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标题: 我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法 [打印本页]

作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-22 21:56
标题: 我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法
我研究数学分析（微积分）以来，有那么一点心得，一直想写出来，帮助初学者，以跨过那些难懂的书籍，以掌握微积分，以产生生产力。

让我们把概念抛弃，先把玩法弄会，把玩法弄熟，最后再学习基本理论。
本方法能从代数式一步过渡到微分式，只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。

先从最简单的一元一次方程式开始。
y = 2x                   （1）
我们将 y 替换成 y+dy ，将 x 替换成 x+dx，于是上式变换成：
(y+dy) = 2(x+dx)    （2）
（2）-（1）得：
dy = 2dx                （3）
上面这个（3）式就是（1）式的微分式。快吧？将dx从右边挪到左边就变成：
dy/dx =  2 = y'          （4）
上面的（4）式就是（1）式的导数式，导数就是这么求来的。

下面再来看一元二次方程：
y=x^2                   （5）
做替换，y→y+dy，x→x+dx，得：
(y+dy) = (x+dx)^2
展开得：
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
（6）-（5）得：
dy = 2x*dx + dx^2    （7）
这里介绍一个关键，微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”，而dx^2属于二阶“无穷小”，二者相加，高阶者略去，所以：
dy = 2x*dx             （8）
dy/dx = 2x = y'       （9）
上面的第（9）式就是（5）式的导数式。

下面看二元一次方程：
z = xy                   （10）
做替换z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
展开得：
z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
（12）-（10）得：
dz = xdy + ydx + dxdy（13）
看上式，又出现了高阶“无穷小”，可以略去，所以：
dz = xdy + ydx       （14）
上式即为（10）式的微分式。

最后再举一个例子，关于流体的连续性有一个式子：
ρvA = C（常数）
书上说先两边取对数，然后再两边微分，得：
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
用我的方法，不用无中生有去微分，一样得出这个式子，先做替换得：
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
展开得：
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
减去第一个式子，再略去二阶及三阶无穷小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
两边同除以ρvA，就跟上面一样了。

总结一下，第一步替换，第二步相减，第三步“略去高阶无穷小”，成功！
任何方程式都可以这么干，不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。

作者: 风随意 时间: 2013-5-22 22:08
初中毕业表示很难看懂~

作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-22 22:09
题目又被改了……声明一下，冒号前面的字是管理员加的。
鄙人可不敢说研究数学，会让教授们笑话的。
再次声明，冒号前面的字是管理员加的。

作者: 水水5 时间: 2013-5-22 22:42
最近感觉到处都要用到数学呢
往高一点研究都是要用数学的也在看微积分复习一下

作者: mfka 时间: 2013-5-22 22:59
很有意思！
谢谢把你研究结果与大家共享！
我提点我的看法，请不要介意！
你用的是数学研究的枚举法，如果要普通适用就要证明的方法过程，你所谓的无穷小项不一定是真正的无穷小。

作者: zhulongxin1986 时间: 2013-5-22 22:59
不去教数学真是浪费啊。

作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-22 23:09

mfka 发表于 2013-5-22 22:59
( M- H0 r0 A6 C# J很有意思！
1 M. N i: `4 S# g+ ?- g* y3 {谢谢把你研究结果与大家共享！' ~, q. d, K4 e4 j/ ^5 }* c2 p! b7 D) Q
我提点我的看法，请不要介意！: h/ @ S: }- S$ l

鄙人这是综合了标准分析、非标准分析以及我国阴阳学说才研究出的结果。
完全符合洋人的标准，所以不存在你说的那些问题。

补充内容 (2013-5-25 22:28):
这个真不是吹牛，其实我原本的想法，并不是这样。我原本的想法写出来，如果用阴阳学说来看，是很容易理解的，但现代人怎能接受？我只能写成这样，但这样更难理解。但是——无论你怎么说，这种方法的结果却是对的。

补充内容 (2013-5-25 22:30):
我们不妨想一想，这种简单直接的方法，无论在什么情况下，它的结果都是对的，但它的解释学起来却无比艰难——大家想一想，问题出在哪里？就是出在对这种方法的解释上面！

补充内容 (2013-5-25 22:33):
所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

补充内容 (2013-5-25 22:34):
所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？

作者: 请叫我小凯 时间: 2013-5-22 23:09
满新颖的

作者: 大本Ben 时间: 2013-5-22 23:09
嘻嘻。以后遇到这些就简单多了。

作者: wwfs 时间: 2013-5-23 07:40
这其实就是导数公式的推导过程，用极限的方法，数学分析教材至少我学的版本就是这么处理的，这么看来不清楚极限的可以用楼主的方法，知道的可能就觉得在绕圈子了，小小评论楼主莫在意啊

作者: xlf63 时间: 2013-5-23 08:01
大侠学贯中西，假如此文再用古文作释义，不知如何。。。呵呵

作者: 王浩429 时间: 2013-5-23 08:02
这推导过程的确让人看了有豁然开朗的感觉啊，感谢楼主分享！

作者: Michael0576 时间: 2013-5-23 09:18
微分积分导数无限远，具体用在什么地方的

作者: surfacer 时间: 2013-5-23 10:18
扯蛋，既然都用到高阶无穷小了，还能不明白极限？
翻下书看看牛顿莱布尼茨它们是怎么推出来的，原著不必读了，有一本讲微积分历程的书可以一读，书名忘了

作者: crazypeanut 时间: 2013-5-23 11:04
不推荐初学者用这种方法，这种方法虽然简单，但是掩盖了导数是增量无穷小的本质，只会导致知其然不知其所以然

初学者一定要打好基础，理解定义以及定理的实质

作者: jiangssli 时间: 2013-5-23 11:48
虽然看不懂,还是来给楼主添加点人气.....

作者: prima1 时间: 2013-5-23 17:54
很有意义，不过这样一看好像比较简单，也不要去背那些公式了

作者: 独孤峰yi 时间: 2013-5-24 07:57
原来还可以这么来，必须copy了

作者: 千浪一石 时间: 2013-5-24 09:12
真不错！

作者: 多出来的1 时间: 2013-5-24 10:36
“不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。”本人觉得这句话不妥，微分抛开了极限和无穷还有意义吗？初学者如果就记这些考试还可以做出题，实际中运用中建模（列公式）才是第一步，计算（楼主的方法）才有用武之地。
所以本人觉得理解极限和无穷还是要的！

作者: guo冬至 时间: 2013-5-24 11:36
有意思

作者: pacelife 时间: 2013-5-24 12:20
这种代换无法产生新的实质性结果，并且还掩盖了微分的本质，所以不妥

作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-24 12:39
果不其然，新手学习的路又要被堵死了。

作者: crazypeanut 时间: 2013-5-24 12:55

逍遥处士发表于 2013-5-24 12:39 ) \/ r+ j7 C1 G, _7 O
果不其然，新手学习的路又要被堵死了。

不是新手学习的路被堵死的问题，纵观整个分析学，从数学分析，实变函数论，到最后的泛函，极限概念永远是最基本的根基；象这样掩盖本质，只是为了快速做题，实在觉得本末倒置，甚为不妥

就好比盖房子，为了赶进度，地基草草了事，这房子能盖的好吗

作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-24 13:01

crazypeanut 发表于 2013-5-24 12:55
: J) P' g& N5 k' I不是新手学习的路被堵死的问题，纵观整个分析学，从数学分析，实变函数论，到最后的泛函，极限概念永远是 ...

长沙盖高楼，一天一层，模块式。
我这就是模块式的。连地基都是模块式的。已经打好了。不用再打了。

作者: crazypeanut 时间: 2013-5-24 16:31

逍遥处士发表于 2013-5-24 13:01 7 ^- b( i7 L8 r6 r
长沙盖高楼，一天一层，模块式。
* g" z" E3 u2 B我这就是模块式的。连地基都是模块式的。已经打好了。不用再打了。

再模块化的地基，他还是地基，对不？？

分析学，极限论是地基，单变量微分学是第一层，您现在是抛开了极限论，直接单变量微分学了

作者: icegoods 时间: 2013-5-25 07:37
没啥好说的啊，这课本基础知识
我还以为什么呢

作者: ifzhangchao 时间: 2013-5-25 11:34
貌似看懂了一些

作者: 悟宁 时间: 2013-5-25 14:35
闲来无事，拿大侠的题目算了一下，依稀记得我曾经也学过啊

大侠内功是相当深厚

作者: Pascal 时间: 2013-5-25 22:16
学数学分析，工科的叫高等数学，一开始就要学极限概念。极限这个概念特别绕，也不容易理解。
张景中和林群两位院士做了些工作，不学极限，也能学分析。见附件文章。

作者: HKHK90 时间: 2013-5-26 20:01
考研复习，可以用上了

作者: 风追云 时间: 2013-5-26 20:27
这个以前似乎发过，不过这次更完善了，很好。兄弟啥时候再讲一下从代数式到积分式的快速变换？

作者: 小灞 时间: 2013-5-26 21:31
受教了

作者: 结构孙 时间: 2013-5-26 22:58
见识了

作者: mfka 时间: 2013-5-27 23:16
本帖最后由 mfka 于 2013-5-27 23:18 编辑

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作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-28 07:37

mfka 发表于 2013-5-27 23:16

我那个相当于定义，一阶导数公式我也可以直接拿来用，呵呵。
但是别忘了，一阶导数公式是根据定义推导出来的。所以x^20在推导之前依然要展开。

作者: shasu 时间: 2013-5-28 11:10
先收藏吧数学看了头疼

作者: 745 时间: 2013-5-28 13:01
路过，学习了，感谢楼主的分享。

作者: wjl724 时间: 2013-5-28 23:07
这对刚学积分的初学者挺好的

作者: 赵聪 时间: 2013-5-29 13:48
楼主，人才，指导菜鸟足够l

作者: 钣金准专家 时间: 2013-5-29 17:00
哎，忘光了，愧对江东父老呀

作者: 拉普拉斯 时间: 2013-8-19 09:05
楼主，如果你比牛顿早出生就好了，现在他比你发现这个方法

作者: chengqingbin 时间: 2013-8-19 21:15
这个好像不能在所有情况都适用吧

作者: 1032220424 时间: 2013-8-19 22:54
这种方法满新颖的

作者: 中等公差belee 时间: 2013-8-21 16:10

Michael0576 发表于 2013-5-23 09:18 7 P1 \% ^) N0 ~% ?4 t
微分积分导数无限远，具体用在什么地方的

为什么高阶微分，如dx^2,dx*dy会被忽略

作者: 中等公差belee 时间: 2013-8-22 12:51

中等公差belee 发表于 2013-8-21 16:10
' o) ]+ J( i" p/ K9 `- ^/ v" o为什么高阶微分，如dx^2,dx*dy会被忽略

dx也是增量无穷小，为什么不可以省略

作者: 机械hust 时间: 2013-8-22 19:00
逍遥哥最近怎么搞起理论研究来了？

作者: 机械用 时间: 2013-8-24 23:59
的确这种方法会比较容易计算，但对初学者学习来说，还是从导数的基本开始学习会更深刻。

作者: fyy小鱼 时间: 2013-8-25 11:53
呵呵又从温了下高数不错

作者: 菜鸟hong32696 时间: 2013-8-25 20:19
安心做学问，必然有奔头。

作者: 机械90后 时间: 2013-8-25 22:12
这不就是导数的定义吗 f,(x)=lim[f(x+m)-f(x)]/m，m无限接近0。

作者: 维尼_0 时间: 2013-8-26 14:13
作为一个高等数学全部刮过的表示楼主方法很好，早知道也不至于连续挂高数了

作者: 宇宙一星 时间: 2013-9-5 21:33
呵呵，方程，导数，积分。

作者: decipher001 时间: 2013-9-12 13:01
学习了！！

作者: 十字路口1015 时间: 2013-9-30 16:24
从求导的定义就是y'=(f(x+dx)-f(x))/dx, 本质上来说是和楼主的方法一摸一样的。
楼主把大多数人都给忽悠啦。哈哈。

作者: kent1968 时间: 2013-10-3 23:41
容易理解！1

作者: 宇宙一星 时间: 2013-10-4 07:20
导数，微积分，…lz辛苦了！这方法高中数学好像应该学过，复习一下也很好，呵呵。

作者: Ghostbeing 时间: 2013-10-4 08:30
本帖最后由 Ghostbeing 于 2013-10-4 08:32 编辑

LZ当我看到你数学代数式的第一步，我就深深的被你震撼，请告诉我，你凭什么知道你所用的方程式就一定是可微的，在一元里面可导与可微分是等价的，但是在多元微分函数里面，可微与可导就不等价，因为多元函数里要涉及多个维度里的可微分性，保证在全空间任一个平面里函数里可导，楼主请你看看多远微积分那一章节，你仅仅是代数计算而已，忽略了好多，无异于空中楼阁。

补充内容 (2013-10-4 15:06):
lz继续忽悠吧也许有天你得出的结论会无视你自己

作者: flyhorse1 时间: 2013-10-6 06:47
你能证明两边加上dy，dx后两边还相等吗？

作者: flyhorse1 时间: 2013-10-6 07:01
你能证明两边加上dy，dx后两边还相等吗？

作者: 苹果6 时间: 2014-4-4 04:39
挺好的，大家见仁见智，希望大侠别介意

作者: Chris_Piers 时间: 2014-4-4 15:03
太有用了，感谢！

作者: 羊角山 时间: 2014-4-4 16:24

flyhorse1 发表于 2013-10-6 07:01 ! g+ O. a6 i7 _$ E
你能证明两边加上dy，dx后两边还相等吗？

的确是硬伤。

作者: gjclover 时间: 2014-4-4 16:40
感谢分享学了种新方法

作者: Pa.Galileo 时间: 2014-4-5 08:39
拿来解题是不错，但掩盖了微分的意义。

作者: hnsddm 时间: 2014-4-5 11:18
逍遥处士也是好意，大家也不要上纲上线的讨论，不如讨论还有什么好方法能让人更好地理解这些生涩抽象的定义，尤其是对初学者以及百思不得其解者。。

作者: pengzhh 时间: 2014-4-9 15:22

mfka 发表于 2013-5-22 22:59
) ]4 ]7 x6 Y0 N5 n q2 i很有意思！# r8 i! w' w" _ f
谢谢把你研究结果与大家共享！
# M+ x, O9 S' @/ D我提点我的看法，请不要介意！

其实我看到的工程里面无群小就是这么处理的

作者: hoot6335 时间: 2014-4-12 12:48
厉害啊，深入浅出

作者: 我爱大机械 时间: 2014-4-13 09:16
这个不对dy = 2x*dx

作者: 独唱魂之挽歌 时间: 2014-4-22 15:45
眼前一亮！！！

作者: 千门万户 时间: 2014-4-26 00:17
不知道理论上有没有问题

作者: qzeng52 时间: 2014-4-27 18:46
如果涉及到偏微分呢

作者: fuhuafeng72 时间: 2014-4-28 14:05
谢谢楼主分享

作者: ？？？！！！ 时间: 2014-5-5 22:27
楼主好像更接近于高中的求某点处的极限与连续吧？将X看作常量，然后用增量减去原函数，求解.很久以前就有这种方法。不新鲜。并且楼主混淆了可微与可导的概念。
一元函数是同一概念，多元函数则可导必定可微，可微不一定可导。
偏导数是沿坐标轴方向趋进某一点，对一元导数，由于点在x轴上移动，所以只有左右接近一种方法。但多元函数则不同，如y=f(x,y),接近一点(x0,y0)有无穷多个途径。但偏导数只考虑沿横轴或纵轴两种方式接近(x0,y0),这不能保证沿其他方式接近导数也不变。
数学结论皆由最初公理递推出，机械行业亦然，基础很重要。速成易误人子弟

作者: 陆qq1 时间: 2014-5-15 08:06
阴阳学又是怎么解释的？

作者: 星诚一 时间: 2014-5-27 00:04
很有意思啊

作者: stoplonely 时间: 2014-5-27 08:19
好帖留名

作者: 小云来了 时间: 2014-5-27 13:08
挺好的推导。。。对刚学个同学应该会有帮助

作者: 槟城6号 时间: 2014-5-27 14:51
好！！！还有吗？

作者: 张鸿铭 时间: 2014-6-1 19:52
死读书害死人,其实数学关键是应用,不是解题.

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