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标题:圆形的特性推论可以帮你解决系列问题。 [打印本页]
作者:zerowing 时间:2013-6-9 13:30
标题:圆形的特性推论可以帮你解决系列问题。

呵呵，最近说到了基础。也有人发了一个简单的题。于是有了这个念头。其实，有些基础的东西可以一方治百病，只是看你能不能想起来用了。) I S2 t- C M6 }% `/ s U7 k. ~* f

原帖地址：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1
' g: [: y& t$ W


: t" ]7 A+ N. T/ G$ I- n5 c

这类题其实都可以用一个推论来解决。原自圆形的特征。2 t8 s' ?+ V5 n$ y8 f9 b

圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。# a$ r/ j5 L' k/ C

证明：如图% a* N8 ]+ x, ~: ^; Q4 u* ]/ k

[attach]286237[/attach]
9 @- E6 b! o2 m9 |3 l

假定一个圆转动一个足够小的角a，那么其滚过的痕迹为一线段（因为足够小）。/ A1 B- v* V' F: b) v

则有：弧AB长等于线段AB长。 根据几何关系，OA垂直于线段AB，OB垂直于线段AB，OA=OB，于是有OO线段长=AB线段长。
( S% U' T( @5 z: N0 u

因此得到推论结果：圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。
# f8 P' f1 p/ E3 ]& k$ I

而这一结果会使得上面提到的一系列题目得到最简单的解决办法。因为你可以不用去管它什么形状，你所需要的只是计算出圆心走过的距离。然后根据这一推论得出结果。) k8 A' `1 k# _* x7 p5 u4 |- K

V& T6 h D) c! J9 P6 I: U7 u

实例1：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1
+ ~$ Y$ x6 q; @解答：
[attach]286239[/attach]
（别管里面的标注）
$ \3 ?3 w( |9 L　　　圆心走过的距离为：（中心圆半径+小圆半径）*2*pi=m*（Z1+Z2)*pi ——（1）
! o; L9 u: z- D. L则小圆围绕中心圆转一圈走过的弧长为： m*(Z1+Z2)*pi
3 [% K, F& m7 O* Z* E! a则小圆转过的圈数为： n=m*(Z1+Z2)*pi/( m*Z2*pi)=(Z1+Z2)/Z2
; s. ]' \; x5 |2 H. p带入数据得到： n=3
0 e- k' G9 ~1 k& a
1 `( E7 r8 X' V& T5 D) \

实例2：

[attach]286241[/attach]
6 M7 p' @! T( m/ |( M" x
这样一个图形中，小圆转过的圈数。
. J" \ @ T. e同样。按上面的步骤：圆心走过的距离：6*b8 x1 T) J9 z- ]: i8 u: x
小圆对应的弧长：6*b
0 H! k5 F- n! d7 A6 S1 @转过的圈数：6*b/(a*pi)6 k+ K0 X7 P6 v M( @# C w! Z8 D
b怎么得到。有c有a，不要告诉我你算不出b来。哈哈。相似三角形啊。
! M( g! H5 I+ H! B- }5 Q; K) j/ C1 N$ ]: {

同理，你可以很方便的计算出例如像实例2种圆在外面滚的结果。还有很多结构复杂，不好判断的图形。
3 m5 E2 ?2 z* d. s

请注意：齿轮转动的本质是分度圆的纯滚动。因此这个方法对于所有行星轮问题同样有效。" x1 f) e9 h, C _' D$ Z


" L% u6 D( H: O8 q( I- v4 U

说这么多，希望对大家有所启发。
作者:crazypeanut 时间:2013-6-9 13:36
看到这个，我想起了摆线齿轮
作者:ttlegyq 时间:2013-6-9 14:03
顶一下，非常实用
作者:情癫浪子 时间:2013-6-9 14:17
大侠的见解一直都很透彻，通俗易懂，比那些教授讲的都好哇！
作者:datree 时间:2013-6-10 21:38
看到这个，想到用根不计厚度的绳子绕在圆周上，绳子头固定住，让圆滚动起来，绳子就会放出来。绳子的长度就是圆滚过的弧长也是圆心走过的距离
作者:新新额 时间:2013-6-12 18:07
谢谢，受教了楼主。
作者:千浪一石 时间:2013-6-13 09:12
大侠，你这要点水平才能用好，我等“拿来主义”还是不得其要旨啊！惭愧~拜服！
作者:1043 时间:2013-6-15 13:28
一般复杂问题往往需要这些小的知识点架构起来,启发了
作者:咪嗪 时间:2013-6-15 14:06
楼主，这个原理是不是在摆线针减速机内常用。。。
作者:上海工作＿2012 时间:2013-6-17 09:07
正解
作者:夕阳书生 时间:2013-7-15 23:19
受教了楼主
作者:降台诗春 时间:2015-4-27 10:29
往往越是简单的方法越能发人深省，受教了楼主
作者:bigprawn 时间:2015-6-15 16:04
如果理解了理论力学中瞬心的概念，这个问题就好理解了
作者:幸会幸会 时间:2015-6-17 09:33
大侠高见啊，佩服
作者:cosxuan 时间:2015-6-17 14:57
例一证明有问题，给出以下证明：
首先按照楼主的结论 圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。
那么，da=db。现反证，小圆转过一个非常小的角度dθ（弧度制），那么r1(小圆圆心绕大圆圆心公转半径)×dθ=da, r2（小圆跟大圆的接触点与大圆圆心的距离）×dθ=db，，假设da=db正确，所以r1×dθ=r2×dθ，得出r1=r2，但是r1=r2+r（小圆半径），故假设不正确。
) S# v1 H/ I1 R# d0 ?
作者:jy297917 时间:2015-6-23 08:33
谢谢，受教了。
作者:cosxuan 时间:2015-6-24 06:58
本帖最后由 cosxuan 于 2015-6-24 07:27 编辑
- n( F& I! B3 E! I
# f) |2 u' `4 l' }. k; s0 B圆公转一角度时，小圆滚过的距离是不是AB段？小圆圆心移动的距离是不是CD段？AB=CD?别抓着所谓的定理不放，那都是有条件作为前提的，

圆，当一个圆沿某一平面做纯滚动时，其圆心走过的距离恒等于其自身转过的弧长。

 9 v, L8 b/ f, |3 | N- C U, G
你自己也写了，是沿某一平面，何为平面？小圆是沿平面滚动的吗？你自己都红色的标出这句话了，我估计你现在还没搞清楚平面跟面的定义吧！定理本生没错，错的是你用错地方了，忽略了使用条件。 8 }6 [3 Z. Q* n
作者:cosxuan 时间:2015-6-26 08:58
本帖最后由 cosxuan 于 2015-6-26 08:59 编辑
5 H) u- s' u8 W# \0 `6 e " ^+ j. p* w+ I
我感觉你一直没有理解我表达的问题，或许是我的表达有问题，这些咱都不去讨论了，也不讨论数学问题，只看图。
' ]1 e" h& H( y; G. U+ U. D. c首先初始时刻如下左边图所示，经一段时间，小圆绕大圆公转了θ角，小圆自转了α角，如下右图（就像你说的，θ不等于α，一开始是我疏忽了，我在此澄清，θ不等于α，自转角不等于公转角），这没有问题吧？
3 c2 ?4 O1 ?3 }& q Q那么小圆的自转弧长就是DB段，圆心走过的弧长是O1O2段，按你的意思就是DB段等于O1O2段，自转的弧长等于圆心走过的路径对吧？ 7 H; D2 h+ K4 n7 ?' W! }
因为小圆在大圆上做的是纯滚动，所以弧AB=弧DB，这有没有问题？如果有请你证明出这两段弧长不等。如果没有问题，
) B, V) l% c+ D0 p那么弧AB=弧DB，又弧O1O2=弧DB，所以弧O1O2=弧AB，但是很明显弧O1O2不等于弧AB，所以在例一这种情况下，自转弧长并不等于圆心走过的路径。
- x. U% ]/ ?! {& l2 z" L& Z7 \这样推理有没有问题？如果你有问题可以指出来哪错了，并给出证明。 * D( U3 ]& B. Q& H+ [. s

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