢桂花多于油菜花。
# h1 [0 l$ e8 N
即油菜花优于杜鹃花，杜鹃花优于桂花，而桂花又优于油菜花！
9 _9 _! r8 U9 Z' Z6 N怎么会这样！形成连环套了。
+ u* y0 l7 M0 k" t. ^' G
作者:crazypeanut
时间:2014-8-18 14:02
不同的样本空间不能混为一谈
作者:crazypeanut
时间:2014-8-18 14:16
【
7 w: m5 k: p/ b& q2 C
1.在数学中，我们普遍使用传递性，如在实数范围内
a=b,b=c,则a=c
a>b, b>c,则a>c
】
* E/ }' \$ i5 ^! u2 X
+ K( y+ z. f- Z ?2 M: U/ o
这个为何可以用传递性？？注意a,b,c，这三个变量，都是处于实数范围内的，他是同一个层面的东西
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- L2 A; t- }3 {$ k8 B【
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2.但在现实生活中，使用传递性则要谨慎。
让我们看看这个问题：有一个2人游戏，甲乙二人来玩，每个人获胜的概率都是50%，也就是说此游戏对甲乙二人来说是公平的；同样，此游戏对乙丙二人来说也是公平的。我们能否推导出---此游戏对甲丙二人来说也是公平的？
】
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这里为何不能用传递性了？？注意这三次游戏，A=【甲，乙】，B=【乙，丙】，C=【甲，丙】，这三者的样本空间互不相同，没有关联性；除非我们定义新的样本空间，Ω=【甲，乙，丙】，若甲获胜=1/3，乙获胜=1/3，此时可以推断丙获胜=1/3，因为他们处于同一个样本空间，有P（丙获胜）=P（Ω）- P（甲获胜）- P（乙获胜）=1-1/3-1/3=1/3
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作者:Pascal
时间:2014-8-18 23:09
在镇花选举的例子中，每一个个体的偏好都有传递性；但个体选择的可传递性在集体选择中消失了。
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这就是孔多塞悖论，也叫投票悖论。
作者:stoplonely
时间:2014-8-19 22:17
数学大侠又来教学了，围观学习。
作者:镜月
时间:2014-8-20 10:25
你硬币都换了，还是同一个游戏吗？搞笑呢！
作者:Pascal
时间:2014-8-20 11:36
镜月 发表于 2014-8-20 10:25
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你硬币都换了，还是同一个游戏吗？搞笑呢！
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硬币没有换哦，你看第一楼，甲乙丙三人硬币是固定的，虽然三人手上的硬币不同，但此游戏对甲乙2人是公平的，对乙丙2人也是公平的。
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并且这个模型在现实中也是有意义的，并不是所有参赛选手都玩同一个硬币才叫游戏。
" e8 v9 {' X4 c3 w
3 t4 y) I8 p4 t0 ~" Y k/ Y
欧美发达国家领先我们几十年了，他们会让我们和他在一个平台上fair play?
; M4 ~& Q% f O9 F2 z t我们只能立足于手里的硬币和人家玩，并且还要争取一个对自己有利或公平的规则！
作者:一剑的温柔
时间:2014-8-20 14:32
小李爱上了小红，小红爱上了小张，请问小李会爱上小张么
作者:Pascal
时间:2014-8-20 15:01
一剑的温柔 发表于 2014-8-20 14:32
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小李爱上了小红，小红爱上了小张，请问小李会爱上小张么
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哈哈，温柔社友高人啊，不过还有下一句呢，怎么不说？
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9 a' Q; U8 m# I; r数学界流行的一个笑话。
: }& B5 H5 h7 Q2 J* Y Z一天，一位统计学家遇到一位数学家说：“你们都说如果a=b,b=c则a=c.那么如果你爱一位女的，而那个女的爱另一位男的，那么你也就是爱那个男的哦！！”
5 Y# R7 L( B' w/ Y3 `- Q& k5 \数学家说：“如果你左手放在一杯100摄氏度的沸水里，右手放在0摄氏度的冰水里，那么你也就不会觉得有事哦，因为平均温度不过50摄氏度而已。”
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