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标题: 我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法 [打印本页]
作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-22 21:56
标题: 我研究数学一点心得：一种从代数式到微分式的快速变换法
我研究数学分析（微积分）以来，有那么一点心得，一直想写出来，帮助初学者，以跨过那些难懂的书籍，以掌握微积分，以产生生产力。' q$ r% g/ c1 C4 M! X
2 \1 S9 x* \& i$ |, L8 s/ } F
让我们把概念抛弃，先把玩法弄会，把玩法弄熟，最后再学习基本理论。
2 Y2 k: j( w5 u2 K8 H8 a本方法能从代数式一步过渡到微分式，只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。2 [4 h: s4 [1 ^0 e, S" R
! L8 Y" v: l7 D. m8 N% V先从最简单的一元一次方程式开始。 G+ x( ?6 ]1 J- P7 s
y = 2x （1）+ u+ m2 R" Q5 C2 D, R1 `. I$ T
我们将 y 替换成 y+dy ， 将 x 替换成 x+dx，于是上式变换成：
/ R4 T& {5 r$ S# S' f1 _(y+dy) = 2(x+dx) （2）* _0 J5 b1 I1 c' J, v3 x# u* c, f- s
（2）-（1）得：: ]5 L1 u0 u5 S/ D& g
dy = 2dx （3）
+ f' X f; k* T7 V* \: P上面这个（3）式就是（1）式的微分式。快吧？将dx从右边挪到左边就变成：) f! n5 H! P3 k9 Y9 d. ^5 K
dy/dx = 2 = y' （4）
3 W& W6 G, @+ M7 s8 _2 d" y1 {) Q上面的（4）式就是（1）式的导数式，导数就是这么求来的。- ?$ j) i- s' T, j4 O
3 A+ J8 r0 i, e4 r" h
下面再来看一元二次方程：
9 B9 V* w% C/ m% e0 X( V5 }# i# |! gy=x^2 （5）; \3 f s* _7 @8 U5 X' o+ M
做替换，y→y+dy，x→x+dx，得：
! O! Q: Y+ m- q' U$ s; ?(y+dy) = (x+dx)^2 % O$ {) Z3 Q: j: V. w3 L
展开得：. a0 N0 I. P) R. R( P6 t- o+ G& J
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2 （6）
: q: T' P2 Z* Q0 V（6）-（5）得：
, E+ ~. v7 w8 kdy = 2x*dx + dx^2 （7）
8 x0 g& A/ s, |这里介绍一个关键，微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”，而dx^2属于二阶“无穷小”，二者相加，高阶者略去，所以：
0 e( ~! h, v/ h& n6 Edy = 2x*dx （8）; y2 _4 @5 Z/ |; i# ^
dy/dx = 2x = y' （9）& f# Z2 E. T8 U7 P2 x) [
上面的第（9）式就是（5）式的导数式。
. ?5 Q! L! @8 k
" B( \4 l- u' O) ^2 Z下面看二元一次方程：: T& S. o. t, n6 I
z = xy （10）: p6 d H% |& r
做替换z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
) G" y5 I Y$ A( Y(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）8 ~3 ^8 H1 W+ x& `* y
展开得：
2 o. a) Q7 f4 o# l" fz+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）0 g1 s, ~7 C, A
（12）-（10）得：$ K9 q4 x2 ]% s! e5 |4 `. _8 X0 x+ [/ X; f
dz = xdy + ydx + dxdy（13）' g! A3 I* g6 M2 M. D: J
看上式，又出现了高阶“无穷小”，可以略去，所以：% J9 R& x- D( L' D$ a
dz = xdy + ydx （14）
( ]; v/ b# @& G8 Q上式即为（10）式的微分式。
; ]. D' ^7 W; W* z* Y2 U6 l. Q; `5 S# Q4 c' f# x, g
最后再举一个例子，关于流体的连续性有一个式子：
5 X) U! _+ r( V$ | W( OρvA = C（常数）7 n O# X; n) `/ i/ a" f
书上说先两边取对数，然后再两边微分，得：
" F" I' |/ d Z- u& d' Ydρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
3 K q! M6 l$ W用我的方法，不用无中生有去微分，一样得出这个式子，先做替换得：2 d. e: Q" c/ h
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
7 ^" A0 m) Z& P6 f7 ~% g6 {展开得：; h" W1 `: S5 V: M' ^" i
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C" ~. H7 k/ @3 D$ Y! l/ l& b' B
减去第一个式子，再略去二阶及三阶无穷小，得：6 U# @! `; n Z w5 j
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 02 ~- L1 |( q0 x
两边同除以ρvA，就跟上面一样了。
: T4 P; C" a% y; a( W, J/ n- f E( r- n3 {6 S
总结一下，第一步替换，第二步相减，第三步“略去高阶无穷小”，成功！$ S) { e4 n+ l
任何方程式都可以这么干，不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。5 @3 t8 G; q5 S! j
作者: 风随意 时间: 2013-5-22 22:08
初中毕业表示很难看懂~
作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-22 22:09
题目又被改了……声明一下，冒号前面的字是管理员加的。
k: D& Y- Z. r4 Q+ U& S& d鄙人可不敢说研究数学，会让教授们笑话的。- c3 J) U) k j. F& C5 Y# Y5 ^, T% g
再次声明，冒号前面的字是管理员加的。
作者: 水水5 时间: 2013-5-22 22:42
最近感觉到处都要用到数学呢
; r4 {& r ?& f0 ?5 [# W+ t- g. t往高一点研究都是要用数学的 也在看微积分 复习一下
作者: mfka 时间: 2013-5-22 22:59
很有意思！+ r% O( D# I" K; l8 U, c3 d
谢谢把你研究结果与大家共享！; j$ {: L: G- Y! U. C1 k
我提点我的看法，请不要介意！8 h3 {, N' `1 X1 N" _
你用的是数学研究的枚举法，如果要普通适用就要证明的方法过程，你所谓的无穷小项不一定是真正的无穷小。
作者: zhulongxin1986 时间: 2013-5-22 22:59
不去教数学真是浪费啊。
作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-22 23:09
mfka 发表于 2013-5-22 22:59
+ p" {& S# L6 N3 U6 t2 x( k很有意思！
8 } y% [4 V8 Z# {1 F谢谢把你研究结果与大家共享！
) B+ Y5 o/ R" K" z- B- C! K我提点我的看法，请不要介意！
/ V) }: S5 f9 y6 Q0 m6 w t
鄙人这是综合了标准分析、非标准分析以及我国阴阳学说才研究出的结果。- |1 @ L+ q9 j3 X
完全符合洋人的标准，所以不存在你说的那些问题。/ K! g4 A8 j3 J; G" b- n0 ^4 r5 n0 |7 t2 j
+ o; ^, w) t8 s9 y1 u7 x: q' R4 ~
补充内容 (2013-5-25 22:28):# U" E: a5 Z. v9 A' t) x6 t2 n
这个真不是吹牛，其实我原本的想法，并不是这样。我原本的想法写出来，如果用阴阳学说来看，是很容易理解的，但现代人怎能接受？我只能写成这样，但这样更难理解。但是——无论你怎么说，这种方法的结果却是对的。! ]; L" J& F$ e9 r
+ P: T( n$ D8 K2 S7 i
补充内容 (2013-5-25 22:30):# b4 }7 ], Q3 O$ S7 W5 F$ e3 o
我们不妨想一想，这种简单直接的方法，无论在什么情况下，它的结果都是对的，但它的解释学起来却无比艰难——大家想一想，问题出在哪里？就是出在对这种方法的解释上面！5 i6 \& K5 N$ R) c
. F: [. y; W; T9 C补充内容 (2013-5-25 22:33):, O6 [4 }- q% g7 C& x$ O
所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？
) V3 s! Q: ^# L9 o2 j C8 W# i) U
) |- V0 t% @* C& F# O补充内容 (2013-5-25 22:34):
, \6 u5 Q+ z( _+ X8 j7 S/ J3 Z所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等，这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法，能让我们很容易就相信这种做法的正确性，那么，这种学问学起来是不是就会容易很多？
作者: 请叫我小凯 时间: 2013-5-22 23:09
满新颖的
作者: 大本Ben 时间: 2013-5-22 23:09
嘻嘻。以后遇到这些就简单多了。
作者: wwfs 时间: 2013-5-23 07:40
这其实就是导数公式的推导过程，用极限的方法，数学分析教材至少我学的版本就是这么处理的，这么看来不清楚极限的可以用楼主的方法，知道的可能就觉得在绕圈子了，小小评论楼主莫在意啊
作者: xlf63 时间: 2013-5-23 08:01
大侠学贯中西，假如此文再用古文作释义，不知如何。。。呵呵
作者: 王浩429 时间: 2013-5-23 08:02
这推导过程的确让人看了有豁然开朗的感觉啊，感谢楼主分享！
作者: Michael0576 时间: 2013-5-23 09:18
微分积分导数无限远，具体用在什么地方的
作者: surfacer 时间: 2013-5-23 10:18
扯蛋，既然都用到高阶无穷小了，还能不明白极限？
" v& Z z2 R6 v3 V5 S) c+ f翻下书看看牛顿莱布尼茨它们是怎么推出来的，原著不必读了，有一本讲微积分历程的书可以一读，书名忘了
作者: crazypeanut 时间: 2013-5-23 11:04
不推荐初学者用这种方法，这种方法虽然简单，但是掩盖了导数是增量无穷小的本质，只会导致知其然不知其所以然 C7 i: @6 N t) S) W8 H3 f
9 r/ b4 s, H" z1 }* Q2 }初学者一定要打好基础，理解定义以及定理的实质
作者: jiangssli 时间: 2013-5-23 11:48
虽然看不懂,还是来给楼主添加点人气.....
作者: prima1 时间: 2013-5-23 17:54
很有意义，不过这样一看好像比较简单，也不要去背那些公式了
作者: 独孤峰yi 时间: 2013-5-24 07:57
原来还可以这么来，必须copy了
作者: 千浪一石 时间: 2013-5-24 09:12
真不错！
作者: 多出来的1 时间: 2013-5-24 10:36
“不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。”本人觉得这句话不妥，微分抛开了极限和无穷还有意义吗？初学者如果就记这些考试还可以做出题，实际中运用中建模（列公式）才是第一步，计算（楼主的方法）才有用武之地。
6 f4 D. d$ g3 e; @; o所以本人觉得理解极限和无穷还是要的！
作者: guo冬至 时间: 2013-5-24 11:36
有意思
- I) X' \5 b n1 C4 L5 |/ x
作者: pacelife 时间: 2013-5-24 12:20
这种代换无法产生新的实质性结果，并且还掩盖了微分的本质 ，所以不妥
作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-24 12:39
果不其然，新手学习的路又要被堵死了。
作者: crazypeanut 时间: 2013-5-24 12:55
逍遥处士 发表于 2013-5-24 12:39 
6 p# B1 L9 i2 r, L8 O3 C. \6 ]3 E4 C3 ^
果不其然，新手学习的路又要被堵死了。
不是新手学习的路被堵死的问题，纵观整个分析学，从数学分析，实变函数论，到最后的泛函，极限概念永远是最基本的根基；象这样掩盖本质，只是为了快速做题，实在觉得本末倒置，甚为不妥
2 n" ~/ G6 E! c0 {: ~
0 W2 E+ g; j: `6 ]就好比盖房子，为了赶进度，地基草草了事，这房子能盖的好吗
作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-24 13:01
crazypeanut 发表于 2013-5-24 12:55
' ~0 N8 N9 G9 S; }不是新手学习的路被堵死的问题，纵观整个分析学，从数学分析，实变函数论，到最后的泛函，极限概念永远是 ...
4 X9 |. b$ V9 ^0 r. ]- r/ M长沙盖高楼，一天一层，模块式。; m: A& A3 r. M4 a' d y" W
我这就是模块式的。连地基都是模块式的。已经打好了。不用再打了。
! I+ z2 O8 s6 n& F0 e6 S0 P
1 d3 Q+ _" S- M1 I4 t" T4 Z
作者: crazypeanut 时间: 2013-5-24 16:31
逍遥处士 发表于 2013-5-24 13:01 ' u) f4 U, C% w6 @" C2 U, q
长沙盖高楼，一天一层，模块式。- Z. D% h% I" I, k( w
我这就是模块式的。连地基都是模块式的。已经打好了。不用再打了。
( C \7 m7 I: }/ a再模块化的地基，他还是地基，对不？？
* l% I' C2 {% p1 Q! p7 k2 \0 M- W% E- X4 w2 B8 S* I: ]3 r
分析学，极限论是地基，单变量微分学是第一层，您现在是抛开了极限论，直接单变量微分学了
作者: icegoods 时间: 2013-5-25 07:37
没啥好说的啊，这课本基础知识
& e" i) o% K" b3 U- q3 L/ X/ b我还以为什么呢
作者: ifzhangchao 时间: 2013-5-25 11:34
貌似看懂了一些
作者: 悟宁 时间: 2013-5-25 14:35
闲来无事，拿大侠的题目算了一下，依稀记得我曾经也学过啊
' {5 }% n5 x/ }( ^! e r# S
大侠内功是相当深厚
作者: Pascal 时间: 2013-5-25 22:16
学数学分析，工科的叫高等数学，一开始就要学极限概念。极限这个概念特别绕，也不容易理解。
. H W" k4 m9 t. P m$ @9 Y& r张景中和林群两位院士做了些工作，不学极限，也能学分析。见附件文章。
作者: HKHK90 时间: 2013-5-26 20:01
考研复习，可以用上了
作者: 风追云 时间: 2013-5-26 20:27
这个以前似乎发过，不过这次更完善了，很好。兄弟啥时候再讲一下从代数式到积分式的快速变换？
作者: 小灞 时间: 2013-5-26 21:31
受教了
作者: 结构孙 时间: 2013-5-26 22:58
见识了
作者: mfka 时间: 2013-5-27 23:16
本帖最后由 mfka 于 2013-5-27 23:18 编辑
! ^* i! B; y* t, R, k" S8 b
* m) E: f# g9 A/ p& V[attach]284715[/attach]+ g9 ~" s: R) y0 L
0 N- F, |3 ?: ^5 ?* v[attach]284716[/attach]% J+ y7 w4 v4 I& M( y
[attach]284717[/attach]
" m2 H. o& a$ Q0 F7 f2 ]' z" _! n5 s/ R* o9 Y; U3 P, P0 W+ K
+ J5 A8 Z8 y, f' L$ ?
* x/ K7 { }* c5 K
作者: 逍遥处士 时间: 2013-5-28 07:37
mfka 发表于 2013-5-27 23:16
我那个相当于定义，一阶导数公式我也可以直接拿来用，呵呵。
' e- ]$ ?" T6 U( d但是别忘了，一阶导数公式是根据定义推导出来的。所以x^20在推导之前依然要展开。- D6 j/ O* v. K) n6 S
作者: shasu 时间: 2013-5-28 11:10
先收藏吧 数学看了头疼
作者: 745 时间: 2013-5-28 13:01
路过，学习了，感谢楼主的分享。
作者: wjl724 时间: 2013-5-28 23:07
这对刚学积分的初学者挺好的
作者: 赵聪 时间: 2013-5-29 13:48
楼主，人才，指导菜鸟足够l
作者: 钣金准专家 时间: 2013-5-29 17:00
哎，忘光了，愧对江东父老呀
作者: 拉普拉斯 时间: 2013-8-19 09:05
楼主，如果你比牛顿早出生就好了，现在他比你发现这个方法4 C* ~4 [7 ^( @$ ?4 K8 I% l
作者: chengqingbin 时间: 2013-8-19 21:15
这个好像不能在所有情况都适用吧
作者: 1032220424 时间: 2013-8-19 22:54
这种方法满新颖的
作者: 中等公差belee 时间: 2013-8-21 16:10
Michael0576 发表于 2013-5-23 09:18 : D# M+ W9 N+ l) {1 T
微分积分导数无限远，具体用在什么地方的
为什么高阶微分，如dx^2,dx*dy会被忽略
作者: 中等公差belee 时间: 2013-8-22 12:51
中等公差belee 发表于 2013-8-21 16:10
! K) m! x w4 M4 L为什么高阶微分，如dx^2,dx*dy会被忽略
+ R3 l0 A$ q0 G4 R! b' l& q+ Rdx也是增量无穷小，为什么不可以省略0 m" V7 m9 G% e0 _6 F$ O2 p
作者: 机械hust 时间: 2013-8-22 19:00
逍遥哥最近怎么搞起理论研究来了？
作者: 机械用 时间: 2013-8-24 23:59
的确这种方法会比较容易计算，但对初学者学习来说，还是从导数的基本开始学习会更深刻。
作者: fyy小鱼 时间: 2013-8-25 11:53
呵呵又从温了下高数不错
作者: 菜鸟hong32696 时间: 2013-8-25 20:19
安心做学问，必然有奔头。
作者: 机械90后 时间: 2013-8-25 22:12
这不就是导数的定义吗 f,(x)=lim[f(x+m)-f(x)]/m，m无限接近0。
% e8 h7 |3 p% U& r C. n( n9 R- F+ |
作者: 维尼_0 时间: 2013-8-26 14:13
作为一个高等数学全部刮过的表示楼主方法很好，早知道也不至于连续挂高数了
作者: 宇宙一星 时间: 2013-9-5 21:33
呵呵，方程，导数，积分。
作者: decipher001 时间: 2013-9-12 13:01
学习了！！
作者: 十字路口1015 时间: 2013-9-30 16:24
从求导的定义就是y'=(f(x+dx)-f(x))/dx, 本质上来说是和楼主的方法一摸一样的。+ r; B: q0 ?/ q8 C; q
楼主把大多数人都给忽悠啦。哈哈。
作者: kent1968 时间: 2013-10-3 23:41
容易理解！1
作者: 宇宙一星 时间: 2013-10-4 07:20
导数，微积分，…lz辛苦了！这方法高中数学好像应该学过，复习一下也很好，呵呵。
作者: Ghostbeing 时间: 2013-10-4 08:30
本帖最后由 Ghostbeing 于 2013-10-4 08:32 编辑
$ h; z3 t- z! c
- r: a, @! X' m0 l: w/ h ]LZ当我看到你数学代数式的第一步，我就深深的被你震撼，请告诉我，你凭什么知道你所用的方程式就一定是可微的，在一元里面可导与可微分是等价的，但是在多元微分函数里面，可微与可导就不等价，因为多元函数里要涉及多个维度里的可微分性，保证在全空间任一个平面里函数里可导，楼主请你看看多远微积分那一章节，你仅仅是代数计算而已，忽略了好多，无异于空中楼阁。
2 }: V& H* J( K3 O# l( ]) j# v
* L. I3 N0 F L. h4 C! A( T% G& A$ e- ]/ L7 U' Z+ V! ?; n* u
补充内容 (2013-10-4 15:06):% ] a* |. n2 n" |' J
lz继续忽悠吧 也许有天你得出的结论会无视你自己
作者: flyhorse1 时间: 2013-10-6 06:47
你能证明两边加上dy，dx后两边还相等吗？
作者: flyhorse1 时间: 2013-10-6 07:01
你能证明两边加上dy，dx后两边还相等吗？
作者: 苹果6 时间: 2014-4-4 04:39
挺好的，大家见仁见智，希望大侠别介意5 T4 s/ S0 }1 M. l
作者: Chris_Piers 时间: 2014-4-4 15:03
太有用了，感谢！
作者: 羊角山 时间: 2014-4-4 16:24
flyhorse1 发表于 2013-10-6 07:01
% S |+ q9 j: }1 {# ?/ a6 A7 a& u你能证明两边加上dy，dx后两边还相等吗？
3 _, o: |. ?4 O0 W的确是硬伤。
$ q# f M- o, _' \/ z
作者: gjclover 时间: 2014-4-4 16:40
感谢分享 学了种新方法
作者: Pa.Galileo 时间: 2014-4-5 08:39
拿来解题是不错，但掩盖了微分的意义。
作者: hnsddm 时间: 2014-4-5 11:18
逍遥处士也是好意，大家也不要上纲上线的讨论，不如讨论还有什么好方法能让人更好地理解这些生涩抽象的定义，尤其是对初学者以及百思不得其解者。。
作者: pengzhh 时间: 2014-4-9 15:22
mfka 发表于 2013-5-22 22:59
+ X4 v/ S& N/ M2 I1 w很有意思！7 ~# }2 X) B, R8 s( G
谢谢把你研究结果与大家共享！
) @+ Q7 Y1 S8 E我提点我的看法，请不要介意！
' g, j. q) [1 s9 E9 F) ?其实我看到的工程里面无群小就是这么处理的* p4 j; C+ e7 k* z
作者: hoot6335 时间: 2014-4-12 12:48
厉害啊，深入浅出
作者: 我爱大机械 时间: 2014-4-13 09:16
这个不对dy = 2x*dx
作者: 独唱魂之挽歌 时间: 2014-4-22 15:45
眼前一亮！！！
作者: 千门万户 时间: 2014-4-26 00:17
不知道理论上有没有问题
作者: qzeng52 时间: 2014-4-27 18:46
如果涉及到偏微分呢
作者: fuhuafeng72 时间: 2014-4-28 14:05
谢谢楼主分享
作者: ？？？！！！ 时间: 2014-5-5 22:27
楼主好像更接近于高中的求某点处的极限与连续吧？将X看作常量，然后用增量减去原函数，求解.很久以前就有这种方法。不新鲜。并且楼主混淆了可微与可导的概念。
J8 a# K% _" X% u一元函数是同一概念，多元函数则可导必定可微，可微不一定可导。7 ]4 a5 v* y- }
偏导数是沿坐标轴方向趋进某一点，对一元导数，由于点在x轴上移动，所以只有左右接近一种方法。但多元函数则不同，如y=f(x,y),接近一点(x0,y0)有无穷多个途径。但偏导数只考虑沿横轴或纵轴两种方式接近(x0,y0),这不能保证沿其他方式接近导数也不变。
2 H3 \6 N; C$ r1 l+ O数学结论皆由最初公理递推出，机械行业亦然，基础很重要。速成易误人子弟. F# v! D9 \( _
作者: 陆qq1 时间: 2014-5-15 08:06
阴阳学又是怎么解释的？
作者: 星诚一 时间: 2014-5-27 00:04
很有意思啊
# m6 K' p) i9 z8 O/ `3 K' b3 d
作者: stoplonely 时间: 2014-5-27 08:19
好帖 留名
作者: 小云来了 时间: 2014-5-27 13:08
挺好的推导。。。对刚学个同学应该会有帮助
作者: 槟城6号 时间: 2014-5-27 14:51
好！！！还有吗？
作者: 张鸿铭 时间: 2014-6-1 19:52
死读书害死人,其实数学关键是应用,不是解题.
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